Принцип передачи

Все утверждения некоторого языка, которые верны для одной структуры, верны и для другой структуры.

В теории моделей принцип переноса гласит, что все утверждения некоторого языка, которые верны для одной структуры, верны и для другой структуры. Одним из первых примеров был принцип Лефшеца , который утверждает, что любое предложение на языке полей первого порядка, верное для комплексных чисел , также верно для любого алгебраически замкнутого поля характеристики .

История

Зарождающаяся форма принципа переноса была описана Лейбницем под названием « Закон непрерывности ». ^[1] Здесь ожидается, что бесконечно малые числа будут иметь «те же» свойства, что и заметные числа. Принцип переноса также можно рассматривать как строгую формализацию принципа постоянства . Подобные тенденции обнаруживаются у Коши , который использовал бесконечно малые значения для определения как непрерывности функций (в «Курс д'Анализ »), так и формы дельта-функции Дирака . ^{[1] : 903}

В 1955 году Ежи Лось доказал принцип переноса для любой гипердействительной системы счисления. Его наиболее распространенное использование - в нестандартном анализе гипердействительных чисел Авраамом Робинсоном , где принцип переноса утверждает, что любое предложение, выражаемое на определенном формальном языке, которое верно для действительных чисел , также верно и для гипердействительных чисел.

Принцип переноса гиперреальности

Принцип переноса касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначаемого * R , называемого гипердействительными числами . Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, обеспечивающие строгую математическую реализацию проекта, начатого Лейбницем.

Идея состоит в том, чтобы выразить анализ R на подходящем языке математической логики , а затем указать, что этот язык одинаково хорошо применим и к * R . Это оказывается возможным, поскольку на теоретико-множественном уровне предложения в таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам , а не ко всем множествам. Как выразился Робинсон , предложения [теории] интерпретируются в * R в смысле Хенкина . ^[2]

Теорема о том, что каждое предложение, действительное над R , также справедливо и над * R , называется принципом переноса.

Существует несколько различных версий принципа переноса в зависимости от того, какая модель нестандартной математики используется. С точки зрения теории моделей, принцип переноса гласит, что отображение стандартной модели в нестандартную модель представляет собой элементарное вложение (вложение, сохраняющее значения истинности всех утверждений в языке), а иногда и ограниченное элементарное вложение (похожее, но только для высказываний с ограниченными кванторами ). ^{[ нужны разъяснения ]}

Принцип переноса, по-видимому, приводит к противоречиям, если с ним неправильно обращаться. Например, поскольку гипердействительные числа образуют неархимедово упорядоченное поле , а действительные числа образуют архимедово упорядоченное поле, свойство быть архимедовыми («каждое положительное вещественное число больше, чем некоторое положительное целое число »), на первый взгляд, кажется, не удовлетворяет принцип передачи. Утверждение «всякое положительное гиперреальное больше, чем некоторое положительное целое число » неверно; однако правильная интерпретация такова: «каждая положительная гиперреальность больше, чем некоторое положительное гиперцелое число ». Другими словами, гиперреальные кажутся архимедовыми для внутреннего наблюдателя, живущего в нестандартной вселенной, но кажутся неархимедовыми для внешнего наблюдателя за пределами вселенной. ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$

Доступной для первокурсников формулировкой принципа переноса является книга Кейслера «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» .

Пример

Каждое вещественное число удовлетворяет неравенству ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x\geq \lfloor x\rfloor ,}$$

целочисленная часть ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,}$$

гиперцелое число ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor x\rfloor }$

