Сингулярная мера

В математике две положительные (или знаковые , или комплексные ) меры , определенные на измеримом пространстве , называются сингулярными, если существуют два непересекающихся измеримых множества , объединение которых таково , что оно равно нулю на всех измеримых подмножествах , а равно нулю на всех измеримых подмножествах . обозначается ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ${\displaystyle A,B\in \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

Усовершенствованная форма теоремы Лебега о разложении разлагает сингулярную меру на сингулярную непрерывную меру и дискретную меру . Примеры см. ниже.

Примеры на R n

Как частный случай, мера, определенная на евклидовом пространстве, называется сингулярной , если она сингулярна относительно меры Лебега на этом пространстве. Например, дельта-функция Дирака является сингулярной мерой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пример. Дискретная мера .

Ступенчатая функция Хевисайда на действительной прямой ,

$${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$

дельта-распределение Диракапроизводной по распределениюточечная массамера Диракаоткрытое множество ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \delta _{0}:}$ ${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda (U)>0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

Пример. Особая непрерывная мера.

Распределение Кантора имеет кумулятивную функцию распределения , которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна , и действительно, ее абсолютно непрерывная часть равна нулю: она сингулярно непрерывна.

Пример. Сингулярная непрерывная мера на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Верхняя и нижняя границы Фреше–Хеффдинга представляют собой сингулярные распределения в двух измерениях.

Смотрите также

• Абсолютная непрерывность (теория меры)  - форма непрерывности функций.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема Лебега о разложении
• Сингулярное распределение  - распределение, сосредоточенное на множестве нулевой меры.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта

Рекомендации

• Эрик Вайсстайн, Краткая математическая энциклопедия CRC , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• Дж. Тейлор, Введение в меру и вероятность , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9 . 

Эта статья включает в себя материал из Single Measure на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .