Ожидаемое значение случайной величины при условии, что известно, что происходят определенные условия.
В теории вероятностей условное ожидание , условное ожидаемое значение или условное среднее случайной величины — это ее ожидаемое значение, оцененное относительно условного распределения вероятностей . Если случайная величина может принимать только конечное число значений, «условия» заключаются в том, что переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определена в дискретном вероятностном пространстве , «условия» представляют собой разбиение этого вероятностного пространства.
В зависимости от контекста условное ожидание может быть либо случайной величиной, либо функцией. Случайная величина обозначается аналогично условной вероятности . Функциональная форма либо обозначается, либо отдельный функциональный символ, например, вводится со значением .
Примеры
Пример 1: Бросок кубиков
Рассмотрим бросок игральной кости и пусть A = 1, если число четное (т. е. 2, 4 или 6), и A = 0 в противном случае. Кроме того, пусть B = 1, если число простое (т. е. 2, 3 или 5), и B = 0 в противном случае.
Безоговорочное ожидание A равно , но ожидание A при условии B = 1 (т. е. при условии, что при броске кубика выпадет 2, 3 или 5) равно , а ожидание A при условии B = 0 (т. е. при условии, что при броске кубика выпадет 2, 3 или 5) если при броске кубика выпадет 1, 4 или 6), то это . Аналогично, ожидание B при условии A = 1 равно , а ожидание B при условии A = 0 равно .
Пример 2: Данные об осадках
Предположим, у нас есть данные о суточном количестве осадков (мм дождя в день), собранные метеостанцией каждый день десятилетнего (3652-дневного) периода с 1 января 1990 г. по 31 декабря 1999 г. неуказанный день — это среднее количество осадков за эти 3652 дня. Условное ожидание осадков в течение неуказанного в противном случае дня , который, как известно, приходится на март (при условии его наступления), представляет собой среднее количество ежедневных осадков за все 310 дней десятилетнего периода, выпадающего на март. А условное ожидание осадков в дни, датированные 2 марта, представляет собой среднее количество осадков, выпавших за десять дней с этой конкретной датой.
Пусть и - непрерывные случайные величины с плотностью совместной плотности
и условной плотностью данного события.
Условное ожидание данного события равно
Когда знаменатель равен нулю, выражение не определено.
Обусловливание непрерывной случайной величины — это не то же самое, что обусловливание события, как это было в дискретном случае. Для обсуждения см. Обусловливание события с нулевой вероятностью . Несоблюдение этого различия может привести к противоречивым выводам, как это иллюстрирует парадокс Бореля-Колмогорова .
L 2 случайные величины
Предполагается, что все случайные величины в этом разделе находятся в , то есть интегрируемы с квадратом . В своей полной общности условное ожидание развивается без этого предположения, см. ниже раздел «Условное ожидание в отношении под-σ-алгебры». Однако теория считается более интуитивной [5] и допускает важные обобщения. В контексте случайных величин условное ожидание также называют регрессией .
Условное ожидание X определяется аналогично, за исключением того, что вместо одного числа результатом будет функция . Пусть — случайный вектор . Условное математическое ожидание — это измеримая функция такая, что
.
Обратите внимание, что в отличие от , условное ожидание, как правило, не уникально: может быть несколько минимизаторов среднеквадратической ошибки.
Уникальность
Пример 1. Рассмотрим случай, когда Y — постоянная случайная величина, которая всегда равна 1. Тогда среднеквадратическая ошибка минимизируется с помощью любой функции вида
Пример 2. Рассмотрим случай, когда Y — двумерный случайный вектор . Тогда ясно
но в терминах функций оно может быть выражено как или бесконечно многими другими способами. В контексте линейной регрессии это отсутствие уникальности называется мультиколлинеарностью .
Условное ожидание уникально с точностью до множества нулевой меры в . Используемая мера — это мера продвижения вперед, индуцированная Y .
В первом примере мера прямого действия представляет собой распределение Дирака в точке 1. Во втором оно сосредоточено на «диагонали» , так что любое множество, не пересекающее его, имеет меру 0.
