Метрическая производная

Математическая концепция

В математике метрическая производная — это понятие производной , соответствующее параметризованным путям в метрических пространствах . Он обобщает понятие «скорости» или «абсолютной скорости» на пространства, в которых есть понятие расстояния (т. е. метрические пространства), но не направление (например, векторные пространства ).

Определение

Пусть – метрическое пространство. Пусть имеется предельная точка . Пусть будет путь. Тогда метрическая производная от at , обозначенная , определяется формулой ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma :E\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\gamma '|(t)}$

${\displaystyle |\gamma '|(t):=\lim _{s\to 0}{\frac {d(\gamma (t+s),\gamma (t))}{|s|}},}$

если этот предел существует.

Характеристики

Напомним, что AC ^p ( I ; X ) — это пространство кривых γ  : I → X таких, что

${\displaystyle d\left(\gamma (s),\gamma (t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ for all }}[s,t]\subseteq I}$

^для некоторого m в пространстве Lp ^Lp ( I ; R ) . Для γ ∈ AC ^p ( I ; X ) метрическая производная γ существует для Лебега - почти во всех случаях в I , а метрическая производная - это наименьшее m ∈ L ^p ( I ; R ), такое что выполнено вышеуказанное неравенство.

Если евклидово пространство снабжено своей обычной евклидовой нормой и является обычной производной Фреше по времени, то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|-\|}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}:E\to V^{*}}$

${\displaystyle |\gamma '|(t)=\|{\dot {\gamma }}(t)\|,}$

где – евклидова метрика. ${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$

Рекомендации

• Амбросио Л., Джильи Н. и Саваре Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. п. 24. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )