В логике и математике истинностное значение , иногда называемое логическим значением , — это значение, указывающее на отношение высказывания к истине , которая в классической логике имеет только два возможных значения ( истинное или ложное ). [1] [2]
В некоторых языках программирования любое выражение может быть оценено в контексте, который ожидает логический тип данных . Обычно (хотя это зависит от языка программирования) такие выражения, как число ноль , пустая строка , пустые списки и ноль, оцениваются как ложные, а строки с содержимым (например, «abc»), другие числа и объекты оцениваются как истинные. Иногда эти классы выражений называют «истинными» и «ложными»/«ложными».
В классической логике с ее предполагаемой семантикой значения истинности являются истинными (обозначаются 1 или истиной ⊤) и неистинными или ложными (обозначаются 0 или ложью ⊥); то есть классическая логика — это двузначная логика . Этот набор двух значений также называется логическим доменом . Соответствующей семантике логических связок являются функции истинности , значения которых выражаются в виде таблиц истинности . Логическое бикондиционал становится бинарным отношением равенства , а отрицание становится биекцией , которая меняет местами истинное и ложное. Конъюнкция и дизъюнкция двойственны по отношению к отрицанию, что выражается законами Де Моргана :
Пропозициональные переменные становятся переменными в логической области. Присвоение значений пропозициональным переменным называется оценкой .
В интуиционистской логике и, в более общем плане, конструктивной математике утверждениям присваивается истинностное значение только в том случае, если им можно дать конструктивное доказательство. Все начинается с набора аксиом, и утверждение истинно, если можно построить доказательство утверждения на основе этих аксиом. Высказывание является ложным, если из него можно вывести противоречие. Это оставляет открытой возможность утверждений, которым еще не присвоено истинностное значение. Недоказанным утверждениям в интуиционистской логике не придается промежуточное истинностное значение (как иногда ошибочно утверждают). Действительно, можно доказать, что они не имеют третьего истинностного значения, и этот результат был получен еще Гливенко в 1928 году. [3]
Вместо этого утверждения просто сохраняют неизвестную истинностную ценность до тех пор, пока они не будут доказаны или опровергнуты.
Существуют различные способы интерпретации интуиционистской логики, включая интерпретацию Брауэра-Хейтинга-Колмогорова . См. также Интуиционистская логика § Семантика .
Многозначная логика (например, нечеткая логика и логика релевантности ) допускает более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторую внутреннюю структуру. Например, на единичном интервале [0,1] такая структура представляет собой полный порядок ; это может быть выражено как существование различных степеней истины .
Не все логические системы истинностно-оценочные в том смысле, что логические связки можно интерпретировать как функции истинности. Например, интуиционистской логике не хватает полного набора истинностных значений, поскольку ее семантика, интерпретация Брауэра-Хейтинга-Колмогорова , определяется в терминах условий доказуемости , а не непосредственно в терминах необходимой истинности формул.
Но даже неистинно-оценочные логики могут связывать значения с логическими формулами, как это делается в алгебраической семантике . Алгебраическая семантика интуиционистской логики дается в терминах алгебр Гейтинга по сравнению с семантикой булевой алгебры классического исчисления высказываний.
Интуиционистская теория типов использует типы вместо истинностных значений.
Теория топоса использует истинностные значения в особом смысле: истинностные значения топоса являются глобальными элементами классификатора подобъектов . Наличие истинностных значений в этом смысле не делает логическую истину оценочной.
