Функция Кантора

Непрерывная функция, которая не является абсолютно непрерывной

График функции Кантора на единичном интервале

В математике функция Кантора является примером функции , которая является непрерывной , но не абсолютно непрерывной . Это печально известный контрпример в анализе, поскольку он бросает вызов наивным представлениям о непрерывности, производной и мере . Хотя она всюду непрерывна и почти всюду имеет нулевую производную, ее значение все равно меняется от 0 до 1 по мере того, как ее аргумент достигает от 0 до 1. Таким образом, в одном смысле функция очень похожа на постоянную, которая не может расти, а в другом , оно действительно монотонно растет.

Ее также называют тройной функцией Кантора , функцией Лебега , ^[1] сингулярной функцией Лебега , функцией Кантора–Витали , лестницей Дьявола , ^[2] лестничной функцией Кантора , ^[3] и функцией Кантора–Лебега . ^[4] Георг Кантор  (1884) представил функцию Кантора и упомянул, что Шеффер указал, что это контрпример к расширению фундаментальной теоремы исчисления, заявленной Гарнаком . Функция Кантора обсуждалась и популяризировалась Шиффером (1884 г.), Лебегом (1904 г.) и Витали (1905 г.).

Определение

Итерированное построение функции Кантора

Чтобы определить функцию Кантора , пусть это будет любое число и получите его , выполнив следующие шаги: ${\displaystyle c:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle c(x)}$

1. Выразить в базе 3. ${\displaystyle x}$
2. Если представление числа по основанию 3 содержит 1, замените каждую цифру строго после первой 1 на 0. ${\displaystyle x}$
3. Замените оставшиеся 2 на 1.
4. Интерпретируйте результат как двоичное число. Результат . ${\displaystyle c(x)}$

Например:

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$имеет троичное представление 0,02020202... Единиц нет, поэтому следующий этап по-прежнему 0,02020202... Это перезаписывается как 0,01010101... Это двоичное представление , поэтому . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle c({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{3}}}$
• ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$имеет троичное представление 0,01210121... Цифры после первой 1 заменяются нулями, чтобы получить 0,01000000... Это не перезаписывается, поскольку в нем нет двоек. Это двоичное представление , поэтому . ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle c({\tfrac {1}{5}})={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle {\tfrac {200}{243}}}$имеет троичное представление 0,21102 (или 0,211012222...). Цифры после первой 1 заменяются нулями, что дает 0,21. Это переписано как 0.11. Это двоичное представление , поэтому . ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle c({\tfrac {200}{243}})={\tfrac {3}{4}}}$

Эквивалентно, если канторово множество на [0,1], то функцию Кантора можно определить как ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle c:[0,1]\to [0,1]}$

${\displaystyle c(x)={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}},&x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}\in {\mathcal {C}}\ \mathrm {for} \ a_{n}\in \{0,1\};\\\sup _{y\leq x,\,y\in {\mathcal {C}}}c(y),&x\in [0,1]\smallsetminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$

Эта формула четко определена, поскольку каждый член множества Кантора имеет уникальное представление по основанию 3, которое содержит только цифры 0 или 2 . повторяющееся расширение, заканчивающееся на 1. Например, = 0,1 ₃ = 0,02222... ₃ является членом множества Кантора). Поскольку и , и монотонно на , то ясно, что это справедливо и для всех . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle c(0)=0}$ ${\displaystyle c(1)=1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0\leq c(x)\leq 1}$ ${\displaystyle x\in [0,1]\smallsetminus {\mathcal {C}}}$

Характеристики

Функция Кантора бросает вызов наивным представлениям о непрерывности и мере ; хотя он непрерывен везде и почти везде имеет нулевую производную , изменяется от 0 до 1, как и от 0 до 1, и принимает каждое промежуточное значение. Функция Кантора является наиболее часто цитируемым примером вещественной функции, которая равномерно непрерывна (точнее, она непрерывна по Гельдеру с показателем α  = log 2/log 3), но не абсолютно непрерывна . Она постоянна на интервалах вида (0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 022222..., 0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 200000...), и в каждой точке не в множестве Кантора находится в одном из этих интервалов, поэтому его производная равна 0 вне множества Кантора. С другой стороны, он не имеет производной ни в одной точке несчетного подмножества множества Кантора , содержащего описанные выше концы интервала. ${\textstyle c(x)}$ ${\textstyle x}$

Функцию Кантора также можно рассматривать как кумулятивную функцию распределения вероятностей меры Бернулли 1/2-1/2 µ , поддерживаемую на множестве Кантора: . Это распределение вероятностей, называемое распределением Кантора , не имеет дискретной части. То есть соответствующая мера безатомна . Именно поэтому в функции нет скачкообразных разрывов; любой такой скачок будет соответствовать атому в мере. ${\textstyle c(x)=\mu ([0,x])}$

Однако никакая непостоянная часть функции Кантора не может быть представлена ​​как интеграл от функции плотности вероятности ; Интегрирование любой предполагаемой функции плотности вероятности , которая не почти всюду равна нулю на любом интервале, даст положительную вероятность некоторому интервалу, которому это распределение присваивает нулевую вероятность. В частности, как указывал Витали (1905), функция не является интегралом своей производной, хотя производная существует почти всюду.

