Некоммутативное условное ожидание

В математике некоммутативное условное ожидание является обобщением понятия условного ожидания в классической вероятности . Пространство существенно ограниченных измеримых функций на -конечном пространстве с мерой является каноническим примером коммутативной алгебры фон Неймана . По этой причине теорию алгебр фон Неймана иногда называют некоммутативной теорией меры. Тесные связи теории вероятностей с теорией меры позволяют предположить, что классические идеи вероятности можно распространить на некоммутативную среду, изучая эти идеи на общих алгебрах фон Неймана. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,\mu )}$

Для алгебр фон Неймана с точным нормальным следовым состоянием, например, для конечных алгебр фон Неймана, понятие условного ожидания особенно полезно.

Формальное определение

Пусть это алгебры фон Неймана ( и могут быть также общие C*-алгебры ), положительное линейное отображение на on называется условным ожиданием ( на ), когда и если и . ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \Phi (I)=I}$ ${\displaystyle \Phi (R_{1}SR_{2})=R_{1}\Phi (S)R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1},R_{2}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$

Приложения

Теорема Сакаи

Пусть — С*-подалгебра С*-алгебры, идемпотентное линейное отображение на такое, что действует на универсальное представление . Затем однозначно продолжается до ультраслабо непрерывного идемпотентного линейного отображения , слабо-операторного замыкания , на , слабо-операторного замыкания . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}},\varphi _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \|\varphi _{0}\|=1,{\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

В приведенной выше постановке результат ^[1] , впервые доказанный Томиямой, можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Пусть будет так, как описано выше. Тогда – условное ожидание от on и – условное ожидание от on . ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathcal {B}},\varphi ,\varphi _{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{-}}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

С помощью теоремы Томиямы можно дать изящное доказательство результата Сакаи о характеризации тех С*-алгебр, *-изоморфных алгебрам фон Неймана.

Примечания

1. Томияма Дж., О проекции нормы один в W*-алгебрах , Proc. Япония Акад. (33) (1957), Теорема 1, с. 608

Рекомендации

• Кадисон Р.В. , Некоммутативные условные ожидания и их приложения , Современная математика, Vol. 365 (2004), стр. 143–179.