Существование
Существование минимизатора для нетривиально. Можно показать, что
является замкнутым подпространством гильбертова пространства . [6]
По теореме о проекции Гильберта необходимым и достаточным условием для того, чтобы быть минимизатором, является то, что для всех в M мы имеем
.
Другими словами, это уравнение говорит, что невязка ортогональна пространству M всех функций из Y . Это условие ортогональности, примененное к индикаторным функциям , используется ниже для распространения условного ожидания на случай, когда X и Y не обязательно находятся в .
Связь с регрессией
Условное математическое ожидание часто аппроксимируют в прикладной математике и статистике из-за трудностей его аналитического расчета и интерполяции. [7]
Гильбертово подпространство
определенное выше, заменяется его подмножествами путем ограничения функциональной формы g вместо разрешения какой-либо измеримой функции. Примерами этого являются регрессия дерева решений , когда g должна быть простой функцией , линейная регрессия , когда g должна быть аффинной , и т. д.
Эти обобщения условного ожидания происходят за счет потери многих его свойств. Например, пусть M
— пространство всех линейных функций от Y и обозначает это обобщенное условное ожидание/ проекцию. Если не содержит константных функций , свойство башни
не будет сохраняться.
Важным особым случаем является случай, когда X и Y совместно нормально распределены. В этом случае можно показать, что условное ожидание эквивалентно линейной регрессии:
Условное ожидание относительно σ-алгебры: в этом примере вероятностное пространство представляет собой интервал [0,1] с мерой Лебега . Определим следующие σ-алгебры: ; — σ-алгебра, порожденная интервалами с концами 0, 1 ⁄ 4 , 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 4 , 1; и является σ-алгеброй, порожденной интервалами с концами 0, 1 ⁄ 2 , 1. Здесь условное математическое ожидание фактически является средним по минимальным наборам σ-алгебры.
является случайной величиной в этом вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием.
является под- σ- алгеброй .
Поскольку является подалгеброй , функция обычно не -измерима, поэтому существование интегралов вида , где и является ограничением на , не может быть установлено вообще. Однако локальные средние значения можно восстановить с помощью условного ожидания.
Условное ожидание X при заданном , обозначаемое как , представляет собой любую измеримую функцию , которая удовлетворяет:
для каждого . [8]
Как отмечалось в обсуждении, это условие эквивалентно утверждению, что невязка ортогональна индикаторным функциям :
Существование
Существование можно установить, заметив, что для является конечной мерой , абсолютно непрерывной по отношению к . Если – естественная инъекция от до , то – ограничение до и – ограничение до . При этом абсолютно непрерывен по , поскольку условие
подразумевает
Таким образом, мы имеем
где производные представляют собой производные меры Радона–Никодима .
Это неконструктивное определение; нам просто дано требуемое свойство, которому должно удовлетворять условное ожидание.
Определение может напоминать определение события , но это очень разные объекты. Первая является -измеримой функцией , а вторая является элементом и для .
σ-алгебра контролирует «детальность» обусловленности. Условное математическое ожидание по более тонкой (большой) σ-алгебре сохраняет информацию о вероятностях более широкого класса событий. Условное ожидание по более грубой (меньшей) σ-алгебре усредняется по большему количеству событий.
Условная возможность
Для борелевского подмножества B в можно рассмотреть набор случайных величин
.
Можно показать, что они образуют ядро Маркова , то есть почти для всех является вероятностной мерой . [9]
Условное математическое ожидание данного - это уникальная и интегрируемая -значная -измеримая случайная величина с точностью до нулевого множества , удовлетворяющая
для всех . [10] [11]
В этом случае условное ожидание иногда также обозначается в операторной записи как .
Основные свойства
Все следующие формулы следует понимать почти наверняка. σ-алгебру можно было бы заменить случайной величиной , т.е.
Позволять . Тогда не зависит от , поэтому мы получаем, что
Таким образом, определение условного ожидания удовлетворяется постоянной случайной величиной , как и хотелось.
Если не зависит от , то . Обратите внимание, что это не обязательно так, если не зависит только от и .
Если независимы, независимы, не зависят и не зависят от , то .
Стабильность:
Если -измеримо , то .
Доказательство
Для каждого из нас есть или, что то же самое,
Поскольку это верно для каждого и оба -измеримы ( первое свойство справедливо по определению; последнее свойство здесь является ключевым), отсюда можно показать
И это подразумевается почти везде.
