В математике функция f на интервале [ a , b ] обладает свойством Лузина N , названным в честь Николая Лузина (также называемым свойством Лузина или свойством N), если для всех таких , что выполняется: , где обозначает меру Лебега .
Заметим, что образ такого множества N не обязательно измерим , но поскольку мера Лебега полная , отсюда следует, что если внешняя мера Лебега этого множества равна нулю, то оно измеримо и его мера Лебега также равна нулю.
Любая дифференцируемая функция обладает N-свойством Лузина. [1] [2] Это распространяется на функции, которые дифференцируемы на косчетном множестве , поскольку образ счетного множества счетен и, следовательно, является нулевым множеством, но не на функции, дифференцируемые на косчетном множестве : функция Кантора не имеет Лузина N, так как мера Лебега множества Кантора равна нулю, но ее образом является полный интервал [0,1].
Функция f на отрезке [ a , b ] абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна , имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина N.
![{\displaystyle N\subset [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33194ec123afd1a8ffdd697e1464f0a3b321608a)