Обобщения понятия числа

Исторически понятие числа неоднократно обобщалось. Добавление к натуральным числам было крупным интеллектуальным достижением своего времени. Добавление отрицательных целых чисел к форме уже представляло собой уход из области непосредственного опыта в область математических моделей. Дальнейшее расширение, рациональные числа , более знакомо непрофессионалу, чем их завершение , отчасти потому, что действительные числа не соответствуют какой-либо физической реальности (в смысле измерения и вычисления), отличной от той, которую представляет . Таким образом, понятие иррационального числа бессмысленно даже для самого мощного компьютера с плавающей запятой. Необходимость такого расширения проистекает не из физических наблюдений, а скорее из внутренних требований математической связности. Бесконечно малые числа вошли в математический дискурс в то время, когда такое понятие требовалось математическими разработками того времени, а именно появлением того, что стало известно как исчисление бесконечно малых . Как уже говорилось выше, математическое обоснование этого последнего расширения задержалось на три столетия. Кейслер писал: ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

«Обсуждая действительную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, на что на самом деле похожа линия в физическом пространстве. Она может быть похожа на гиперреальную линию, на действительную линию или ни на то, ни на другое. полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию».

Самосогласованное развитие гиперреальности оказалось возможным, если каждое истинное логическое утверждение первого порядка , которое использует базовую арифметику ( натуральные числа , плюс, умножение, сравнение ) и количественно оценивает только действительные числа, считалось истинным в переосмысленную форму, если мы предполагаем, что она дает количественную оценку гипердействительным числам. Например, мы можем утверждать, что для каждого действительного числа существует другое число, большее его:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

То же самое будет справедливо и для гиперреальности:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

Другим примером является утверждение, что если вы прибавите 1 к числу, вы получите большее число:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

что также справедливо и для гиперреальности:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

Правильное общее утверждение, формулирующее эти эквивалентности, называется принципом переноса. Обратите внимание, что во многих формулах анализа количественная оценка осуществляется по объектам более высокого порядка, таким как функции и множества, что делает принцип переноса несколько более тонким, чем предполагают приведенные выше примеры.

Различия между R и * R

Однако принцип переноса не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует элемент ω такой, что

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

но в R такого числа нет . Это возможно, поскольку отсутствие этого числа не может быть выражено в виде утверждения первого порядка указанного выше типа. Гипердействительное число, такое как ω , называется бесконечно большим; обратные величины бесконечно больших чисел являются бесконечно малыми.

Гиперреалы * R образуют упорядоченное поле , содержащее вещественные числа R в качестве подполя. В отличие от реальностей, гиперреалы не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка несут топологию порядка .

Конструкции гиперреализма

Гиперреалы могут разрабатываться либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Сущность аксиоматического подхода состоит в утверждении (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы даем подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет конструировать гиперреалы, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть сконструирован явно. Владимир Кановей и Шела ^[3] дают конструкцию определимого счетно-насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из вещественных чисел и всех финитных отношений на них.

В самом общем виде перенос — это ограниченное элементарное вложение между структурами.

Заявление

Упорядоченное поле ^* R нестандартных действительных чисел правильно включает вещественное поле R. Как и все упорядоченные поля, которые правильно включают R , это поле не является архимедовым . Это означает, что некоторые члены x  ≠ 0 из ^* R бесконечно малы , т. е.

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

Единственная бесконечно малая величина в R равна 0. Некоторые другие члены ^* R , обратные y ненулевым бесконечно малым числам, бесконечны, т. е.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

Базовое множество поля ^* R — это образ R при отображении A  ↦  ^* A из подмножеств A поля R в подмножества ^* R . В каждом случае

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

с равенством тогда и только тогда, когда A конечно. Множества вида ^* A для некоторых называются стандартными подмножествами ^* R . Стандартные множества принадлежат к гораздо более широкому классу подмножеств ^* R , называемых внутренними множествами. Аналогично каждая функция ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

расширяется до функции

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

они называются стандартными функциями и принадлежат к гораздо более широкому классу внутренних функций . Наборы и функции, которые не являются внутренними, являются внешними .

Важность этих понятий вытекает из их роли в следующем предложении и иллюстрируется следующими за ним примерами.

