Абсолютная непрерывность

Форма непрерывности функций

В исчислении и реальном анализе абсолютная непрерывность — это свойство гладкости функций , более сильное, чем непрерывность и равномерная непрерывность . Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщения связи между двумя центральными операциями исчисления — дифференцированием и интегрированием . Эта связь обычно характеризуется (основной теоремой исчисления ) в рамках интегрирования Римана , но с абсолютной непрерывностью может быть сформулирована в терминах интегрирования Лебега . Для вещественных функций на действительной прямой возникают два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная непрерывность меры . Эти два понятия обобщаются в разных направлениях. Обычная производная функции связана с производной Радона – Никодима или плотностью меры. Имеем следующие цепочки включений для функций над компактным подмножеством вещественной прямой:

абсолютно непрерывный ⊆ равномерно непрерывный непрерывный ${\displaystyle =}$

и для компактного интервала

непрерывно дифференцируемая ⊆ липшицева непрерывная ⊆ абсолютно непрерывная ⊆ ограниченная вариация ⊆ дифференцируемая почти всюду .

Абсолютная непрерывность функций

Непрерывная функция не может быть абсолютно непрерывной, если она не является равномерно непрерывной , что может произойти, если область определения функции не компактна – примерами являются tan( x ) над [0, π /2) , x ² по всей вещественной линия и sin(1/ x ) по (0, 1]. Но непрерывная функция f может не быть абсолютно непрерывной даже на компактном интервале. Она может не быть «дифференцируемой почти всюду» (как функция Вейерштрасса , которая не дифференцируема нигде). Или она может быть дифференцируема почти всюду, и ее производная f  ′ может быть интегрируемой по Лебегу , но интеграл от f  ′ отличается от приращения f (насколько f изменяется на интервале). Это происходит, например, с Канторова функция .

Определение

Позвольте быть интервалом в действительной линии . Функция абсолютно непрерывна , если для каждого положительного числа существует такое положительное число, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов с удовлетворяет ^[1] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{k}<y_{k}\in I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

затем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Обозначается совокупность всех абсолютно непрерывных функций на . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$

Эквивалентные определения

Следующие условия на вещественную функцию f на компактном интервале [ a , b ] эквивалентны: ^[2]

1. f абсолютно непрерывен;
2. f имеет производную f  ′ почти всюду , производная интегрируема по Лебегу и
   $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$
   для всех x на [ a , b ];
3. существует интегрируемая по Лебегу функция g на [ a , b ] такая, что
   $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$
   для всех x в [ a , b ].

Если эти эквивалентные условия выполнены, то обязательно любая функция g из условия 3. удовлетворяет g = f  ′ почти всюду.

Эквивалентность между (1) и (3) известна как фундаментальная теорема интегрального исчисления Лебега , принадлежащая Лебегу . ^[3]

Эквивалентное определение в терминах мер см. в разделе «Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности».

Характеристики

• Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны. Если две функции определены на ограниченном отрезке, то их произведение также абсолютно непрерывно. ^[4]
• Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном отрезке и нигде не равна нулю, то ее обратная функция абсолютно непрерывна. ^[5]
• Всякая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Любая (глобально) липшиц-непрерывная функция абсолютно непрерывна. ^[6]
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывен, то он имеет ограниченную вариацию на [ a , b ]. ^[7]
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывна, то ее можно записать как разность двух монотонных неубывающих абсолютно непрерывных функций на [ a , b ].
• Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывен, то он обладает свойством Лузина N (т.е. для любого такого , что , справедливо , где обозначает меру Лебега на R ). ${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle \lambda (N)=0}$ ${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$ ${\displaystyle \lambda }$
• f : I → R абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна, имеет ограниченную вариацию и обладает N- свойством Лузина. Это утверждение также известно как теорема Банаха-Зарецкого. ^[8]
• Если f : I → R абсолютно непрерывна и g : R → R глобально липшиц-непрерывна , то композиция g ∘ f абсолютно непрерывна. И наоборот, для каждой функции g , которая не является глобально липшицевой, существует абсолютно непрерывная функция f такая, что g ∘ f не является абсолютно непрерывной. ^[9]

Примеры

Следующие функции равномерно непрерывны, но не абсолютно непрерывны:

• Функция Кантора на [0, 1] (имеет ограниченную вариацию, но не абсолютно непрерывна);
• Функция:
  $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$
  на конечном интервале, содержащем начало координат.

