Топология продукта

Топология на декартовых произведениях топологических пространств

В топологии и смежных областях математики пространство продукта представляет собой декартово произведение семейства топологических пространств, снабженных естественной топологией, называемой топологией продукта . Эта топология отличается от другой, возможно, более естественной топологии, называемой топологией ящика , которая также может быть задана пространству произведения и которая согласуется с топологией произведения, когда произведение занимает только конечное число пространств. Однако топология продукта «правильна» в том смысле, что она делает пространство продукта категориальным продуктом своих факторов, тогда как топология «ящик» слишком тонка ; в этом смысле топология произведения является естественной топологией декартова произведения.

Определение

Везде будет некоторое непустое множество индексов , и для каждого индекса пусть будет топологическое пространство . Обозначим декартово произведение множеств через ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

и для каждого индекса обозначим -ю каноническую проекцию через ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}}$$

The топология продукта , иногда называемаяТихоновская топология onопределяется как самаягрубая топология(то есть топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой всепроекциинепрерывны. Декартово произведение,наделенное топологией произведения, называется ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$пространство продукта . Открытые множества в топологии произведения представляют собой произвольные объединения (конечные или бесконечные) множеств вида, где каждоеоткрыто витолько для конечного числа.В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) набор всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждогодает основу топологии продукта.То есть для конечного продукта набор всехгдеявляется элементом (выбранного) базисаявляется основой топологии продукта. из ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Топология продукта на — это топология , порожденная множествами вида где и — открытое подмножество. Другими словами, множества ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

$${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$$

образуют подбазу для топологии на A. Подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой (возможно, бесконечное) объединение пересечений конечного числа множеств вида The иногда называют открытыми цилиндрами , а их пересечения представляют собой цилиндрические множества . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

Топологию произведения также называют топологией поточечной сходимости, поскольку последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) в сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее проекции на пространства . Явно последовательность (соответственно сеть ) сходится к данной точке тогда и только тогда, когда in для каждого индекса где обозначает (соответственно обозначает ). В частности, если используется для всех , то декартово произведение представляет собой пространство всех вещественнозначных функций на и сходимость в топологии произведения аналогична поточечной сходимости функций. ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ ${\displaystyle I,}$

Примеры

Если реальная линия наделена своей стандартной топологией , то топология произведения на произведении копий равна обычной евклидовой топологии на (поскольку она конечна, она также эквивалентна топологии ящика на ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Множество Кантора гомеоморфно произведению счетного числа копий дискретного пространства , а пространство иррациональных чисел гомеоморфно произведению счетного числа копий натуральных чисел , где каждая копия снова несет дискретную топологию. ${\displaystyle \{0,1\}}$

Несколько дополнительных примеров приведены в статье об исходной топологии .

Характеристики

Набор декартовых произведений между открытыми множествами топологий каждого образует основу для того, что называется топологией ящика . В общем, топология ящика тоньше , чем топология произведения, но для конечных произведений они совпадают. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Пространство произведений вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если это топологическое пространство и для каждого является непрерывным отображением, то существует ровно одно непрерывное отображение такое, что для каждого коммутирует следующая диаграмма : ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I}$

Это показывает, что пространство продукта является продуктом категории топологических пространств . Из приведенного выше универсального свойства следует, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно для всех. Во многих случаях легче проверить, что составляющие функции непрерывны. Проверить, является ли карта непрерывной, обычно сложнее; пытаются использовать тот факт, что они в некотором роде непрерывны. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Канонические проекции не только непрерывны, но и являются открытыми картами . Это означает, что любое открытое подмножество пространства продукта остается открытым при проецировании вниз. Обратное неверно: если это подпространство пространства продукта, чьи проекции вниз на все открыты, то оно не обязательно должно быть открытым (рассмотрим, например, ) Канонические проекции, как правило, не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество , проекции которого на обе оси равны ). ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Предположим , это произведение произвольных подмножеств, где для каждого , если все не пусты , тогда является замкнутым подмножеством пространства произведений тогда и только тогда, когда каждое является замкнутым подмножеством. В более общем смысле, замыкание произведения произвольных подмножеств в произведении пространство равно произведению замыканий: ^[1] ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.}$$

Любое произведение хаусдорфовых пространств снова является хаусдорфовым пространством.

Теорема Тихонова , эквивалентная аксиоме выбора , утверждает, что любое произведение компактов является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова , которая требует только леммы об ультрафильтре (а не полной силы выбранной аксиомы), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством.

Если фиксировано, то набор ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

$${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}}$$

является плотным подмножеством пространства продуктов . ^[1] ${\displaystyle X}$

Связь с другими топологическими понятиями

Разделение

• Каждое произведение пространств T 0 есть T ₀ .
• Каждое произведение пространств T 1 есть T ₁ .
• Всякое произведение хаусдорфовых пространств является хаусдорфовым.
• Всякое произведение регулярных пространств регулярно.
• Всякое произведение тихоновских пространств является тихоновским.
• Произведение нормальных пространств не обязательно должно быть нормальным.

Компактность

• Всякое произведение компактов компактно ( теорема Тихонова ).
• Произведение локально компактных пространств не обязательно должно быть локально компактным. Однако произвольное произведение локально компактных пространств, из которых все, кроме конечного числа, компактны, локально компактно (это условие является достаточным и необходимым).

Связность

• Всякое произведение связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
• Всякое произведение наследственно несвязных пространств наследственно несвязно.

Метрические пространства

• Счётные произведения метрических пространств — метризуемые пространства .

Аксиома выбора

Один из многих способов выразить аксиому выбора — сказать, что она эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. ^[2] Доказательство того, что это эквивалентно формулировке аксиомы в терминах функций выбора, является немедленным: нужно только выбрать элемент из каждого набора, чтобы найти представителя в произведении. И наоборот, представителем произведения является множество, содержащее ровно по одному элементу от каждого компонента.

Аксиома выбора снова возникает при изучении (топологических) пространств произведений; например, теорема Тихонова о компактных множествах представляет собой более сложный и тонкий пример утверждения, которое требует аксиомы выбора и эквивалентно ей в наиболее общей формулировке ^[3] и показывает, почему топологию произведения можно считать более полезной. топологию для декартова произведения.

Смотрите также

• Дизъюнктное объединение (топология)  - пространство, образованное путем оснащения дизъюнктного объединения основных множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Окончательная топология  - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
• Начальная топология  . Самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными. Иногда ее называют топологией проективного предела.
• Обратный предел  - конструкция в теории категорий
• Поточечная сходимость  - понятие сходимости в математике.
• Факторпространство (топология)  - Построение топологического пространства.
• Подпространство (топология)  – унаследованная топологияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Слабая топология  - математический термин

Примечания

1. Бурбаки 1989, стр. 43–50.
2. Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33
3. Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, стр. 28, ISBN 978-0-486-65676-2

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. ISBN компании 0486434796. Проверено 13 февраля 2013 г.