Лемма Фату

Лемма в теории меры

В математике лемма Фату устанавливает неравенство , связывающее интеграл Лебега нижнего предела последовательности функций с нижним пределом интегралов этих функций. Лемма названа в честь Пьера Фату .

Лемму Фату можно использовать для доказательства теоремы Фату–Лебега и теоремы Лебега о доминирующей сходимости .

Стандартное заявление

В дальнейшем обозначает -алгебру борелевских множеств на . ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,+\infty ]}$

Теорема  —  Лемма Фату. Дано пространство меры и множество , пусть будет последовательностью -измеримых неотрицательных функций . Определим функцию как для каждого . Тогда является -измеримой, и ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{n}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,}$

где интегралы и нижний предел могут быть бесконечными .

Лемма Фату остается верной, если ее предположения выполняются -почти всюду. Другими словами, достаточно, чтобы существовало нулевое множество такое, что значения неотрицательны для каждого Чтобы увидеть это, обратите внимание, что интегралы, появляющиеся в лемме Фату, не меняются, если мы меняем каждую функцию на . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ ${\displaystyle N}$

Доказательство

Лемма Фату не требует теоремы о монотонной сходимости , но последняя может быть использована для предоставления быстрого и естественного доказательства. Доказательство непосредственно из определений интегралов приведено ниже.

С помощью теоремы о монотонной сходимости

пусть . Тогда: ${\displaystyle \textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$

1. последовательность является поточечно неубывающей при любом x и ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n}}$
2. ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$, . ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$

С

${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)}$,

и нижняя и верхняя кромки измеримых функций измеримы, мы видим, что измеримы. ${\displaystyle f}$

По теореме о монотонной сходимости и свойству (1) sup и интеграл можно поменять местами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}$

где на последнем шаге использовалось свойство (2).

Из "первых принципов"

Чтобы продемонстрировать, что теорема о монотонной сходимости не является «скрытой», в приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь, а также тот факт, что функции и измеримы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{n}}$

Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что на . ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ ${\displaystyle X}$

Монотонность  — 

• Если везде на то ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если и тогда ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

• Если f неотрицательно и , где — неубывающая цепочка -измеримых множеств, то ${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$ ${\displaystyle S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}$

Доказательство

1. Поскольку у нас есть ${\displaystyle f\leq g,}$

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума,

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Пусть — индикаторная функция множества Из определения интеграла Лебега можно вывести, что ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}.}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$

если мы заметим, что для каждого внешнего в сочетании с предыдущим свойством неравенство подразумевает ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle X_{1}.}$ ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

3. Сначала отметим, что утверждение справедливо, если f является индикаторной функцией множества, в силу монотонности мер . В силу линейности это также немедленно подразумевает утверждение для простых функций.

Поскольку любая простая функция, поддерживаемая на S _{n ,} является простой и поддерживается на X , мы должны иметь

${\displaystyle \int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}$.

Для обратного предположим g ∈ SF( f ) с учетом вышесказанного, ${\displaystyle \textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }}$

${\displaystyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}$

Теперь перейдем к основной теореме.

Шаг 1  —  является -измеримым, для каждого , как и . ${\displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство

Напомним, что замкнутые интервалы порождают борелевскую σ - алгебру . Таким образом, достаточно показать для каждого , что . Теперь заметим, что ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}}$

Каждое множество в правой части принадлежит , которое замкнуто относительно счетных пересечений. Таким образом, левая часть также является членом . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Аналогично, достаточно проверить , что для каждого . Поскольку последовательность поточечно не убывает, ${\displaystyle f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}}$.

Шаг 2  —  Дана простая функция и действительное число , определите ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Тогда , , и . ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$

Доказательство

Шаг 2а. Для доказательства первого утверждения запишем s как взвешенную сумму индикаторных функций непересекающихся множеств :

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}$.

Затем

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$.

Поскольку прообраз борелевского множества относительно измеримой функции измерим, а -алгебры замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, то следует первое утверждение. ${\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Шаг 2б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого и каждого , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).}$

Шаг 2c. Чтобы доказать третье утверждение, предположим, что существует противоречие

${\displaystyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

Тогда для каждого . Принимая предел как , ${\displaystyle g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что . ${\displaystyle s\leq f}$

Шаг 3  —  Из шага 2 и монотонности,

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .}$

Шаг 4  —  Для каждого , ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

Доказательство

Действительно, используя определение , неотрицательность и монотонность интеграла Лебега, имеем ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$ ${\displaystyle g_{k}}$

${\displaystyle \forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

В соответствии с Шагом 4, поскольку неравенство становится ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$.

Принимая предел как доходность ${\displaystyle t\uparrow 1}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$,

по мере необходимости.

Шаг 5  —  Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 4, и учтем, что : ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}}$

Доказательство готово.