Функция Кантора является стандартным примером сингулярной функции .

Функция Кантора также является стандартным примером функции с ограниченной вариацией , но, как упоминалось выше, не является абсолютно непрерывной. Однако каждая абсолютно непрерывная функция непрерывна с ограниченной вариацией.

Функция Кантора не убывает, поэтому, в частности, ее график определяет спрямляемую кривую . Шеффер (1884) показал, что длина дуги ее графика равна 2. Заметим, что график любой неубывающей функции такой, что и имеет длину не больше 2. В этом смысле функция Кантора является экстремальной. ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(1)=1}$

Отсутствие абсолютной преемственности

Поскольку мера Лебега несчетного бесконечного множества Кантора равна 0, для любых положительных ε  <1 и δ существует конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов с общей длиной <  δ , на которой функция Кантора кумулятивно возрастает больше, чем  ε .

Фактически, для каждого δ  > 0 существует конечное число попарно непересекающихся интервалов ( x _k , y _k ) (1 ≤  k  ≤  M ) с и . ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{M}(y_{k}-x_{k})<\delta }$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{M}(c(y_{k})-c(x_{k}))=1}$

Альтернативные определения

Итеративное построение

Ниже мы определяем последовательность { f _n } функций на единичном интервале, которая сходится к функции Кантора.

Пусть ж ₀ ( Икс ) = Икс .

Тогда для каждого целого числа n ≥ 0 следующая функция f _{n +1} ( x ) будет определена через f _n ( x ) следующим образом:

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2 × f _n (3 x ) , когда 0 ≤ x ≤ 1/3  ;

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2, когда 1/3 ≤ x ≤ 2/3  ;

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2 + 1/2 × f _n (3  x − 2) , когда 2/3 ≤ x ≤ 1 .

Эти три определения совместимы в конечных точках 1/3 и 2/3, поскольку f _n (0) = 0 и f _n (1) = 1 для каждого  n по индукции. Можно проверить, что f _n поточечно сходится к определенной выше функции Кантора. Более того, сходимость равномерная. Действительно, разделив на три случая, согласно определению f _{n +1} , видим, что

${\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.}$

Если f обозначает предельную функцию, отсюда следует, что для любого n  ≥ 0

${\displaystyle \max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.}$

Также выбор начальной функции не имеет особого значения, при условии, что f 0 ₍ ⁰ ) = 0, f ₀ ( 1 ) = ¹ и f ₀ ограничено ^.

Фрактальный объем

Функция Кантора тесно связана с множеством Кантора . Множество Кантора C можно определить как набор тех чисел в интервале [0, 1], которые не содержат цифру 1 в своем разложении по основанию 3 (тройственное) , за исключением случаев, когда за 1 следуют только нули (в которых В этом случае хвост 1000 можно заменить на 0222 , чтобы избавиться от любого 1). Оказывается, множество Кантора — это фрактал с (несчетным) бесконечным числом точек (нульмерный объем), но нулевой длиной (одномерный объем). Конечное значение принимает только D -мерный объём ( в смысле хаусдорфовой меры ), где – фрактальная размерность C. Альтернативно мы можем определить функцию Кантора как D -мерный объем секций множества Кантора. ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle H_{D}}$ ${\displaystyle D=\log(2)/\log(3)}$

${\displaystyle f(x)=H_{D}(C\cap (0,x)).}$

Самоподобие

Функция Кантора обладает несколькими симметриями . При существует зеркальная симметрия ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle c(x)=1-c(1-x)}$

и пара увеличений, одно слева и одно справа:

${\displaystyle c\left({\frac {x}{3}}\right)={\frac {c(x)}{2}}}$

и

${\displaystyle c\left({\frac {x+2}{3}}\right)={\frac {1+c(x)}{2}}}$

Увеличение может быть каскадным; они порождают диадический моноид . Это демонстрируется определением нескольких вспомогательных функций. Определите отражение как