Принцип передачи:

• Предположим, что предложение, истинное для ^* R, может быть выражено через функции конечного числа переменных (например, ( x ,  y ) ↦  x  +  y ), отношений между конечным числом переменных (например, x  ≤  y ), финитарных логических связок, таких как и , или , нет , if...then... и кванторы

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

Например, одно из таких предложений

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R, когда квантор

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

заменяет

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

и аналогично для . ${\displaystyle \exists }$

• Предположим, что предложение, выражаемое так же просто, как рассмотренные выше, упоминает некоторые частные множества . Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R с заменой каждого такого « A » соответствующим ^* A . Вот два примера: ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

• Набор

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

должно быть

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

включая не только члены R от 0 до 1 включительно, но и члены ^* R от 0 до 1, которые отличаются от них на бесконечно малые значения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на предложение

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

верно в R и примените принцип переноса.

• Множество ^* N не должно иметь верхней границы в ^* R (поскольку предложение, выражающее отсутствие верхней границы N в R , достаточно просто, чтобы к нему можно было применить принцип переноса) и должно содержать n  + 1, если оно содержит n , но не должно содержать ничего между n и n  + 1. Члены

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

являются «бесконечными целыми числами».)

• Предположим, что предложение, выражаемое так же просто, как рассмотренное выше, содержит квантор

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

Такое предложение верно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R после указанных выше изменений и замены кванторов на

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

и

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

Три примера

Подходящей средой для принципа гиперреального переноса является мир внутренних сущностей. Таким образом, свойство хорошего порядка натуральных чисел путем переноса приводит к тому, что каждое внутреннее подмножество чисел имеет наименьший элемент. В этом разделе внутренние наборы обсуждаются более подробно. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Каждое непустое внутреннее подмножество ^* R , имеющее верхнюю границу в ^* R , имеет наименьшую верхнюю границу в ^* R . Следовательно, множество всех бесконечно малых является внешним.
  • Принцип хорошего порядка подразумевает, что каждое непустое внутреннее подмножество ^* N имеет наименьший элемент. Следовательно, множество

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

всех бесконечных целых чисел является внешним.

• Если n — бесконечное целое число, то набор {1, ...,  n } (который не является стандартным) должен быть внутренним. Чтобы доказать это, сначала заметим, что следующее тривиально верно:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

Следовательно

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• Что касается внутренних наборов, то и внутренние функции: Заменить

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

с

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

при применении принципа переноса и аналогично вместо . ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$

Например: Если n — бесконечное целое число, то дополнение образа любой внутренней взаимно однозначной функции ƒ из бесконечного множества {1, ...,  n } в {1, ...,  n ,  n  + 1,  n  + 2,  n  + 3} по принципу переноса имеет ровно три члена. Из-за бесконечности области дополнения к образам однозначных функций из первого множества во второе бывают разных размеров, но большинство этих функций являются внешними.

Этот последний пример мотивирует важное определение: *-конечное (произносится как «звездообразное ») подмножество ^* R — это такое, которое может быть помещено во внутреннее взаимно однозначное соответствие с {1, ...,  n } для некоторого n  ∈  ^* Н. _

Смотрите также

• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Принцип постоянства
• Общность алгебры

Примечания

1. Кейслер, Х. Джером. «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход». п. 902.
2. Робинсон, А. Метафизика исчисления, в «Проблемах философии математики», изд. Лакатос (Амстердам: Северная Голландия), стр. 28–46, 1967. Перепечатано в Собрании сочинений 1979 года. Страница 29.
3. Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель реальных чисел» (PDF) , Journal of Символическая логика , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834, S2CID  15104702

Рекомендации

• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования по логике и основам математики (3-е изд.), Elsevier , ISBN 978-0-444-88054-3
• Харди, Майкл: «Масштабированные булевы алгебры». Адв. в прил. Математика. 29 (2002), вып. 2, 243–292.
• Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель действительных чисел», Журнал символической логики , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834, S2CID  15104702
• Кейслер, Х. Джером (2000). «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход».
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «Принцип переноса», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Лось, Ежи (1955) Quelques remarques, theorèmes et problèmes sur les definissables d'algèbres. Математическая интерпретация формальных систем, стр. 98–113. Издательство Северной Голландии, Амстердам.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3, МР  0205854