Примеры строгого неравенства

Оснастим пространство σ-алгеброй Бореля и мерой Лебега . ${\displaystyle S}$

• Пример для вероятностного пространства : Пусть обозначает единичный интервал . Для каждого натурального числа определим ${\displaystyle S=[0,1]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• Пример с равномерной сходимостью : Пусть обозначает множество всех действительных чисел . Определим ${\displaystyle S}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Эти последовательности сходятся поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждая имеет интеграл один. ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности функций f ₁ , f ₂ , . . . необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Пусть S обозначает полупрямую [0,∞) с σ-алгеброй Бореля и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Эта последовательность сходится равномерно на S к нулевой функции, а предел 0 достигается за конечное число шагов: для каждого x  ≥ 0, если n > x , то f _n ( x ) = 0. Однако каждая функция f _n имеет интеграл −1. Вопреки лемме Фату, это значение строго меньше интеграла предела (0).

Как обсуждается ниже в разделе «Расширения и вариации леммы Фату», проблема заключается в том, что не существует равномерной интегрируемой границы последовательности снизу, в то время как 0 является равномерной границей сверху.

Обратная лемма Фату

Пусть f ₁ , f ₂ , . . . будет последовательностью расширенных вещественных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция g на S такая, что f _n  ≤  g для всех n , то

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .}$

Примечание: Здесь g интегрируема означает, что g измерима и что . ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$

Эскиз доказательства

Применим линейность интеграла Лебега и лемму Фату к последовательности Так как эта последовательность определена -почти всюду и неотрицательна. ${\displaystyle g-f_{n}.}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрируемая нижняя граница

Пусть f ₁ , f ₂ , . . . — последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует интегрируемая функция g на S такая, что f _n  ≥ − g для всех n , то

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной формулой f _n  +  g .

Точечная сходимость

Если в предыдущей постановке последовательность f ₁ , f ₂ , . . . сходится поточечно к функции f μ - почти всюду на S , то

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

Доказательство

Обратите внимание, что f должна почти всюду совпадать с нижним пределом функций f _n и что значения подынтегральной функции на множестве меры нуль не оказывают влияния на значение интеграла.

Сходимость в мере

Последнее утверждение справедливо также, если последовательность f ₁ , f ₂ , . . . сходится по мере к функции f .

Доказательство

Существует подпоследовательность такая, что

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

Поскольку эта подпоследовательность также сходится по мере к f , то существует еще одна подпоследовательность, которая сходится по точкам к f почти всюду, следовательно, предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подподпоследовательности.

Лемма Фату с переменными мерами

Во всех приведенных выше утверждениях леммы Фату интегрирование проводилось относительно одной фиксированной меры μ. Предположим, что μ _n — последовательность мер на измеримом пространстве ( S , Σ ) такая, что (см. Сходимость мер )

${\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)}$.

Тогда, если f _n — неотрицательные интегрируемые функции, а f — их нижний предел по точкам, то имеем

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}$

Лемма Фату для условных ожиданий

В теории вероятностей , путем изменения обозначений, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин X ₁ , X ₂ , . . . , определенных на вероятностном пространстве ; интегралы превращаются в ожидания . Кроме того, существует также версия для условных ожиданий . ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )}$

Стандартная версия

Пусть X ₁ , X ₂ , . . . — последовательность неотрицательных случайных величин на вероятностном пространстве и пусть — под- σ-алгебра . Тогда ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка .

Примечание: Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда хорошо определено, конечное ожидание не требуется.

Доказательство

За исключением изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство для стандартной версии леммы Фату, приведенной выше, однако необходимо применить теорему о монотонной сходимости для условных математических ожиданий .

Пусть X обозначает нижний предел X _n . Для каждого натурального числа k поточечно определим случайную величину

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}$

Тогда последовательность Y ₁ , Y ₂ , . . . возрастает и поточечно сходится к X. Для k  ≤  n имеем Y _k  ≤  X _n , так что

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка

монотонностью условного ожидания , следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка,

поскольку счетное объединение исключительных множеств нулевой вероятности снова является нулевым множеством . Используя определение X , его представление как поточечного предела Y _​​k , теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверняка

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}}$

Расширение до равномерно интегрируемых отрицательных частей

Пусть X ₁ , X ₂ , . . . — последовательность случайных величин на вероятностном пространстве и пусть — под- σ-алгебра . Если отрицательные части ${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}$

равномерно интегрируемы относительно условного ожидания в том смысле, что для ε  > 0 существует c  > 0 такое, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}}$,

затем

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка.

Примечание: На съемочной площадке, где

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}$

удовлетворяет

${\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,}$

левая часть неравенства считается плюс бесконечностью. Условное ожидание нижнего предела может быть не вполне определено на этом множестве, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечностью.

Доказательство

Пусть ε  > 0. В силу равномерной интегрируемости относительно условного ожидания существует c  > 0 такое, что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.}$

С

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},}$

где x ⁺  := max{ x ,0} обозначает положительную часть действительного x , монотонность условного ожидания (или вышеуказанное соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий подразумевают

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}$   почти наверняка.

С

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},}$

у нас есть

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$   почти наверняка,

следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$   почти наверняка.

Это подразумевает утверждение.

Ссылки

• Carothers, NL (2000). Реальный анализ . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 321–22. ISBN 0-521-49756-6.
• Ройден, HL (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Лондон: Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3.
• Weir, Alan J. (1973). «Теоремы сходимости». Интеграция и мера Лебега . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.