${\displaystyle r(x)=1-x}$

Первую самосимметрию можно выразить как

${\displaystyle r\circ c=c\circ r}$

где символ обозначает композицию функции. То же самое и для других случаев. Для левого и правого увеличения напишите левые отображения ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (r\circ c)(x)=r(c(x))=1-c(x)}$

${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$и ${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{3}}}$

Тогда функция Кантора подчиняется

${\displaystyle L_{D}\circ c=c\circ L_{C}}$

Аналогично определим правильные отображения как

${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$и ${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {2+x}{3}}}$

Тогда аналогично,

${\displaystyle R_{D}\circ c=c\circ R_{C}}$

Обе стороны могут быть зеркально отражены друг на друге, при этом

${\displaystyle L_{D}\circ r=r\circ R_{D}}$

и аналогично,

${\displaystyle L_{C}\circ r=r\circ R_{C}}$

Эти операции могут располагаться произвольно. Рассмотрим, например, последовательность движений влево-вправо. Добавив индексы C и D и, для ясности, опустив оператор композиции во всех местах, за исключением нескольких, получим: ${\displaystyle LRLLR.}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ c=c\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$

Произвольные строки конечной длины в буквах L и R соответствуют двоичным рациональным числам , поскольку каждое двоичное рациональное число может быть записано как для целых чисел n и m , так и в виде битов конечной длины с . Таким образом, каждое двоичное рациональное число находится в однозначном виде. одно соответствие с некоторой самосимметрией функции Кантора. ${\displaystyle y=n/2^{m}}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

Некоторые изменения в обозначениях могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Пусть и обозначают L и R. Композиция функций расширяет это до моноида , поскольку можно писать и вообще для некоторых двоичных строк цифр A , B , где AB - это просто обычная конкатенация таких строк. Тогда диадический моноид M является моноидом всех таких движений конечной длины влево-вправо. Записывая как общий элемент моноида, имеет место соответствующая самосимметрия функции Кантора: ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$ ${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$ ${\displaystyle \gamma \in M}$

${\displaystyle \gamma _{D}\circ c=c\circ \gamma _{C}}$

Сам диадический моноид обладает несколькими интересными свойствами. Его можно рассматривать как конечное число перемещений влево-вправо вниз по бесконечному двоичному дереву ; бесконечно удаленные «листья» дерева соответствуют точкам множества Кантора, поэтому моноид также представляет собой самосимметрии множества Кантора. Фактически, большой класс часто встречающихся фракталов описывается диадическим моноидом; дополнительные примеры можно найти в статье о кривых де Рама . Другие фракталы, обладающие самоподобием, описываются другими видами моноидов. Диадический моноид сам по себе является субмоноидом модульной группы. ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$

Обратите внимание, что функция Кантора имеет более чем мимолетное сходство с функцией вопросительного знака Минковского . В частности, он подчиняется точно таким же соотношениям симметрии, хотя и в измененном виде.

Обобщения

Позволять

${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}2^{-k}}$

– двоичное (двоичное) разложение действительного числа 0 ≤ y ≤ 1 по двоичным цифрам b _k ∈ {0,1}. Более подробно это расширение обсуждается в статье о диадической трансформации . Затем рассмотрим функцию

${\displaystyle C_{z}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}z^{k}.}$

Для z  = 1/3 обратная функция x = 2  C _1/3 ( y ) является функцией Кантора. То есть y  =  y ( x ) — функция Кантора. В общем, для любого z  < 1/2 C _z ( y ) выглядит как функция Кантора, перевернутая набок, причем ширина ступенек увеличивается по мере приближения z к нулю.

Как упоминалось выше, функция Кантора также является кумулятивной функцией распределения меры на множестве Кантора. Различные функции Кантора, или «Лестницы Дьявола», могут быть получены путем рассмотрения различных безатомных вероятностных мер, поддерживаемых множеством Кантора или другими фракталами. Хотя функция Кантора почти везде имеет производную 0, текущие исследования сосредоточены на вопросе размера множества точек, в которых верхняя правая производная отличается от нижней правой производной, в результате чего производная не существует. Этот анализ дифференцируемости обычно проводится в терминах фрактальной размерности , причем наиболее популярным выбором является размерность Хаусдорфа. Это направление исследований было начато в 1990-х годах Дарстом ^[5] , который показал, что размерность Хаусдорфа множества недифференцируемости функции Кантора равна квадрату размерности множества Кантора . Впоследствии Фальконер ^[6] показал, что это соотношение возведения в квадрат справедливо для всех регулярных сингулярных мер Альфора, т.е. ${\displaystyle (\log 2/\log 3)^{2}}$

$${\displaystyle \dim _{H}\left\{x:f'(x)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu ([x,x+h])}{h}}{\text{ does not exist}}\right\}=\left(\dim _{H}\operatorname {supp} (\mu )\right)^{2}}$$

