Компактное пространство

Согласно критериям компактности евклидова пространства, сформулированным в теореме Гейне–Бореля , интервал $A = (-\infty, -2]$ не является компактным, поскольку он не ограничен. Интервал $C = (2, 4)$ не является компактным, потому что он не замкнут (а ограничен), интервал $B = [0, 1]$ компактен, поскольку он одновременно замкнут и ограничен.

В математике , особенно в общей топологии , компактность — это свойство, которое стремится обобщить понятие замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства . ^[1] Идея состоит в том, что компактное пространство не имеет «проколов» или «недостающих конечных точек», т.е. оно включает в себя все предельные значения точек. Например, открытый интервал (0,1) не будет компактным, поскольку исключает предельные значения 0 и 1, тогда как закрытый интервал [0,1] будет компактным. Аналогично пространство рациональных чисел некомпактно, поскольку оно имеет бесконечно много «проколов», соответствующих иррациональным числам , и пространство действительных чисел также некомпактно, поскольку исключает два предельных значения и . Однако расширенная линия действительных чисел была бы компактной, поскольку содержит обе бесконечности. Есть много способов сделать это эвристическое понятие точным. Эти способы обычно совпадают в метрическом пространстве , но могут не быть эквивалентными в других топологических пространствах . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$

Одним из таких обобщений является то, что топологическое пространство является секвенциально компактным, если каждая бесконечная последовательность точек, выбранных из пространства, имеет бесконечную подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке пространства. ^[2] Теорема Больцано –Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом секвенциальном смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Таким образом, если кто-то выберет бесконечное количество точек в замкнутом единичном интервале $[0, 1]$ , некоторые из этих точек окажутся сколь угодно близкими к некоторому действительному числу в этом пространстве. Например, некоторые числа в последовательности 1/2,4/5,1/3,5/6,1/4,6/7, ... накапливаются до 0 (а другие накапливаются до 1). Поскольку ни 0, ни 1 не являются членами открытого единичного интервала $(0, 1)$ , те же самые наборы точек не будут накапливаться ни в одной из его точек, поэтому открытый единичный интервал не является компактным. Хотя подмножества (подпространства) евклидова пространства могут быть компактными, само пространство не является компактным, поскольку оно не ограничено. Например, учитывая (линию действительных чисел), последовательность точек 0, 1, 2, 3, ... не имеет подпоследовательности, сходящейся к какому-либо действительному числу. $\mathbb {R} ^{1}$

Компактность была формально введена Морисом Фреше в 1906 году для обобщения теоремы Больцано-Вейерштрасса с пространств геометрических точек на пространства функций . Теорема Арсела-Асколи и теорема существования Пеано служат примерами применения этого понятия компактности к классическому анализу. После его первоначального введения в общих метрических пространствах были развиты различные эквивалентные понятия компактности, включая секвенциальную компактность и компактность предельной точки . ^[3] Однако в общих топологических пространствах эти понятия компактности не обязательно эквивалентны. Наиболее полезное понятие — и стандартное определение безусловного термина компактность — сформулировано в терминах существования конечных семейств открытых множеств , которые « покрывают » пространство в том смысле, что каждая точка пространства лежит в некотором множестве, содержащемся в семья. Это более тонкое понятие, введенное Павлом Александровым и Павлом Урысоном в 1929 году, показывает компакты как обобщения конечных множеств . В пространствах, компактных в этом смысле, часто можно объединить информацию, которая справедлива локально , то есть в окрестности каждой точки, в соответствующие утверждения, справедливые во всем пространстве, и многие теоремы носят такой характер.

Термин «компакт» иногда используется как синоним компактного пространства, но также часто относится к компактному подпространству топологического пространства .