В частности, для под-σ-алгебр имеем .
Если Z — случайная величина, то . В самой простой форме это говорит .
Вытягиваем известные факторы:
Если -измеримо , то .
Доказательство
Все случайные величины здесь без ограничения общности предполагаются неотрицательными. Общий случай можно рассматривать с помощью .
Исправь и дай . Тогда для любого
Отсюда почти везде.
Любая простая функция представляет собой конечную линейную комбинацию индикаторных функций. По линейности указанное выше свойство справедливо для простых функций: если — простая функция, то .
Теперь пусть - измеримо. Тогда существует последовательность простых функций, монотонно (здесь имеется в виду ) и поточечно сходящаяся к . Следовательно, при последовательность монотонно и поточечно сходится к .
Кроме того, поскольку , последовательность сходится монотонно и поточечно к
Объединение частного случая, доказанного для простых функций, определения условного ожидания и применения теоремы о монотонной сходимости:
Это справедливо для всех , следовательно, почти везде.
Условная дисперсия : Используя условное ожидание, мы можем определить, по аналогии с определением дисперсии как среднеквадратического отклонения от среднего, условную дисперсию.
Сходимость по мартингалу : Для случайной величины с конечным математическим ожиданием мы имеем , если либо является возрастающей серией суб-σ-алгебр, либо если является убывающей серией суб-σ-алгебр и .
Условное ожидание как -проекция: если находятся в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом действительных случайных величин (действительных случайных величин с конечным вторым моментом), то
для -измеримых мы имеем , т.е. условное математическое ожидание является в смысле скалярного произведения L2 ( P ) ортогональным проектором из на линейное подпространство -измеримых функций. (Это позволяет определить и доказать существование условного математического ожидания на основе теоремы о проекции Гильберта .)
^ Колмогоров, Андрей (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер. п. 46.
Перевод: Колмогоров, Андрей (1956). Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. п. 53. ИСБН 0-8284-0023-7. Архивировано из оригинала 14 сентября 2018 г. Проверено 14 марта 2009 г.
^ Олав Калленберг: Основы современной вероятности. 2. издание. Спрингер, Нью-Йорк, 2002 г., ISBN 0-387-95313-2 , с. 573.
^ «Вероятность - интуиция, лежащая в основе условного ожидания». Математический обмен стеками .
^ Брокуэлл, Питер Дж. (1991). Временные ряды: теория и методы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN978-1-4419-0320-4.
^ Хасти, Тревор. Элементы статистического обучения: интеллектуальный анализ данных, логические выводы и прогнозирование (PDF) (второе, исправленное 7-е печатное издание). Нью-Йорк. ISBN978-0-387-84858-7.
^ Биллингсли, Патрик (1995). «Раздел 34. Условное ожидание». Вероятность и мера (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 445. ИСБН0-471-00710-2.
^ Кленке, Ахим. Теория вероятностей: комплексный курс (Второе изд.). Лондон. ISBN978-1-4471-5361-0.
^ Да Прато, Джузеппе; Забчик, Ежи (2014). Стохастические уравнения в бесконечных измерениях . Издательство Кембриджского университета. п. 26. дои : 10.1017/CBO9781107295513.(Определение в сепарабельных банаховых пространствах)
^ Хитонен, Туомас; ван Нервен, Ян; Вераар, Марк; Вайс, Лутц (2016). Анализ в банаховых пространствах, Том I: Мартингалы и теория Литтлвуда-Пэли . Спрингер Чам. дои : 10.1007/978-3-319-48520-1.(Определение в общих банаховых пространствах)
^ «Условное ожидание». www.statlect.com . Проверено 11 сентября 2020 г.
^ Калленберг, Олав (2001). Основы современной вероятности (2-е изд.). Йорк, Пенсильвания, США: Спрингер. п. 110. ИСБН0-387-95313-2.
Рекомендации
Уильям Феллер , Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том 1, 1950, стр. 223.
Пол А. Мейер, Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co., 1966, стр. 28.
Гриметт, Джеффри ; Стирзакер, Дэвид (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-857222-0., стр. 67–69