Мера Дирака

В математике мера Дирака присваивает размер множеству исключительно на основе того, содержит ли оно фиксированный элемент x или нет. Это один из способов формализовать идею дельта-функции Дирака , важного инструмента в физике и других технических областях.

Определение

Мера Дирака — это мера $δ x$ на множестве $X$ (с любой $σ$ -алгеброй подмножеств X ) $,$ определенная для данного $x$ $\in$ $X$ и любого ( измеримого) множества $A$ $\subseteq$ $X$ равенством

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases} }

где $1 A$ – индикаторная функция A $.$

Мера Дирака является вероятностной мерой и с точки зрения вероятности представляет собой почти верный результат $x$ в выборочном пространстве $X.$ Мы также можем сказать, что мерой является один атом в точке $x$ ; однако рассматривать меру Дирака как атомарную меру неверно, если мы рассматриваем последовательное определение дельты Дирака как предела дельта-последовательности ^{[ сомнительно – обсудить ]} . Меры Дирака являются крайними точками выпуклого множества вероятностных мер на $X$ .

Имя представляет собой обратную связь с дельта-функцией Дирака ; рассматриваемое как распределение Шварца , например, на действительной прямой , меры могут рассматриваться как особый вид распределения. Личность

{\ displaystyle \ int _ {X} f (y) \, \ mathrm {d} \ delta _ {x} (y) = f (x),}

который в виде

{\ displaystyle \ int _ {X} f (y) \ delta _ {x} (y) \, \ mathrm {d} y = f (x),}

часто считается частью определения «дельта-функции», выполняется как теорема интегрирования Лебега .

Свойства меры Дирака

Пусть $δ x$ обозначает меру Дирака с центром в некоторой неподвижной точке $x$ в некотором измеримом пространстве $(X, Σ)$ .

$δ x$ — вероятностная мера и, следовательно, конечная мера .

Предположим, что ( $X, T) —$ топологическое пространство и что $Σ$ не менее тонка, чем борелевская $σ$ -алгебра $σ (T)$ на $X.$

$δ x$ является строго положительной мерой тогда и только тогда, когда топология $T$ такова, что $x$ лежит внутри каждого непустого открытого множества, например, в случае тривиальной топологии ${\emptyset, X}$ .
Поскольку $δ x$ — вероятностная мера, она также является локально конечной мерой .
Если $X$ — топологическое пространство Хаусдорфа с его борелевской $σ$ -алгеброй, то $δ x$ удовлетворяет условию быть внутренней регулярной мерой , поскольку одноэлементные множества, такие как ${x}$ , всегда компактны . Следовательно, $δx$ также является $мерой$ Радона .
Предполагая, что топология $T$ достаточно тонкая, чтобы { $x} была$ замкнутой, что имеет место в большинстве приложений, носителем δ $x$ $является$ ${x}$ . (Иначе, $supp(δ x)$ является замыканием ${x}$ в $(X, T)$ .) Кроме того, $δ x$ является единственной вероятностной мерой, носителем которой является ${x}$ .
Если $X$ — $n$ -мерное евклидово пространство $Rn с$ $его$ обычной $σ$ $-$ алгеброй и $n$ -мерной $мерой$ Лебега $λn$ , то $δx$ — сингулярная мера относительно $λn$ : $просто$ $разложим$ $Rn$ как $A$ $=$ $Rn$ $\$ ${$ $x$ $}$ и $B$ $= {$ $x$ $}$ и заметьте, что $δ$ $x$ $($ $A$ $) =$ $λ$ $n$ $($ $B$ $) = 0$ .
Мера Дирака является сигма-конечной мерой .

Обобщения

Дискретная мера аналогична мере Дирака, за исключением того, что она сосредоточена не в одной точке, а в счетном числе точек. Более формально мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега ), если ее носитель не более чем счетное множество .

Мера Дирака

Определение

Свойства меры Дирака

Обобщения

Смотрите также

Рекомендации