σ-алгебра

Алгебраическая структура алгебры множеств

В математическом анализе и в теории вероятностей σ -алгебра (также σ -поле ) на множестве X представляет собой непустую совокупность Σ подмножеств X , замкнутых относительно дополнения , счетных объединений и счетных пересечений . Упорядоченная пара называется измеримым пространством . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

σ-алгебры являются подмножеством алгебр множеств ; элементы последнего должны быть замкнуты только при объединении или пересечении конечного числа подмножеств, что является более слабым условием. ^[1]

Основное применение σ-алгебр — определение мер ; в частности, совокупность тех подмножеств, для которых определена данная мера, обязательно является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основа интегрирования Лебега и в теории вероятностей , где она интерпретируется как совокупность событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, в теории вероятности σ-алгебры играют решающую роль в определении условного ожидания .

В статистике (суб) σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики ^[2] , особенно когда статистика является функцией или случайным процессом и понятие условной плотности неприменимо.

Если одна из возможных σ-алгебр — это где пустое множество . В общем случае конечная алгебра всегда является σ-алгеброй. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Если — счетное разбиение , то совокупность всех объединений множеств этого разбиения (включая пустое множество) является σ-алгеброй. ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$ ${\displaystyle X}$

Более полезным примером является набор подмножеств реальной линии , сформированный путем начала со всех открытых интервалов и добавления всех счетных объединений, счетных пересечений и относительных дополнений и продолжения этого процесса (путем трансфинитной итерации по всем счетным порядковым номерам ) до соответствующего замыкания. свойства достигаются (конструкция, известная как иерархия Бореля ).

Мотивация

Есть как минимум три ключевых мотиватора для σ-алгебр: определение мер, манипулирование пределами множеств и управление частичной информацией, характеризуемой множествами.

Мера

Мера on — это функция , которая присваивает неотрицательное действительное число подмножествам этого набора , что можно рассматривать как уточнение понятия «размер» или «объем» для наборов. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был суммой их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$

Хотелось бы присвоить размер каждому подмножеству , но во многих естественных условиях это невозможно. Например, аксиома выбора подразумевает, что когда рассматриваемый размер является обычным понятием длины для подмножеств вещественной прямой, то существуют множества, для которых размер не существует, например множества Витали . По этой причине вместо этого рассматривается меньшая коллекция привилегированных подмножеств. Эти подмножества будут называться измеримыми множествами. Они замкнуты относительно операций, которые можно было бы ожидать для измеримых множеств, то есть дополнение к измеримому множеству является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств является измеримым множеством. Непустые наборы множеств с такими свойствами называются σ-алгебрами. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Пределы наборов

Многие применения меры, такие как вероятностная концепция почти наверняка сходимости , включают пределы последовательностей множеств . Для этого первостепенное значение имеет замыкание под счетными объединениями и пересечениями. Пределы множеств определяются на σ-алгебрах следующим образом.

• Предел супремума или внешний предел последовательности подмножеств равен ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$
  Он состоит из всех точек , входящих в бесконечное число этих множеств (или, что то же самое, в конфинально многих из них). То есть, тогда и только тогда, когда существует бесконечная подпоследовательность (где ) множеств, которые все содержат то есть, такая, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• Предел нижней границы или внутренний предел последовательности подмножеств ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$
  Он состоит из всех точек, которые входят во все эти множества, кроме конечного числа (или, что то же самое, которые в конечном итоге присутствуют во всех из них). То есть, тогда и только тогда, когда существует индекс, такой, что все содержат то есть такой, что ${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

Внутренний предел всегда является подмножеством внешнего предела:

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

Под σ-алгебры

В большинстве случаев, особенно когда речь идет об условном ожидании , речь идет о множествах, которые представляют лишь часть всей возможной информации, которую можно наблюдать. Эту частичную информацию можно охарактеризовать с помощью меньшей σ-алгебры, которая является подмножеством основной σ-алгебры; он состоит из набора подмножеств, относящихся только к частичной информации и определяемых только ею. Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Представьте, что вы и другой человек делаете ставку в игре, которая включает в себя многократное подбрасывание монеты и наблюдение за тем, выпадет ли она «орлом» ( ) или «решкой» ( ). Поскольку вы и ваш оппонент бесконечно богаты, продолжительность игры не ограничена. Это означает, что выборочное пространство Ω должно состоять из всех возможных бесконечных последовательностей или ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

Однако после подбрасывания монеты вы можете захотеть определить или пересмотреть свою стратегию ставок перед следующим подбрасыванием. Наблюдаемую информацию в этот момент можно описать с точки зрения 2 ⁿ возможностей для первых переворотов. Формально, поскольку вам нужно использовать подмножества Ω, это кодифицируется как σ-алгебра ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}.}$$

Заметьте, что тогда

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },}$$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Определение и свойства

Определение

Пусть — некоторое множество, и пусть представляет собой его степенное множество . Тогда подмножество называется σ-алгеброй тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$находится и считается универсальным набором в следующем контексте. ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \Sigma }$замкнут относительно дополнения : если некоторое множество находится внутри, то и его дополнение тоже , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$замкнуто относительно счетных объединений : если они внутри , то тоже ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

Из этих свойств следует, что σ-алгебра замкнута и относительно счетных пересечений (применяя законы Де Моргана ).

Из этого также следует, что пустое множество находится внутри, поскольку согласно (1) находится внутри , а ( 2 ) утверждает , что его дополнение, пустое множество, также находится внутри . σ-алгебра на. Самая большая возможная σ-алгебра на ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X).}$

Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами . Упорядоченная пара , где — множество, а — σ-алгебра над, называется измеримым пространством . Функция между двумя измеримыми пространствами называется измеримой функцией , если прообраз каждого измеримого множества измерим. Совокупность измеримых пространств образует категорию , в которой измеримые функции являются морфизмами . Меры определяются как определенные типы функций от σ-алгебры до ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

σ-алгебра является одновременно π-системой и системой Дынкина (λ-системой). Обратное также верно по теореме Дынкина (см. ниже).

Теорема Дынкина о π-λ

Эта теорема (или связанная с ней теорема о монотонном классе ) является важным инструментом для доказательства многих результатов о свойствах конкретных σ-алгебр. Он использует природу двух более простых классов множеств, а именно следующего.

• π -система — это совокупность ее подмножеств, замкнутых относительно конечного числа пересечений, причем ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$
• Система Дынкина (или λ-система) — это совокупность подмножеств, содержащая и замкнутая относительно дополнения и счетных объединений непересекающихся подмножеств. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Дынкина о π-λ гласит: если это π-система и система Дынкина, которая содержит, то σ-алгебра, порожденная ею , содержится в Поскольку некоторые π-системы представляют собой относительно простые классы, может быть несложно проверить, что все множества in пользоваться рассматриваемым свойством, в то время как, с другой стороны, показать, что совокупность всех подмножеств с этим свойством является системой Дынкина, также может быть несложно. Тогда из теоремы Дынкина о π-λ следует, что все множества в обладают этим свойством, избегая задачи проверки его на предмет произвольного множества в ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P).}$

Одно из наиболее фундаментальных применений теоремы π-λ — показать эквивалентность отдельно определенных мер или интегралов. Например, он используется для приравнивания вероятности случайной величины к интегралу Лебега-Стилтьеса, обычно связанному с вычислением вероятности: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$

кумулятивная функция распределениявероятностная меравыборочного пространства ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Объединение σ-алгебр

Предположим , представляет собой набор σ-алгебр в пространстве ${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Встретиться

Пересечение набора σ-алгебр является σ-алгеброй. Чтобы подчеркнуть ее характер как σ-алгебры, ее часто обозначают:

$${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

Схема доказательства: Пусть обозначает пересечение. Так как в каждом не пусто. Замыкание относительно дополнения и счетных объединений для каждого означает, что то же самое должно быть верно и для Следовательно, является σ-алгеброй. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Присоединиться

Объединение набора σ-алгебр обычно не является σ-алгеброй или даже алгеброй, но порождает σ -алгебру, известную как объединение, которое обычно обозначается

$${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$

Схема доказательства: ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$

$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$

$${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$

порожденной

$${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$

$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

σ-алгебры для подпространств

Пусть - подмножество и пусть - измеримое пространство. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• Коллекция представляет собой σ-алгебру подмножеств ${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим – измеримое пространство. Коллекция представляет собой σ-алгебру подмножеств ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$ ${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ ${\displaystyle X.}$

Связь с σ-кольцом

σ -алгебра - это просто σ -кольцо , содержащее универсальное множество ^[4] σ -кольцо не обязательно должно быть σ -алгеброй, так как, например , измеримые подмножества нулевой меры Лебега на вещественной прямой являются σ -кольцом , но не является σ -алгеброй, поскольку вещественная прямая имеет бесконечную меру и, следовательно, не может быть получена их счетным объединением. Если вместо нулевой меры взять измеримые подмножества конечной меры Лебега, это будет кольцо, но не σ -кольцо, поскольку вещественная прямая может быть получена их счетным объединением, но ее мера не конечна. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$

