Почти наверняка

В теории вероятностей говорят , что событие произойдет почти наверняка (иногда сокращается как ) , если оно происходит с вероятностью 1 (или мерой Лебега 1). ^[1] Другими словами, набор результатов, при которых событие не происходит, имеет вероятность 0, даже если этот набор не может быть пустым. Это понятие аналогично понятию « почти всюду » в теории меры . В вероятностных экспериментах на конечном выборочном пространстве с ненулевой вероятностью для каждого результата нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку вероятность 1 влечет за собой включение всех точек выборки ); однако это различие становится важным, когда выборочное пространство представляет собой бесконечное множество ^[2] , поскольку бесконечное множество может иметь непустые подмножества с вероятностью 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильные и однородные версии закона больших чисел , непрерывность траекторий броуновского движения и теорему о бесконечной обезьяне . Также используются термины почти наверняка (ас) и почти всегда (аа). Почти никогда не описывает противоположность почти наверняка : событие, которое происходит с нулевой вероятностью, случается почти никогда . ^[3]

Формальное определение

Пусть — вероятностное пространство . Событие произойдет почти наверняка , если . То же самое происходит почти наверняка, если вероятность ненаступления равна нулю : . В более общем смысле любое событие (не обязательно в ) происходит почти наверняка, если содержится в нулевом наборе : подмножестве в таком, что . ^[4] Понятие почти достоверности зависит от вероятностной меры . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие происходит Р -почти наверняка, или почти наверняка . $(\Omega, {\mathcal {F}},P)$ $E\in {\mathcal {F}}$ $P(E)=1$ $E$ $E$ $P(E^{C})=0$ $E\subseteq \Omega$ ${\mathcal {F}}$ $E^{C}$ $N$ ${\mathcal {F}}$ $P(N)=0$ $P$ $E$ ${\ displaystyle \ left (\! P \ right)}$

Наглядные примеры

В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию, как иллюстрируют следующие примеры.

Бросок дротика

Представьте себе, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат площадью 1) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата, таким образом, что каждая точка квадрата будет поражена с одинаковой вероятностью. Поскольку площадь квадрата равна 1, вероятность того, что дротик попадет в какую-либо конкретную часть квадрата, равна площади этой части. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, равна 0,5, поскольку площадь правой половины равна 0,5.

Далее рассмотрим случай, когда дротик попадает ровно в точку на диагоналях единичного квадрата. Поскольку площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно по диагонали, равна 0. То есть дротик почти никогда не приземлится по диагонали (т. е. он почти наверняка не приземлится по диагонали). ), хотя множество точек на диагоналях не пусто и точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.

Многократное подбрасывание монеты

Рассмотрим случай, когда подбрасывается монета (возможно, смещенная), что соответствует вероятностному пространству , где событие происходит, если подбрасывается орел и если подбрасывается решка. Для этой конкретной монеты предполагается, что вероятность подбрасывания орла равна , из чего следует, что дополнительное событие — подбрасывание решки — имеет вероятность . $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ $\{H\}$ $\{T\}$ $P(H)=p\in (0,1)$ $P(T)=1-p$

Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монету подбрасывают неоднократно, с исходами и предположением, что результат каждого подбрасывания не зависит от всех остальных (т. е. они независимы и одинаково распределены ; iid ). Определите последовательность случайных величин на пространстве подбрасывания монеты, где . т.е. каждый записывает результат броска . $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $X_{i}(\omega)=\omega _{i}$ $X_{i}$ $я$

В этом случае возможным результатом эксперимента является любая бесконечная последовательность орлов и решек. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орлов и решек имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это связано с тем, что предположение iid подразумевает, что вероятность того, что все перевороты перевернутся орлом, равна просто . Сдача дает 0, поскольку по предположению. Результат один и тот же, независимо от того, насколько сильно мы смещаем монету в сторону орла, пока мы ограничиваемся строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат справедлив даже в нестандартном анализе, где допускаются бесконечно малые вероятности. ^[5] $п$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $n\rightarrow \infty$ $p\in (0,1)$ ${\ displaystyle p}$

Более того, событие «последовательность бросков содержит хотя бы один » тоже произойдет почти наверняка (т. е. с вероятностью 1). Но если вместо бесконечного числа бросков переворачивание прекращается через некоторое конечное время, скажем, 1 000 000 бросков, то вероятность получения последовательности, состоящей из всех орлов, больше не будет равна 0, в то время как вероятность получения хотя бы одной решки, , больше не будет равно 1 (т. е. событие уже не почти наверняка). $Т$ $p^{1,000,000}$ $1-p^{1,000,000}$

Асимптотически почти наверняка

В асимптотическом анализе говорят, что свойство выполняется асимптотически почти наверняка (aas), если в последовательности множеств вероятность сходится к 1. Это эквивалентно сходимости по вероятности. Например, в теории чисел большое число асимптотически почти наверняка является составным согласно теореме о простых числах ; а в теории случайных графов утверждение « связен » (где обозначает графы на вершинах с вероятностью ребер ) истинно тогда, когда для некоторого $G(n,p_{n})$ $G(n,p)$ $n$ $p$ $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

^[6]

В теории чисел это называется « почти все », то есть «почти все числа составные». Точно так же в теории графов это иногда называют «почти наверняка». ^[7]

Смотрите также

Почти
Почти везде соответствующее понятие в теории меры
Сходимость случайных величин , для «почти уверенной сходимости».
С большой вероятностью
Правило Кромвеля , которое гласит, что вероятности почти никогда не следует принимать равными нулю или единице.
Вырожденное распределение для «почти наверняка постоянного»
Теорема о бесконечных обезьянах — теорема, использующая вышеупомянутые термины.
Список математического жаргона

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 г.
^ «Почти наверняка - Math Central» . mathcentral.uregin.ca . Проверено 16 ноября 2019 г.
^ Гредель, Эрих; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Ю.; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Спрингер. п. 232. ИСБН 978-3-540-00428-8.
^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Спрингер. п. 37. ИСБН 978-3-540-438717.
^ Уильямсон, Тимоти (1 июля 2007 г.). «Насколько вероятна бесконечная последовательность голов?». Анализ . 67 (3): 173–180. дои : 10.1093/анализ/67.3.173. ISSN 0003-2638.
^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с одноцветным треугольником в каждой раскраске ребер». Мемуары Американского математического общества . Книжный магазин АМС. 179 (845): 3–4. дои : 10.1090/memo/0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.
^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два стартовых примера». Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер. п. 4. ISBN 978-3540416548.