^[7]самоподобных множествах

Функция вопросительного знака Германа Минковского визуально напоминает функцию Кантора, представляя собой «сглаженную» форму последней; ее можно построить путем перехода от разложения цепной дроби к двоичному разложению, точно так же, как функцию Кантора можно построить путем перехода от троичного разложения к двоичному разложению. Функция вопросительного знака обладает интересным свойством: она имеет нулевые производные для всех рациональных чисел.

Смотрите также

• Диадическая трансформация
• Функция Вейерштрасса — функция, непрерывная всюду, но нигде не дифференцируемая.

Примечания

1. Веструп 2003, раздел 4.6.
2. Томсон, Брукнер и Брукнер 2008, с. 252.
3. «Функция Канторовой лестницы» .
4. Бас 2013, с. 28.
5. Дарст, Ричард (1 сентября 1993 г.). «Хаусдорфова размерность множества недифференцируемости функции Кантора равна [ln(2)/ln(3)]2». Труды Американского математического общества . 119 (1): 105–108. дои : 10.2307/2159830. JSTOR  2159830.
6. Фальконер, Кеннет Дж. (1 января 2004 г.). «Односторонний мультифрактальный анализ и точки недифференцируемости дьявольских лестниц». Математические труды Кембриджского философского общества . 136 (1): 167–174. Бибкод : 2004MPCPS.136..167F. дои : 10.1017/S0305004103006960. ISSN  1469-8064. S2CID  122381614.
7. Трошейт, Саша (01 марта 2014 г.). «Гельдеровая дифференцируемость самоконформных дьявольских лестниц». Математические труды Кембриджского философского общества . 156 (2): 295–311. arXiv : 1301.1286 . Бибкод : 2014MPCPS.156..295T. дои : 10.1017/S0305004113000698. ISSN  1469-8064. S2CID  56402751.

Рекомендации

• Басс, Ричард Франклин (2013) [2011]. Реальный анализ для аспирантов (Второе изд.). Независимое издательство Createspace. ISBN 978-1-4818-6914-0.
• Кантор, Г. (1884). «De la puissance dessembles parfaits de point: Extrait d'une lettre adressée à l'éditeur» [Сила идеальных наборов точек: отрывок из письма, адресованного редактору]. Акта Математика . Международная пресса Бостона. 4 : 381–392. дои : 10.1007/bf02418423 . ISSN  0001-5962.Перепечатано в: Э. Цермело (ред.), Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts, Springer, Нью-Йорк, 1980.
• Дарст, Ричард Б.; Палагалло, Джудит А.; Прайс, Томас Э. (2010), Любопытные кривые , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, ISBN 978-981-4291-28-6, МР  2681574
• Довгошей, О.; Мартио, О.; Рязанов В.; Вуоринен, М. (2006). «Функция Кантора». Экспозиции Mathematicae . Эльзевир Б.В. 24 (1): 1–37. doi :10.1016/j.exmath.2005.05.002. ISSN  0723-0869. МР  2195181.
• Флерон, Джулиан Ф. (1 апреля 1994 г.). «Заметка об истории множества Кантора и функции Кантора». Журнал «Математика» . Информа ЮК Лимитед. 67 (2): 136–140. дои : 10.2307/2690689. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690689.
• Лебег, Х. (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions примитивов [ Уроки интегрирования и поиска примитивных функций ], Париж: Готье-Виллар
• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева. Том. 181 (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 734. ИСБН 978-1-4704-2921-8. ОСЛК  976406106.
• Шеффер, Людвиг (1884). «Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven» [Общие исследования по исправлению кривых]. Акта Математика . Международная пресса Бостона. 5 : 49–82. дои : 10.1007/bf02421552 . ISSN  0001-5962.
• Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Элементарный реальный анализ (Второе изд.). КлассическийRealAnaанализ.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.
• Веструп, Э.М. (2003). Теория меры и интегрирования . Ряды Уайли по вероятности и статистике. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0471249771.
• Витали, А. (1905), «Sulle funzioni Integrali» [Об целочисленных функциях], Atti Accad. наук. Турин Кл. наук. Фис. Мат. Природа. , 40 : 1021–1034

Внешние ссылки

• Троичная функция Кантора в Математической энциклопедии
• Функция Кантора Дугласа Риверса, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Кантора». Математический мир .