Мера вероятности

Мера общей величины один, обобщающая распределения вероятностей

В математике вероятностная мера — это вещественная функция, определенная на множестве событий в σ-алгебре , которая удовлетворяет таким свойствам меры , как счетная аддитивность . ^[1] Разница между вероятностной мерой и более общим понятием меры (которое включает такие понятия, как площадь или объем ) заключается в том, что вероятностная мера должна присваивать значение 1 всему пространству.

Интуитивно свойство аддитивности гласит, что вероятность, присвоенная мерой объединению двух непересекающихся (взаимоисключающих) событий, должна быть суммой вероятностей событий; например, значение, присвоенное результату «1 или 2» при броске игральной кости, должно быть суммой значений, присвоенных результатам «1» и «2».

Вероятностные меры находят применение в различных областях: от физики до финансов и биологии.

Определение

Вероятностная мера, отображающая σ-алгебру событий в единичный интервал . ${\displaystyle 2^{3}}$

Требования к функции множества , чтобы она была вероятностной мерой на σ-алгебре, следующие: ${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu }$необходимо возвращать результаты в единичном интервале , возвращаемом для пустого множества и для всего пространства. ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mu }$должны удовлетворять свойству счетной аддитивности , что для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств : ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

Например, даны три элемента 1, 2 и 3 с вероятностями и присвоенным им значением , как на диаграмме справа. ${\displaystyle 1/4,1/4}$ ${\displaystyle 1/2,}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$

Условная вероятность, основанная на пересечении событий, определяемая как: ^[2] удовлетворяет требованиям меры вероятности, пока она не равна нулю. ^[3] $${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$ ${\displaystyle \mu (A)}$

Вероятностные меры отличаются от более общего понятия нечетких мер, в которых нет требования, чтобы нечеткие значения в сумме составляли , а аддитивное свойство заменяется отношением порядка, основанным на включении множеств . ${\displaystyle 1,}$

Примеры приложений

Во многих случаях статистическая физика использует вероятностные меры , но не все используемые ею меры являются вероятностными мерами. ^{[4] [5]}

Рыночные меры , которые присваивают вероятности пространствам финансового рынка на основе фактических движений рынка, являются примерами вероятностных мер, которые представляют интерес в математических финансах ; например, в ценообразовании финансовых деривативов . ^[6] Например, нейтральная к риску мера - это вероятностная мера, которая предполагает, что текущая стоимость активов является ожидаемой стоимостью будущей выплаты, взятой относительно той же нейтральной к риску меры (т.е. рассчитанной с использованием соответствующей функции плотности нейтральной к риску) и дисконтированной по безрисковой ставке . Если существует уникальная вероятностная мера, которая должна использоваться для оценки активов на рынке, то рынок называется полным рынком . ^[7]

Не все меры, которые интуитивно представляют шанс или вероятность, являются вероятностными мерами. Например, хотя фундаментальным понятием системы в статистической механике является пространство мер, такие меры не всегда являются вероятностными мерами. ^[4] В общем, в статистической физике, если мы рассматриваем предложения вида «вероятность системы S, предполагающей, что состояние A равно p», геометрия системы не всегда приводит к определению вероятностной меры при конгруэнтности , хотя это может произойти в случае систем с одной степенью свободы. ^[5]

Вероятностные меры также используются в математической биологии . ^[8] Например, в сравнительном анализе последовательностей вероятностная мера может быть определена для вероятности того, что вариант может быть допустимым для аминокислоты в последовательности. ^[9]

Ультрафильтры можно понимать как -значные меры вероятности, допускающие множество интуитивных доказательств, основанных на мерах. Например, теорема Хиндмана может быть доказана путем дальнейшего исследования этих мер, и в частности их свертки . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Смотрите также

• Мера Бореля  – мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства.
• Нечеткая мера  – теория обобщенных мер, в которой аддитивное свойство заменяется более слабым свойством монотонности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Мера Хаара  – левоинвариантная (или правоинвариантная) мера на локально компактной топологической группе
• Мера Лебега  – понятие площади в любом измерении
• Мера Мартингейла  – Мера вероятностиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция множества  – Функция преобразования множеств в числа
• Распределение вероятностей

Ссылки

1. Введение в теорию вероятности с помощью меры Джорджа Г. Руссаса 2004 ISBN  0-12-599022-7 стр. 47
2. Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Мистер, Людольф Эрвин (2005). «Современное введение в вероятность и статистику». Тексты Спрингера в статистике . дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISSN  1431-875X.
3. Вероятность, случайные процессы и эргодические свойства Роберта М. Грея 2009 ISBN 1-4419-1089-1 страница 163 
4. Курс математики для студентов-физиков, том 2 Пола Бамберга, Шломо Штернберга 1991 ISBN 0-521-40650-1 страница 802 
5. Концепция вероятности в статистической физике Яира М. Гуттмана 1999 ISBN 0-521-62128-3 стр. 149 
6. Количественные методы ценообразования деривативов Доминго Тавелла 2002 ISBN 0-471-39447-5 стр. 11 
7. Необратимые решения в условиях неопределенности Светлана И. Боярченко, Сергей Левендорский 2007 ISBN 3-540-73745-6 стр. 11 
8. Математические методы в биологии Дж. Дэвида Логана, Уильяма Р. Волесенски 2009 ISBN 0-470-52587-8 страница 195 
9. Открытие биомолекулярных механизмов с помощью вычислительной биологии Фрэнка Эйзенхабера 2006 ISBN 0-387-34527-2 страница 127 

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Джон Уайли. ISBN 0-471-00710-2.
• Эш, Роберт Б.; Долеанс-Дейд, Кэтрин А. (1999). Теория вероятностей и мер . Academic Press. ISBN 0-12-065202-1.
• Различение вероятностной меры, функции и распределения, Math Stack Exchange

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Вероятностная мера на Wikimedia Commons