В математике рациональное число — это число , которое можно выразить как частное или дробь двух целых чисел , числителя p и ненулевого знаменателя q . [1] Например, является рациональным числом, как и любое целое число (например, ). Множество всех рациональных чисел, также называемое « рациональными числами », [2] поле рациональных чисел [3] или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q , [a] или жирным шрифтом [b] на доске.
Рациональное число – это действительное число . Рациональными действительными числами являются те, десятичное разложение которых либо заканчивается после конечного числа цифр (пример: 3/4 = 0,75 ), либо в конечном итоге начинает повторять одну и ту же конечную последовательность цифр снова и снова (пример: 9/44 = 0,20454545... ). [4] Это утверждение верно не только для десятичной системы счисления , но и для любой другой целочисленной системы счисления , например, двоичной и шестнадцатеричной (см. раздел Повторение десятичной дроби § Расширение до других оснований ).
Действительное число , не являющееся рациональным, называется иррациональным . [5] Иррациональные числа включают квадратный корень из 2 ( ), π , e и золотое сечение ( φ ). Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел неисчислимо , почти все действительные числа иррациональны. [1]
Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел ( p, q ) с q ≠ 0 , используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:
Тогда дробь обозначает класс эквивалентности ( p, q ) . [6]
Рациональные числа вместе со сложением и умножением образуют поле , содержащее целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения называются полями алгебраических чисел , а алгебраическое замыкание — полем алгебраических чисел . [7]
В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения , используя последовательности Коши , разрезы Дедекинда или бесконечные десятичные дроби (см. Построение действительных чисел ).
Термин «рациональное» по отношению к множеству относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике слово «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка — это точка с рациональными координатами (т. е. точка, координаты которой являются рациональными числами); рациональная матрица — матрица рациональных чисел; рациональный многочлен может быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «полином по рациональным числам» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » ( многочлен — это рациональное выражение и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая — это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которую можно параметризовать рациональными функциями.
Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин «рациональный» не является производным от отношения . Напротив, именно отношение является производным от рационального : первое использование отношения в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 года, [8] тогда как использование рационального для определения чисел появилось почти на столетие раньше, в 1570 году . 9] Это значение слова «рациональный» произошло от математического значения слова «иррациональное» , которое впервые было использовано в 1551 году и использовалось в «переводах Евклида (после его своеобразного использования ἄλογος )». [10] [11]
Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избежали ереси, запретив себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». [12] Таким образом, такие длины были иррациональны , в смысле нелогичны , то есть «нельзя говорить о них» ( ἄλογος по-гречески). [13]
Каждое рациональное число может быть выражено уникальным образом в виде неприводимой дроби , где a и b — взаимно простые целые числа и b > 0 . Это часто называют канонической формой рационального числа.
Начиная с рационального числа, его каноническую форму можно получить, разделив a и b на их наибольший общий делитель и, если b < 0 , изменив знак полученных числителя и знаменателя.
Любое целое число n можно выразить как рациональное число , которое является его канонической формой рационального числа.
Если обе дроби имеют каноническую форму, то:
Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):
С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем — изменив знаки как ее числителя, так и знаменателя. [6]
Две фракции складываются следующим образом:
Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа . [6] [14]
Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа . [14]
Правило умножения следующее:
где результатом может быть сокращаемая дробь , даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму. [6] [14]
Каждое рациональное число имеет аддитивное обратное число , часто называемое его противоположностью .
Если оно находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.
Ненулевое рациональное число имеет мультипликативное обратное , также называемое обратным ,
Если находится в канонической форме, то каноническая форма его обратной величины либо или в зависимости от знака a .
Если b, c, d не равны нулю, правило деления следующее:
Таким образом, деление на эквивалентно умножению на обратную величину [ 14]
Если n — целое неотрицательное число, то
Результат имеет каноническую форму, если то же самое верно для. В частности,
Если а ≠ 0 , то
Если находится в канонической форме, канонической формой результата является то, что a > 0 или n четно. В противном случае каноническая форма результата будет
Конечная цепная дробь — это такое выражение, как
где n — целые числа. Каждое рациональное число можно представить как конечную цепную дробь, коэффициенты которой a n можно определить, применив алгоритм Евклида к ( a, b ) .