Типографская записка

σ -алгебры иногда обозначаются каллиграфическими заглавными буквами или шрифтом Fraktur . Таким образом, может быть обозначено как или ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Частные случаи и примеры

Сепарабельные σ-алгебры

Сепарабельная -алгебра (или сепарабельное -поле ) - это -алгебра , которая представляет собой сепарабельное пространство , если рассматривать его ${\displaystyle \sigma }$ как метрическое пространство с метрикой для и заданной конечной мерой (и являющееся симметричным разностным оператором). ^[5] Любая -алгебра, порожденная счетным набором множеств, отделима, но обратное не обязательно. Например, -алгебра Лебега сепарабельна (поскольку каждое измеримое множество Лебега эквивалентно некоторому борелевскому множеству), но не счетно порождена (поскольку ее мощность больше континуума). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Сепарабельное пространство меры имеет естественную псевдометрику , которая делает его сепарабельным как псевдометрическое пространство . Расстояние между двумя наборами определяется как мера симметричной разницы двух наборов. Симметричная разность двух различных множеств может иметь нулевую меру; следовательно, псевдометрика, определенная выше, не обязательно должна быть истинной метрикой. Однако если наборы, симметричная разность которых имеет нулевую меру, идентифицируются в один класс эквивалентности , результирующий фактор-множество может быть правильно метризовано индуцированной метрикой. Если пространство с мерой сепарабельно, можно показать, что соответствующее метрическое пространство тоже сепарабельно.

Простые примеры на основе наборов

Пусть это будет любое множество. ${\displaystyle X}$

• Семейство, состоящее только из пустого множества и множества, называемого минимальной или тривиальной σ-алгеброй над ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• Степенное множество называется дискретной σ-алгеброй . ${\displaystyle X,}$
• Коллекция представляет собой простую σ-алгебру, порожденную подмножеством ${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$ ${\displaystyle A.}$
• Совокупность подмножеств, которые счетны или дополнения к которым счетны, представляет собой σ-алгебру (которая отличается от набора степеней тогда и только тогда, когда несчетно). Это σ-алгебра, порожденная одиночными элементами. Примечание : «счетное» включает в себя конечные или пустые. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Совокупность всех объединений множеств в счетном разбиении является σ-алгеброй. ${\displaystyle X}$

Сигма-алгебры остановки времени

Время остановки может определять -алгебру, так называемую сигма-алгебру времени остановки , которая в фильтрованном вероятностном пространстве описывает информацию до случайного момента времени в том смысле, что, если фильтрованное вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент, максимальную информацию, которую можно узнать об эксперименте, произвольно часто повторяя его до тех пор, пока не истечет время ^[6] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

σ-алгебры, порожденные семействами множеств

σ-алгебра, порожденная произвольным семейством

Пусть — произвольное семейство подмножеств. Тогда существует единственная наименьшая σ-алгебра, которая содержит каждое множество из (хотя сама она может быть или не быть σ-алгеброй). Фактически это пересечение всех σ-алгебр, содержащих (См. Пересечения σ-алгебр выше.) Эту σ-алгебру обозначают и называют σ-алгеброй, порожденной ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle F.}$

Если пусто, то иначе состоит из всех подмножеств, которые можно составить из элементов с помощью счетного числа операций дополнения, объединения и пересечения. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

В качестве простого примера рассмотрим набор. Тогда σ-алгебра, порожденная одним подмножеством, равна Из-за злоупотребления обозначениями , когда коллекция подмножеств содержит только один элемент, может быть записана вместо вместо в предыдущем примере вместо Действительно, используя среднее значение также довольно распространено. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (\{A\});}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

Существует множество семейств подмножеств, которые порождают полезные σ-алгебры. Некоторые из них представлены здесь.

σ-алгебра, порожденная функцией

Если - функция от множества к множеству и -алгебра подмножеств, то -алгебра, порожденная функцией, обозначаемой через, представляет собой совокупность всех прообразов множеств в То есть, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \sigma (f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B.}$

$${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

Функция перехода от множества к множеству измерима относительно σ-алгебры подмножеств тогда и только тогда, когда является подмножеством ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Одна распространенная ситуация, которая понимается по умолчанию, если она не указана явно, - это когда - метрическое или топологическое пространство и коллекция борелевских множеств на ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$

Если — функция от до , то она генерируется семейством подмножеств, которые являются обратными образами интервалов/прямоугольников в ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$

$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Полезным свойством является следующее. Пусть - измеримое отображение из в и измеримое отображение из в Если существует измеримое отображение из в такое, что для всех то Если конечно или счетно бесконечно или, в более общем смысле, является стандартным борелевским пространством (например, сепарабельным полным метрическое пространство и связанные с ним борелевские множества), то верно и обратное. ^[7] Примеры стандартных борелевских пространств включают в себя борелевские множества и цилиндрическую σ-алгебру, описанную ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

σ-алгебры Бореля и Лебега.