Историческое развитие

В 19 веке были поняты несколько несопоставимых математических свойств, которые позже будут рассматриваться как последствия компактности. С одной стороны, Бернар Больцано (1817) знал, что любая ограниченная последовательность точек (например, на прямой или плоскости) имеет подпоследовательность, которая в конечном итоге должна подобраться сколь угодно близко к какой-то другой точке, называемой предельной точкой . Доказательство Больцано опиралось на метод деления пополам : последовательность помещалась в интервал, который затем делился на две равные части, и выбиралась часть, содержащая бесконечное число членов последовательности. Затем процесс можно повторить, разделив полученный меньший интервал на все меньшие и меньшие части – до тех пор, пока он не закроется в желаемой предельной точке. Полное значение теоремы Больцано и метода ее доказательства раскрылось лишь почти 50 лет спустя, когда она была заново открыта Карлом Вейерштрассом . ^[4]

В 1880-х годах стало ясно, что результаты, подобные теореме Больцано–Вейерштрасса, можно сформулировать для пространств функций , а не только для чисел или геометрических точек. Идея рассматривать функции как точки обобщенного пространства восходит к исследованиям Джулио Асколи и Чезаре Арсела . ^[5] Кульминацией их исследований стала теорема Арзела-Асколи , которая была обобщением теоремы Больцано-Вейерштрасса на семейства непрерывных функций , точный вывод которой заключался в том, что можно извлечь равномерно сходящую последовательность функций из подходящее семейство функций. Равномерный предел этой последовательности играл тогда точно такую же роль, как «предельная точка» Больцано. К началу двадцатого века результаты, подобные результатам Арзела и Асколи, начали накапливаться в области интегральных уравнений , исследованных Дэвидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом . Для определенного класса функций Грина, возникающих из решений интегральных уравнений, Шмидт показал, что свойство, аналогичное теореме Арзела-Асколи, сохраняется в смысле сходимости в среднем - или сходимости в том, что позже будет названо гильбертовым пространством . В конечном итоге это привело к понятию компактного оператора как ответвления общего понятия компактного пространства. Именно Морис Фреше в 1906 году выделил суть свойства Больцано-Вейерштрасса и ввёл термин компактность для обозначения этого общего явления (он использовал этот термин уже в своей статье 1904 года ^[6] , которая привела к знаменитому тезису 1906 года). ).

Однако в конце XIX века в результате изучения континуума постепенно возникло и другое понятие компактности , которое считалось фундаментальным для строгой формулировки анализа. В 1870 году Эдуард Гейне показал, что непрерывная функция , определенная на замкнутом и ограниченном интервале, на самом деле является равномерно непрерывной . В ходе доказательства он воспользовался леммой о том, что из любого счетного покрытия интервала меньшими открытыми интервалами можно выбрать конечное число таких, которые также его покрывают. Значение этой леммы было признано Эмилем Борелем (1895 г.), а Пьером Кузеном (1895 г.) и Анри Лебегом (1904 г.) она была обобщена на произвольные наборы интервалов . Теорема Гейне -Бореля , как теперь известен результат, представляет собой еще одно специальное свойство, которым обладают замкнутые и ограниченные множества действительных чисел.

Это свойство было важным, поскольку оно позволяло перейти от локальной информации о множестве (например, о непрерывности функции) к глобальной информации о множестве (например, о равномерной непрерывности функции). Это мнение выразил Лебег (1904), который также использовал его при разработке интеграла, носящего теперь его имя . В конечном итоге российская школа точечной топологии под руководством Павла Александрова и Павла Урысона сформулировала компактность Гейне-Бореля таким образом, чтобы ее можно было применить к современному понятию топологического пространства . Александров и Урысон (1929) показали, что более ранняя версия компактности Фреше, называемая теперь (относительной) секвенциальной компактностью , при соответствующих условиях вытекала из версии компактности, которая была сформулирована в терминах существования конечных подпокрытий. Именно это понятие компактности стало доминирующим, поскольку оно было не только более сильным свойством, но и могло быть сформулировано в более общей форме с минимумом дополнительных технических средств, поскольку оно опиралось только на структуру открытых множеств. в пространстве.

