В математике единичный интервал — это замкнутый интервал [0,1] , то есть множество всех действительных чисел , которые больше или равны 0 и меньше или равны 1. Его часто обозначают I (заглавная буква I ). Помимо своей роли в вещественном анализе , единичный интервал используется для изучения теории гомотопии в области топологии .
В литературе термин «единичный интервал» иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: (0,1] , [0,1) , и (0,1) . Однако обозначение I чаще всего зарезервировано для замкнутого интервала [0,1] .
Единичный интервал — это полное метрическое пространство , гомеоморфное расширенной числовой прямой . Как топологическое пространство , оно компактно , стягиваемо , линейно связно и локально линейно связно . Гильбертов куб получается путем взятия топологического произведения счетного числа копий единичного интервала.
В математическом анализе единичный интервал представляет собой одномерное аналитическое многообразие , граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация идет от 0 до 1.
Единичный интервал представляет собой полностью упорядоченное множество и полную решетку (каждое подмножество единичного интервала имеет супремум и инфимум ).
Размер или мощность множества — это количество содержащихся в нем элементов .
Единичный интервал является подмножеством действительных чисел . Однако он имеет тот же размер, что и весь набор: мощность континуума . Поскольку действительные числа могут быть использованы для представления точек вдоль бесконечно длинной линии , это означает, что отрезок прямой длиной 1, являющийся частью этой линии, имеет то же количество точек, что и вся линия. Более того, он имеет то же количество точек, что и квадрат площади 1 , как куб объёма 1 и даже как неограниченное n -мерное евклидово пространство (см. Кривая заполнения пространства ).
Число элементов (действительных чисел или точек) во всех вышеупомянутых множествах несчетно , так как оно строго больше числа натуральных чисел .
Единичный интервал — это кривая . Открытый интервал (0,1) является подмножеством положительных действительных чисел и наследует от них ориентацию. Ориентация меняется на противоположную, когда интервал вводится с 1, например, в интеграле, используемом для определения натурального логарифма для x в интервале, таким образом, давая отрицательные значения для логарифма такого x . Фактически, этот интеграл оценивается как знаковая площадь, дающая отрицательную площадь по единичному интервалу из-за обратной ориентации там.
Интервал [-1,1] длиной два, разграниченный положительными и отрицательными единицами, встречается часто, например, в диапазоне тригонометрических функций синуса и косинуса и гиперболической функции tanh. Этот интервал может быть использован для области обратных функций . Например, когда 𝜃 ограничена [−π/2, π/2], то находится в этом интервале, и арксинус определен там.
Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных разделах математики, аналогичную роли, которую [0,1] играет в теории гомотопии. Например, в теории колчанов (аналогом) единичного интервала является граф, множество вершин которого равно и который содержит единственное ребро e, источник которого равен 0, а цель равна 1. Затем можно определить понятие гомотопии между гомоморфизмами колчанов , аналогичное понятию гомотопии между непрерывными отображениями.
В логике единичный интервал [0,1] можно интерпретировать как обобщение булевой области {0,1}, в этом случае вместо того, чтобы принимать только значения 0 или 1, можно предполагать любое значение между 0 и 1 включительно. Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на 1 − x ; конъюнкция (И) заменяется на умножение ( xy ); а дизъюнкция (ИЛИ) определяется, согласно законам Де Моргана , как 1 − (1 − x )(1 − y ) .
Интерпретация этих значений как логических значений истинности дает многозначную логику , которая формирует основу для нечеткой логики и вероятностной логики . В этих интерпретациях значение интерпретируется как «степень» истинности – в какой степени предложение истинно, или вероятность того, что предложение истинно.