Следующие функции абсолютно непрерывны, но не являются α-гельдеровскими:

• Функция f ( x ) =  x ^β на [0,  c ] для любого 0 < β < α < 1

Следующие функции абсолютно непрерывны и α-гельдеровы, но не липшицевы :

• Функция f ( x ) =  √ x на [0,  c ] для α  ≤ 1/2.

Обобщения

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство , а I — интервал вещественной прямой R. Функция f : I → X абсолютно непрерывна на I , если для каждого положительного числа существует такое положительное число, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов [ x _k , y _k ] I удовлетворяет: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

затем:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .}$

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций из I в X обозначается AC( I ; X ).

Дальнейшим обобщением является пространство AC ^p ( I ; X ) кривых f : I → X таких, что: ^[10]

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I}$

для некоторого m в ^{пространстве} Lp Lp ⁽ I) .

Свойства этих обобщений

• Всякая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Любая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
• Если f : [ a , b ] → X абсолютно непрерывно, то оно имеет ограниченную вариацию на [ a , b ].
• Для f ∈ AC ^p ( I ; X ) метрическая производная f существует для λ - почти всегда в I , а метрическая производная - это наименьшее m ∈ L ^p ( I ; R ), такое что: ^[11]
  $${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.}$$

Абсолютная преемственность мер

Определение

Мера на борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега , если для всякого -измеримого множества следует . Эквивалентно, подразумевается . Это состояние записано так, как Мы говорим , что преобладает ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ ${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda .}$

В большинстве приложений, если просто сказать, что мера на действительной прямой абсолютно непрерывна (без указания, относительно какой другой меры она абсолютно непрерывна), то имеется в виду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега.

Тот же принцип справедлив и для мер на борелевских подмножествах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

Эквивалентные определения

Следующие условия на конечную меру на борелевских подмножествах вещественной прямой эквивалентны: ^[12] ${\displaystyle \mu }$

1. ${\displaystyle \mu }$абсолютно непрерывен;
2. Для каждого положительного числа существует такое положительное число, что для всех борелевских множеств Лебега мера меньше ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta ;}$
3. Существует интегрируемая по Лебегу функция на действительной прямой такая, что: ${\displaystyle g}$
   $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$
   для всех борелевских подмножеств реальной прямой. ${\displaystyle A}$

Эквивалентное определение в терминах функций см. в разделе «Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности».

Любая другая функция, удовлетворяющая (3), равна почти всюду. Такая функция называется производной Радона–Никодима или плотностью абсолютно непрерывной меры. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu .}$

Эквивалентность между (1), (2) и (3) справедлива и для всех ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Таким образом, абсолютно непрерывными мерами на являются именно те, которые обладают плотностью; В частном случае абсолютно непрерывные вероятностные меры — это именно те, которые имеют функции плотности вероятности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обобщения

Если и являются двумя мерами в одном и том же измеримом пространстве , то говорят, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle \mu }$абсолютно непрерывен относительно ${\displaystyle \nu }$ifдля каждого множества,для которого^[13]Это записывается как "". То есть: ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0.}$ ${\displaystyle \mu \ll \nu }$

$${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

Когда тогда говорят, что ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$доминирующий ${\displaystyle \mu .}$

Абсолютная непрерывность мер рефлексивна и транзитивна , но не антисимметрична , так что это предварительный порядок , а не частичный порядок . Вместо этого, если и меры и считаются эквивалентными . Таким образом, абсолютная непрерывность индуцирует частичное упорядочение таких классов эквивалентности . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Если — знаковая или комплексная мера , то говорят, что она абсолютно непрерывна относительно того , если ее вариация удовлетворяет эквивалентным требованиям, если каждое множество , для которого равно нулю . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle |\mu |\ll \nu ;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

Теорема Радона–Никодима ^[14] утверждает, что если абсолютно непрерывна по и обе меры σ-конечны , то имеет плотность, или «производную Радона–Никодима», относительно которой означает, что существует -измеримая функция принимая значения через такие, что для любого -измеримого множества имеем: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,+\infty ),}$ ${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

Сингулярные меры

С помощью теоремы Лебега о разложении ^[15] любую σ-конечную меру можно разложить в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярной меры относительно другой σ-конечной меры. См. сингулярную меру , где приведены примеры мер, которые не являются абсолютно непрерывными.

Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности

Конечная мера µ на ​​борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда точечная функция:

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

является абсолютно непрерывной вещественной функцией. В более общем смысле, функция локально (то есть на каждом ограниченном интервале) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда ее распределительная производная является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

Если имеет место абсолютная непрерывность, то производная Радона–Никодима функции µ почти всюду равна производной функции F . ^[16]

В более общем смысле предполагается, что мера µ локально конечная (а не конечная), а F ( x ) определяется как µ ((0, x ]) для x > 0 , 0 для x = 0 и − µ (( x ,0]) при x < 0. В этом случае µ — мера Лебега–Стилтьеса, порожденная F. [ ^17] Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности по-прежнему сохраняется. ^[18]

Примечания

1. Ройден 1988, разд. 5.4, ​​стр. 108; Nielsen 1997, определение 15.6 на стр. 251; Атрея и Лахири 2006, Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129. В первых двух книгах интервал предполагается ограниченным и замкнутым, но не во второй. ${\displaystyle I}$
2. Нильсен 1997, теорема 20.8 на странице 354; также Ройден 1988, разд. 5.4, ​​стр. 110 и Атрея и Лахири 2006, теоремы 4.4.1, 4.4.2 на стр. 129,130.
3. Атрея и Лахири 2006, до теоремы 4.4.1 на странице 129.
4. Ройден 1988, задача 5.14(a,b) на странице 111.
5. Ройден 1988, задача 5.14(c) на странице 111.
6. Ройден 1988, задача 5.20(а) на странице 112.
7. Ройден 1988, лемма 5.11 на странице 108.
8. Брукнер, Брукнер и Томсон 1997, Теорема 7.11.
9. Фихтенхольц 1923.
10. Амбросио, Джильи и Саваре, 2005, Определение 1.1.1 на странице 23.
11. Амбросио, Джильи и Саваре, 2005, Теорема 1.1.2, стр. 24.
12. Эквивалентность между (1) и (2) является частным случаем Nielsen 1997, предложение 15.5 на странице 251 (не работает для σ-конечных мер); эквивалентность между (1) и (3) является частным случаем теоремы Радона–Никодима , см. Nielsen 1997, теорема 15.4 на стр. 251 или Athreya & Lahiri 2006, пункт (ii) теоремы 4.1.1 на стр. 115 (по-прежнему сохраняется) для σ-конечных мер).
13. Nielsen 1997, Определение 15.3 на странице 250; Ройден 1988, разд. 11.6, стр. 276; Атрейя и Лахири, 2006 г., определение 4.1.1, стр. 113.
14. Ройден 1988, теорема 11.23 на странице 276; Нильсен 1997, теорема 15.4, стр. 251; Атрея и Лахири, 2006, пункт (ii) теоремы 4.1.1, стр. 115.
15. Ройден 1988, предложение 11.24 на странице 278; Нильсен 1997, теорема 15.14, стр. 262; Атрея и Лахири, 2006, пункт (i) теоремы 4.1.1, стр. 115.
16. Ройден 1988, задача 12.17(b) на странице 303.
17. Атрея и Лахири 2006, разд. 1.3.2, стр. 26.
18. Nielsen 1997, предложение 15.7 на странице 252; Атрея и Лахири, 2006, теорема 4.4.3, стр. 131; Ройден 1988, задача 12.17(а) на стр. 303.

Рекомендации

• Амбросио, Луиджи; Джильи, Никола; Савари, Джузеппе (2005), Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN 3-7643-2428-7
• Атрея, Кришна Б.; Лахири, Сумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN 0-387-32903-Х
• Брукнер, AM; Брукнер, Дж.Б.; Томсон, бакалавр наук (1997), реальный анализ , Прентис Холл, ISBN 0-134-58886-Х
• Фихтенгольц, Григорий (1923). «Note sur les foctions absolument продолжается». Математический сборник . 31 (2): 286–295.
• Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR 2527916, Zbl  1180.46001, MAA 
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в интеграцию и теорию меры , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Ройден, HL (1988), Real Analysis (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Внешние ссылки

• Абсолютная преемственность в Математической энциклопедии
• Темы реального и функционального анализа Джеральда Тешля