Основные примеры

Любое конечное пространство компактно; конечное подпокрытие можно получить, выбрав для каждой точки открытое множество, содержащее ее. Нетривиальным примером компакта является (замкнутый) единичный интервал $[0,1]$ действительных чисел . Если выбрать бесконечное число различных точек на единичном интервале, то среди этих точек на этом интервале должна быть некоторая точка накопления . Например, нечетные члены последовательности 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... становятся сколь угодно близкими к 0, а четные — сколь угодно близкими к 1. Данная последовательность примеров показывает важность включения граничных точек интервала, поскольку предельные точки должны находиться в самом пространстве — открытый (или полуоткрытый) интервал действительных чисел не компактен. Также крайне важно, чтобы интервал был ограниченным , поскольку в интервале $[0,\infty)$ можно выбрать последовательность точек 0, 1, 2, 3, ... , из которых ни одна подпоследовательность в конечном итоге не приближается сколь угодно близко к любое заданное действительное число.

В двух измерениях закрытые диски компактны, поскольку для любого бесконечного числа точек, выбранных из диска, некоторое подмножество этих точек должно оказаться сколь угодно близким либо к точке внутри диска, либо к точке на границе. Однако открытый диск не компактен, потому что последовательность точек может стремиться к границе, не приближаясь сколь угодно близко к какой-либо точке внутри. Точно так же сферы компактны, а сфера, в которой отсутствует точка, — нет, поскольку последовательность точек все равно может стремиться к недостающей точке, тем самым не приближаясь к какой-либо точке пространства сколь угодно близко . Линии и плоскости не компактны, поскольку можно взять набор равноотстоящих друг от друга точек в любом заданном направлении, не приближаясь ни к одной точке.

Определения

В зависимости от уровня общности могут применяться различные определения компактности. Подмножество евклидова пространства, в частности, называется компактным, если оно замкнуто и ограничено . По теореме Больцано-Вейерштрасса это означает , что любая бесконечная последовательность из множества имеет подпоследовательность , сходящуюся к точке множества. Различные эквивалентные понятия компактности, такие как секвенциальная компактность и компактность предельной точки , могут быть развиты в общих метрических пространствах . ^[3]

Напротив, различные понятия компактности не эквивалентны в общих топологических пространствах , и наиболее полезное понятие компактности, первоначально называемое бикомпактностью , определяется с использованием покрытий , состоящих из открытых множеств (см. Определение открытого покрытия ниже). То, что эта форма компактности справедлива для замкнутых и ограниченных подмножеств евклидова пространства, известна как теорема Гейне-Бореля . Компактность, определенная таким образом, часто позволяет взять информацию, которая известна локально – в окрестностях каждой точки пространства – и расширить ее до информации, которая сохраняется глобально во всем пространстве. Примером этого явления является теорема Дирихле, к которой первоначально применил ее Гейне, о том, что непрерывная функция на компактном интервале равномерно непрерывна ; здесь непрерывность — локальное свойство функции, а равномерная непрерывность — соответствующее глобальное свойство.

Определение открытой крышки

Формально топологическое пространство $X$ называется компактным, $если$ каждое открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие . ^[7] То есть $X$ компактно, если для любого набора $C$ открытых подмножеств ^[8] $X$ такого , что

X=\bigcup _{S\in C}S\,

существует конечный поднабор $F$ ⊆ $C$ такой, что

X=\bigcup _{S\in F}S\ .

Некоторые разделы математики, такие как алгебраическая геометрия , обычно находящиеся под влиянием французской школы Бурбаки , используют термин « квазикомпактный» для общего понятия и оставляют термин « компактный» для топологических пространств, которые являются как Хаусдорфовыми , так и квазикомпактными . Компакт иногда называют компактом во множественном числе компактами .

Компактность подмножеств

Подмножество $K$ топологического пространства $X$ называется компактным, если оно компактно как подпространство (в топологии подпространства ). То есть $K$ компактно, если для любого произвольного набора $C$ открытых подмножеств $X$ такого, что

K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\,

существует конечный поднабор $F$ ⊆ $C$ такой, что

K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .

Компактность — топологическое свойство. То есть, если с подмножеством $Z$ , снабженным топологией подпространства, то $K$ компактно в $Z$ тогда и только тогда, когда $K$ компактно в $Y$ . $K\subset Z\subset Y$

Характеристика

Если $X$ — топологическое пространство, то следующие условия эквивалентны:

$X$ компактен; т. е. каждое $открытое$ покрытие X имеет конечное подпокрытие .
$X$ имеет подбазу такую, что каждое покрытие пространства членами подбазы имеет конечное подпокрытие ( теорема Александера о подбазе ).
$X$ линделефово и счетно компактно . ^[9]
Любой набор замкнутых подмножеств $X$ со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение.
У каждой сети на $X$ есть сходящаяся подсеть ( доказательство см. в статье о сетях ).
Каждый фильтр на $X$ имеет сходящееся уточнение.
Каждая сеть на $X$ имеет точку кластера.
Каждый фильтр на $X$ имеет точку кластера.
Каждый ультрафильтр на $X$ сходится хотя бы к одной точке.
Каждое бесконечное подмножество $X$ имеет полную точку накопления . ^[10]
Для всякого топологического пространства $Y$ проекция является замкнутым отображением ^[11] (см. собственное отображение ). $X\times Y\to Y$

Бурбаки определяет компактное пространство (квазикомпактное пространство) как топологическое пространство, в котором каждый фильтр имеет точку кластера (т. е. 8, как указано выше). ^[12]

Евклидово пространство

Для любого подмножества $А$ евклидова пространства $А$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено ; это теорема Гейне-Бореля .

Поскольку евклидово пространство является метрическим пространством, условия следующего подраздела также применимы ко всем его подмножествам. Из всех эквивалентных условий на практике легче всего проверить, что подмножество замкнуто и ограничено, например, для замкнутого интервала или замкнутого $n$ -шара.

Метрические пространства

Для любого метрического пространства $(X, d)$ следующие условия эквивалентны (при условии счетного выбора ):

$(X, d)$ компактно.
$(X, d)$ полно и вполне ограничено (это также эквивалентно компактности для равномерных пространств ). ^[13]
$(X, d)$ секвенциально компактен; то есть каждая последовательность в $X$ имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой находится в $X$ (это также эквивалентно компактности для равномерных пространств с первым счетом ).
$(X, d)$ компакт в предельной точке (также называемый слабо счетно компактным); то есть каждое бесконечное подмножество $X$ имеет хотя бы одну предельную точку в $X$ .
$(X, d)$ счетно компактна ; то есть каждое счетное открытое покрытие $X$ имеет конечное подпокрытие.
$(X, d)$ — образ непрерывной функции из множества Кантора . ^[14]
Каждая убывающая вложенная последовательность непустых замкнутых подмножеств $S 1 \supseteq S 2 \supseteq ...$ в $(X, d)$ имеет непустое пересечение.
Любая возрастающая вложенная последовательность собственных открытых подмножеств $S 1 \subseteq S 2 \subseteq ...$ в $(X, d)$ не может покрыть $X.$

Компактное метрическое пространство $(X, d)$ также удовлетворяет следующим свойствам:

Лелемма Лебега о числах : для любого открытого покрытия $X$ существует число δ > 0 такое, что каждое подмножество $X$ диаметра < $δ$ содержится в некотором элементе покрытия.
$(X, d)$ счетно по секундам , сепарабельно и по Линделефу – эти три условия эквивалентны для метрических пространств. Обратное неверно; например, счетное дискретное пространство удовлетворяет этим трем условиям, но не является компактным.
$X$ замкнуто и ограничено (как подмножество любого метрического пространства, ограниченная метрика которого равна $d$ ). Обратное может оказаться неверным для неевклидова пространства; например, действительная линия , снабженная дискретной метрикой, замкнута и ограничена, но не компактна, поскольку совокупность всех одиночных элементов пространства представляет собой открытое покрытие, не допускающее конечного подпокрытия. Оно полно, но не полностью ограничено.

Заказанные места

Для упорядоченного пространства $(X, <)$ (т.е. полностью упорядоченного множества, снабженного топологией порядка), следующие условия эквивалентны:

$(X, <)$ компактно.
Каждое подмножество $X$ имеет верхнюю границу (т.е. наименьшую верхнюю границу) в $X$ .
Каждое подмножество $X$ имеет нижнюю границу (т.е. максимальную нижнюю границу) в $X$ .
Каждое непустое замкнутое подмножество $X$ имеет максимальный и минимальный элемент.

Упорядоченное пространство, удовлетворяющее (любому из) этих условий, называется полной решеткой.