Это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.
Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности упорядоченных пар целых чисел . [6] [14]
Точнее, пусть это набор пар ( m, n ) целых чисел таких n ≠ 0 . Отношение эквивалентности определяется на этом множестве формулой
Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:
Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше операциями сложения и умножения; набор рациональных чисел определяется как набор факторов по этому отношению эквивалентности, снабженный сложением и умножением, вызванными вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть осуществлена с любой областью целочисленности и дает ее поле частных .) [6]
Обозначается класс эквивалентности пары ( m, n ) . Две пары ( m 1 , n 1 ) и ( m 2 , n 2 ) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (т. е. эквивалентны) тогда и только тогда, когда
Это значит, что
тогда и только тогда, когда [6] [14]
Каждый класс эквивалентности может быть представлен бесконечным числом пар, поскольку
Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический представительный элемент . Канонический представитель — это единственная пара ( m, n ) в классе эквивалентности такая, что m и n взаимно просты и n > 0 . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.
Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, отождествляющие целое число n с рациональным числом.
Для рациональных чисел можно определить общий порядок , который расширяет естественный порядок целых чисел. Надо
Если
Совокупность всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле . [6]
не имеет никакого полевого автоморфизма , кроме единицы. (Полевой автоморфизм должен фиксировать 0 и 1; поскольку он должен фиксировать сумму и разность двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое целое число; поскольку он должен фиксировать частное двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое рациональное число и отсюда и тождество.)
— простое поле , то есть поле, не имеющее других подполей, кроме самого себя. [15] Рациональные числа — это наименьшее поле с нулевой характеристикой . Каждое поле нулевой характеристики содержит единственное подполе, изоморфное
С порядком, определенным выше, это упорядоченное поле [14] , которое не имеет никаких подполей, кроме самого себя, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе , изоморфное
– это поле частных целых чисел [ 16] Алгебраическое замыкание , т.е. поле корней рациональных многочленов, – это поле алгебраических чисел .
Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно и, следовательно, бесконечно много других. [6] Например, для любых двух дробей таких, что
(где положительные), имеем
Любое полностью упорядоченное множество, которое счетно, плотно (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам. [17]
Множество всех рациональных чисел счетно , как показано на рисунке справа. Поскольку рациональное число может быть выражено как отношение двух целых чисел, можно присвоить два целых числа любой точке квадратной решетки , как в декартовой системе координат , так что любая точка сетки соответствует рациональному числу. Однако этот метод демонстрирует некоторую форму избыточности, поскольку одному и тому же рациональному числу будут соответствовать несколько разных точек сетки; на представленном рисунке они выделены красным цветом. Очевидный пример можно увидеть в линии, идущей по диагонали в правый нижний угол; такие отношения всегда будут равны 1, поскольку любое ненулевое число, разделенное само на себя, всегда будет равно единице.
Можно сгенерировать все рациональные числа без такой избыточности: примеры включают дерево Калкина-Уилфа и дерево Штерна-Броко .
Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (как и множество иррациональных чисел) несчетно, то множество рациональных чисел представляет собой нулевое множество , то есть почти все действительные числа иррациональны, в смысле меры Лебега .
Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел ; каждое действительное число имеет сколь угодно близкие к нему рациональные числа. [6] Связанное с этим свойство заключается в том, что рациональные числа — единственные числа, которые могут разлагаться в виде регулярных цепных дробей . [18]
В обычной топологии действительных чисел рациональные числа не являются ни открытым , ни закрытым множеством . [19]
В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также имеют топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство , используя метрику абсолютной разности , и это дает третью топологию. Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства, которое не является локально компактным . Рациональные числа топологически характеризуются как единственное счетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства , а действительные числа являются пополнением приведенной выше метрики . [14]
Помимо упомянутой выше метрики абсолютного значения, существуют и другие метрики, которые превращаются в топологическое поле:
Пусть p — простое число и для любого ненулевого целого числа a пусть где p n — высшая степень числа p , делящая a .
Кроме того, положим Для любого рационального числа положим
Затем
определяет метрику на [20]
Метрическое пространство не является полным, и его пополнением является поле p -адических чисел. Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.