Важным примером является алгебра Бореля над любым топологическим пространством : σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, что то же самое, замкнутыми множествами ). Эта σ-алгебра, вообще говоря, не является полным набором степеней. Нетривиальный пример, не являющийся борелевским множеством, см. в разделе «Набор Витали» или «Неборелевские множества» .

В евклидовом пространстве важна еще одна σ-алгебра: алгебра всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем борелевская σ-алгебра, и является предпочтительной в теории интегрирования , поскольку дает полное пространство с мерой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Продуктовая σ-алгебра

Пусть и - два измеримых пространства. σ-алгебра для соответствующего пространства произведения называется σ-алгеброй произведения и определяется формулой ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

$${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Заметьте, что это π-система. ${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

Борелевская σ-алгебра для порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Для каждого из этих двух примеров порождающее семейство является π-системой.

σ-алгебра, порожденная множествами цилиндров

Предполагать

$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

представляет собой набор действительных функций. Обозначим борелевские подмножества. Цилиндрическое подмножество — это конечно ограниченное множество, определяемое как ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

Каждый

$${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$

${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$

σ-алгебрупроизведения ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle X.}$

Важный частный случай — это набор натуральных чисел и набор вещественных последовательностей. В этом случае достаточно рассмотреть множества цилиндров ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$

$${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

Шаровая σ-алгебра

Шаровая σ-алгебра — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые (и/или закрытые) шары. Она никогда не превышает борелевскую σ-алгебру . Обратите внимание, что две σ-алгебры равны для сепарабельных пространств. Для некоторых несепарабельных пространств некоторые карты измеримы по шару, даже если они не измеримы по Борелю, что позволяет использовать шаровую σ-алгебру, полезную при анализе таких отображений. ^[8]

σ-алгебра, порожденная случайной величиной или вектором

Предположим , что это вероятностное пространство . Если измеримо относительно борелевской σ-алгебры на, то называется случайной величиной ( ) или случайным вектором ( ). σ-алгебра, порожденная ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

σ-алгебра, порожденная случайным процессом

Пусть — вероятностное пространство и — множество вещественнозначных функций на If измеримо относительно цилиндрической σ-алгебры (см. выше), ибо тогда называется случайным процессом или случайным процессом . σ-алгебра, порожденная ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

Смотрите также

• Измеримая функция  - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Пространство выборки  - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
• Функция сигма-аддитивного множества  – Функция отображения
• Сигма-кольцо  – Кольцо, замкнутое при счетных объединениях.

Рекомендации

1. «Вероятность, математическая статистика, случайные процессы». Случайный . Университет Алабамы в Хантсвилле, факультет математических наук . Проверено 30 марта 2016 г.
2. Биллингсли, Патрик (2012). Вероятность и мера (Юбилейное изд.). Уайли. ISBN 978-1-118-12237-2.
3. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-054234-1.
4. Веструп, Эрик М. (2009). Теория меры и интегрирование . Джон Уайли и сыновья. п. 12. ISBN 978-0-470-31795-2.
5. Джамоня, Мирна; Кунен, Кеннет (1995). «Свойства класса сепарабельных по мере компактов» (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. If — борелевская мера на алгебре с мерой — булева алгебра всех борелевских множеств по модулю -нулевых множеств. Если конечно, то такая алгебра с мерой также является метрическим пространством, причем расстояние между двумя множествами является мерой их симметричной разности. Тогда мы говорим, что оно сепарабельно тогда и только тогда, когда это метрическое пространство сепарабельно как топологическое пространство. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
6. Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024.
7. Калленберг, Олав (2001). Основы современной вероятности (2-е изд.). Спрингер . п. 7. ISBN 0-387-95313-2.
8. ван дер Ваарт, AW, и Веллнер, JA (1996). Слабая сходимость и эмпирические процессы. В серии Springer по статистике. Спрингер Нью-Йорк. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

Внешние ссылки

• «Алгебра множеств», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сигма-алгебра от PlanetMath.