Кроме того, следующие утверждения эквивалентны для всех упорядоченных пространств $(X, <)$ и (при условии счетного выбора ) верны всякий раз, когда $(X, <)$ компактно. (Обратное, вообще говоря, неверно, если $(X, <)$ также не метризуемо.):

Каждая последовательность в $(X, <)$ имеет подпоследовательность, сходящуюся в $(X, <)$ .
Каждая монотонно возрастающая последовательность в $X$ сходится к единственному пределу в $X$ .
Любая монотонно убывающая последовательность в $X$ сходится к единственному пределу в $X$ .
Любая убывающая вложенная последовательность непустых замкнутых подмножеств $S$ ₁ ⊇ $S$ ₂ ⊇ ... в $(X, <)$ имеет непустое пересечение.
Любая возрастающая вложенная последовательность собственных открытых подмножеств $S$ ₁ ⊆ $S$ ₂ ⊆ ... в $(X, <)$ не может покрыть $X.$

Характеризация непрерывными функциями

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $C($ X $)$ $—$ кольцо действительных непрерывных функций на $X.$ Для каждого $p \in X$ отображение оценки, заданное формулой $ev$ $p$ $($ $f$ $) =$ $f$ $($ $p$ $),$ является кольцевым гомоморфизмом. Ядро ev $p$ является максимальным идеалом , поскольку поле вычетов $C($ $X$ $)/ker ev$ $p$ $является$ полем действительных чисел по первой теореме об изоморфизме . Топологическое пространство $X$ псевдокомпактно тогда и только тогда, когда каждый максимальный идеал в C $($ $X$ $)$ имеет поле вычетов действительных чисел. Для полностью регулярных пространств это эквивалентно тому, что каждый максимальный идеал является ядром оценочного гомоморфизма. ^[15] Однако существуют псевдокомпактные пространства, которые не являются компактными. $\operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R}$

В общем, для непсевдокомпактных пространств всегда существуют максимальные идеалы $m$ в $C(X)$ такие, что поле вычетов $C(X)/ m$ является ( неархимедовым ) гипервещественным полем . Структура нестандартного анализа допускает следующую альтернативную характеристику компактности: ^[16] топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда каждая точка $x$ $естественного$ расширения $*X$ бесконечно близка к точке $x0$ из $X$ (более точнее, $x$ $содержится$ в монаде x0 $)$ .

Гиперреальное определение

Пространство $X$ компактно, если его гипервещественное расширение $*X$ (построенное, например, с помощью ультрастепенной конструкции ) обладает тем свойством, что каждая точка $*X$ бесконечно близка к некоторой точке $X \subset *X$ . Например, открытый действительный интервал $X = (0, 1)$ не является компактным, поскольку его гипервещественное расширение $*(0,1)$ содержит бесконечно малые числа, бесконечно близкие к 0, который не является точкой $X$ .

Достаточные условия

Замкнутое подмножество компакта компактно. ^[17]
Конечное объединение компактов компактно.
Непрерывный образ компактного пространства компактен . ^[18]
Пересечение любого непустого набора компактных подмножеств хаусдорфова пространства компактно (и замкнуто);
- Если $X$ не является Хаусдорфом, то пересечение двух компактных подмножеств может не быть компактным (см., например, сноску). ^[а]
Произведение любого набора компактов компактно. (Это теорема Тихонова , эквивалентная аксиоме выбора .)
В метризуемом пространстве подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно (при условии счетного выбора ).
Конечное множество, наделенное любой топологией, компактно.

Свойства компактов

Компактное подмножество хаусдорфова пространства X замкнуто.
- Если $X$ не является Хаусдорфом, то компактное подмножество $X$ может не быть замкнутым подмножеством $X$ (см., например, сноску). ^[б]
- Если $X$ не является Хаусдорфом, то замыкание компакта может не быть компактным (см., например, сноску). ^[с]
В любом топологическом векторном пространстве (ТВП) компактное подмножество является полным . Однако каждая нехаусдорфова ТВС содержит компактные (и, следовательно, полные) незамкнутые подмножества .
Если $A$ и $B$ — непересекающиеся компактные подмножества хаусдорфова пространства $X$ , то существуют непересекающиеся открытые множества $U$ и $V$ в $X$ такие, что $A \subseteq U$ и $B \subseteq V.$
Непрерывная биекция компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом .
Хаусдорфово пространство нормально и регулярно .
Если пространство $X$ компактно и хаусдорфово, то никакая более тонкая топология на $X$ не является компактной и никакая более грубая топология на $X$ не является хаусдорфовой.
Если подмножество метрического пространства $(X, d)$ компактно, то оно $d$ -ограничено.

Функции и компактные пространства

Поскольку непрерывный образ компакта компактен, для таких пространств справедлива теорема о крайнем значении : непрерывная вещественная функция на непустом компакте ограничена сверху и достигает своего супремума. ^[19] (В несколько более общем смысле это верно для полунепрерывной сверху функции.) Как своего рода противоположность приведенным выше утверждениям, прообраз компактного пространства при правильном отображении компактен.

Компактификации

Каждое топологическое пространство $X$ является открытым плотным подпространством компакта, имеющим не более чем на одну точку больше, чем $X$ , в силу одноточечной компактификации Александрова . По той же конструкции каждое локально компактное хаусдорфово пространство $X$ является открытым плотным подпространством бикомпакта, имеющим не более чем на одну точку больше, чем $X$ .

Упорядоченные компактные пространства

Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший и наименьший элемент.

Пусть $X$ — просто упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией . Тогда $X$ компактно тогда и только тогда, когда $X$ — полная решетка (т. е. все подмножества имеют верхние и нижние точки). ^[20]

Примеры

Любое конечное топологическое пространство , включая пустое множество , компактно. В более общем смысле любое пространство с конечной топологией (только с конечным числом открытых множеств) компактно; это включает в себя, в частности, тривиальную топологию .
Любое пространство, несущее коконечную топологию , компактно.
Любое локально компактное хаусдорфово пространство можно превратить в компактное, добавив к нему одну точку посредством одноточечной компактификации Александрова . Одноточечная компактификация $гомеоморфна$ окружности $S1$ ; одноточечная компактификация $гомеоморфна$ сфере $S2$ . Используя одноточечную компактификацию, можно также легко построить нехаусдорфовые компакты, начав с нехаусдорфовых пространств. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$
Топология правого порядка или топология левого порядка на любом ограниченном полностью упорядоченном множестве компактна. В частности, пространство Серпинского компактно.
Никакое дискретное пространство с бесконечным числом точек не является компактным. Совокупность всех одиночных элементов пространства представляет собой открытое покрытие, не имеющее конечного подпокрытия. Конечные дискретные пространства компактны.
При использовании топологии нижнего предела ни одно несчетное множество не является компактным. $\mathbb {R}$
В счетной топологии на несчетном множестве ни одно бесконечное множество не является компактным. Как и в предыдущем примере, пространство в целом не является локально компактным , но по-прежнему является линделефовым .
Замкнутый единичный интервал $[0, 1]$ компактен. Это следует из теоремы Гейне–Бореля . Открытый интервал $(0, 1)$ не компактен: открытое покрытие при $n$ $= 3, 4,...$ не имеет конечного подпокрытия. Аналогично, множество рациональных чисел в интервале $[0,1]$ не является компактным: множества рациональных чисел в интервалах охватывают все рациональные числа в [0, 1] для $n$ $= 4, 5,...$ но это покрытие не имеет конечного подпокрытия. Здесь множества открыты в топологии подпространства, даже если они не открыты как подмножества . ${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ и }}\left[{\frac {1}{ \pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ $\mathbb {R}$
Множество всех действительных чисел не компактно, поскольку существует покрытие открытых интервалов, не имеющее конечного подпокрытия. Например, интервалы $($ $n$ $- 1,$ $n$ $+ 1)$ , где $n$ принимает все целые значения из $Z$ , покрывают, но не имеют конечного подпокрытия. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
С другой стороны, расширенная линия действительных чисел, несущая аналогичную топологию , компактна ; обратите внимание, что описанное выше покрытие никогда не достигнет точек бесконечности и, следовательно, не покроет расширенную действительную линию. Фактически, набор обладает гомеоморфизмом к [−1, 1] отображения каждой бесконечности в соответствующую единицу и каждого действительного числа в его знак, умноженный на уникальное число в положительной части интервала, что приводит к его абсолютному значению при делении на один минус сам себя, и поскольку гомеоморфизмы сохраняют накрытия, можно вывести свойство Гейне-Бореля.
Для любого натурального числа $n$ n $-сфера$ компактна . Опять же, согласно теореме Гейне-Бореля, замкнутый единичный шар любого конечномерного нормированного векторного пространства компактен. Это неверно для бесконечных измерений; Фактически, нормированное векторное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар компактен.
С другой стороны, замкнутый единичный шар двойственного нормированного пространства компактен для слабой топологии. ( теорема Алаоглу )
Множество Кантора компактно. Фактически, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова множества.
Рассмотрим множество $K$ всех функций $\mathbb {R}$ от линии действительных чисел до замкнутого единичного интервала и определим топологию на $K$ так, чтобы последовательность в $K$ сходилась к $f$ $\in$ $K$ тогда и только тогда, когда сходилась к $f$ $($ $x$ $)$ для всех действительных чисел $x$ . Существует только одна такая топология; она называется топологией поточечной сходимости или топологией произведения . Тогда $K$ — компактное топологическое пространство; это следует из теоремы Тихонова . $\{f_{n}\}$ $\{f_{n}(x)\}$
Подмножество банахова пространства вещественнозначных непрерывных функций на компакте Хаусдорфа относительно компактно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничено ( теорема Арзела–Асколи ).
Рассмотрим множество $K$ всех функций $f : [0, 1] \to [0, 1],$ удовлетворяющих условию Липшица $| ж (Икс) - ж (у) | \leq | х - у |$ для всех $x, y \in [0,1]$ . Рассмотрим на $K$ метрику, индуцированную равномерным расстоянием. Тогда по теореме Арзела–Асколи пространство $K$ компактно. $d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$
Спектр любого ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве представляет собой непустое компактное подмножество комплексных чисел . Обратно, любое компактное подмножество возникает таким образом как спектр некоторого ограниченного линейного оператора. Например, диагональный оператор в гильбертовом пространстве может иметь любое компактное непустое подмножество спектра. $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\ell ^{2}$ $\mathbb {C}$
Пространство борелевских вероятностных мер на компактном хаусдорфовом пространстве компактно для нечеткой топологии по теореме Алаоглу.
Набор вероятностных мер на борелевских множествах евклидова пространства называется плотным , если для любого положительного эпсилона существует компактное подмножество, содержащее все, кроме не более чем эпсилона, массы каждой из мер. Теорема Хелли затем утверждает, что набор вероятностных мер относительно компактен для нечеткой топологии тогда и только тогда, когда он тесный.

Алгебраические примеры

Топологические группы , такие как ортогональная группа, компактны, а такие группы, как общая линейная группа, - нет.
Поскольку $p$ -адические целые числа гомеоморфны канторову множеству, они образуют компакт.
Любое глобальное поле K является дискретной аддитивной подгруппой своего кольца аделей , а фактор-пространство компактно. Это было использовано в диссертации Джона Тейта , чтобы позволить использовать гармонический анализ в теории чисел .
Спектр любого коммутативного кольца с топологией Зариского (т . е. множество всех простых идеалов) компактен, но никогда не является хаусдорфовым (за исключением тривиальных случаев). В алгебраической геометрии такие топологические пространства являются примерами квазикомпактных схем , слово «квази» относится к нехаусдорфовой природе топологии.
Спектр булевой алгебры компактен, и этот факт является частью теоремы Стоуна о представлении . Пространства Стоуна , компактные полностью несвязные пространства Хаусдорфа, образуют абстрактную структуру, в которой изучаются эти спектры. Такие пространства полезны также при изучении проконечных групп .
Структурное пространство коммутативной банаховой алгебры с единицей является компактным хаусдорфовым пространством.
Куб Гильберта компактен , что опять же является следствием теоремы Тихонова.
Проконечная группа (например, группа Галуа ) компактна.

Смотрите также

Примечания

^ Пусть $\mathbb {N}$ , $\mathbb {N}$ и $\mathbb {N}$ . Наделите $X$ топологией, созданной следующими базовыми открытыми множествами: каждое подмножество открыто; единственные открытые множества, содержащие $a,$ — это $X$ и $U$ ; и единственные открытые множества, содержащие $b$ , — это $X$ и $V.$ Тогда $U$ и $V$ оба являются компактными подмножествами, но их пересечение, то есть , не компактно. Обратите внимание, что и $U$ , и $V$ являются компактными открытыми подмножествами, ни одно из которых не является замкнутым. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$
^ Пусть $X = {a, b}$ и наделите $X$ топологией ${X, \emptyset, {a}}$ . Тогда ${a}$ — компакт, но не замкнут.
^ Пусть $X$ — набор неотрицательных целых чисел. Мы наделяем $X$ конкретной точечной топологией , определяя подмножество $U \subseteq X$ открытым тогда и только тогда, когда $0 \in U$ . Тогда $S := {0}$ компактно, замыканием $S$ является все $X$ , но $X$ не компактно, поскольку совокупность открытых подмножеств ${{0, x} : x \in X}$ не имеет конечного подпокрытия.

Библиография

Александров Павел ; Урысон, Павел (1929). «Mémoire sur les espaces topologiques Compact». Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Труды секции математических наук . 14 .
Архангельский А.В.; Федорчук, В.В. (1990). «Основные понятия и конструкции общей топологии». В Архангельский А.В.; Понтрягин Л.С. (ред.). Общая топология I. Энциклопедия математических наук. Том. 17. Спрингер. ISBN 978-0-387-18178-3..
Архангельский, А.В. (2001) [1994], «Компактное пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press.
Больцано, Бернар (1817). Если вы хотите, чтобы ваш аналитик был в курсе, то, как вы думаете, вы получите результат, который вы получите, когда будете знать, что вы думаете о сеньоре. Вильгельм Энгельманн.( Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит хотя бы один действительный корень уравнения ).
Борель, Эмиль (1895). «Sur quelques Points de la Theorie des Functions». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 3. 12 :9–55. дои : 10.24033/asens.406 . ЖФМ 26.0429.03.
Бурбаки, Николя (2007). Общая топология. Главы 1–4. Берлин: Springer. дои : 10.1007/978-3-540-33982-3. ISBN 978-3-540-33982-3.
Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью-Йорк: Dover Publications. МР 0124178.
Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С (1991). История математики (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-54397-8.
Арсела, Чезаре (1895). «Все функции линии». Память Аккад. наук. Ист. Болонья Кл. наук. Фис. Мат . 5 (5): 55–74.
Арсела, Чезаре (1882–1883). «Un'osservazione intorno alle serie di funzioni». Ренд. Делл Аккад. Р. Делле Sci. dell'Istituto di Bologna : 142–159.
Асколи, Г. (1883–1884). «Ограничение разнообразия данных кривой». Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. наук. Фис. Мат. Нат . 18 (3): 521–586.
Фреше, Морис (1906). «Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 (1): 1–72. дои : 10.1007/BF03018603. hdl :10338.dmlcz/100655. S2CID 123251660.
Гиллман, Леонард; Джерисон, Мейер (1976). Кольца непрерывных функций . Спрингер-Верлаг.
Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970. ОЛ 1272666М.
Келли, Джон (1955). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике. Том. 27. Шпрингер-Верлаг.
Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древности до современности (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-506136-9.
Лебег, Анри (1904). Уроки интеграции и исследования примитивных функций. Готье-Виллар.
Робинсон, Авраам (1996). Нестандартный анализ . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04490-3. МР 0205854.
Скарборо, Коннектикут; Стоун, АХ (1966). «Произведения почти компактных пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 124 (1): 131–147. дои : 10.2307/1994440 . JSTOR 1994440. Архивировано (PDF) из оригинала 16 августа 2017 г..
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (переиздание Dover Publications, изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. МР 0507446.
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6.

Внешние ссылки

Сундстрем, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].

В эту статью включены материалы из «Примеров компактных пространств» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .