Слабая топология

Математический термин

В математике слабая топология является альтернативным термином для некоторых исходных топологий , часто в топологических векторных пространствах или пространствах линейных операторов , например, в гильбертовом пространстве . Этот термин чаще всего используется для обозначения начальной топологии топологического векторного пространства (например, нормированного векторного пространства ) относительно его непрерывного двойственного пространства . Оставшаяся часть статьи будет посвящена этому случаю, который является одной из концепций функционального анализа .

Подмножества топологического векторного пространства можно назвать слабо замкнутыми (соответственно слабо компактными и т. д.), если они замкнуты (соответственно компактными и т. д.) относительно слабой топологии. Аналогично функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно слабо дифференцируемыми , слабо аналитическими и т. д.), если они непрерывны (соответственно дифференцируемые , аналитические и т. д.) относительно слабой топологии.

История

Начиная с начала 1900-х годов Дэвид Гильберт и Марсель Рис широко использовали слабую конвергенцию. Первые пионеры функционального анализа не ставили нормальную конвергенцию выше слабой конвергенции и часто считали слабую конвергенцию предпочтительной. ^[1] В 1929 году Банах ввёл слабую сходимость для нормированных пространств, а также ввёл аналогичную слабую сходимость . ^[1] Слабая топология также называется топологией faible на французском языке и schwache Topologie на немецком языке.

Слабая и сильная топологии.

Пусть — топологическое поле , а именно поле с такой топологией , что сложение, умножение и деление непрерывны . В большинстве приложений это будет либо поле комплексных чисел , либо поле действительных чисел со знакомой топологией. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Слабая топология относительно спаривания

И слабая топология, и слабая топология являются частными случаями более общей конструкции спариваний , которую мы сейчас опишем. Преимущество этой более общей конструкции состоит в том, что любое определение или результат, доказанный для нее, применим как к слабой топологии, так и к слабой* топологии, что делает излишним необходимость во многих определениях, формулировках теорем и доказательствах. По этой же причине слабую* топологию часто называют «слабой топологией»; потому что это всего лишь пример слабой топологии в рамках этой более общей конструкции.

Предположим, ( X , Y , b ) — пара векторных пространств над топологическим полем (т. е. X и Y — векторные пространства над ним, а b  : X × Y → — билинейное отображение ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Обозначения. Для всех x ∈ X пусть b ( x , • ) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ обозначает линейный функционал на Y , определенный равенством y ↦ b ( x , y ) . Аналогично, для всех y ∈ Y пусть b (•, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ определяется как x ↦ b ( x , y ) .

Определение. Слабая топология на X , индуцированная Y (и b ), является самой слабой топологией на X , обозначаемой 𝜎( X , Y , b ) или просто 𝜎( X , Y ) , что делает все отображения b (•, y ) : X → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ непрерывен, поскольку y колеблется в пределах Y . ^[1]

Слабая топология на Y теперь определяется автоматически, как описано в статье Двойная система . Однако для ясности мы сейчас повторим это.

Определение. Слабая топология на Y, индуцированная X (и b ), является самой слабой топологией на Y , обозначаемой 𝜎( Y , X , b ) или просто 𝜎( Y , X ) , что делает все отображения b ( x , •) : Y → ${\displaystyle \mathbb {K} }$ непрерывен, поскольку x колеблется в пределах X. ^[1]

Если поле имеет абсолютное значение | ⋅ |  , то слабая топология 𝜎( X , Y , b ) на X индуцируется семейством полунорм , py _: X → , определяемым формулой ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

п _y ( Икс ) := | б ( Икс , у ) |

для всех y ∈ Y и x ∈ X. Это показывает, что слабые топологии локально выпуклы .

Предположение. В дальнейшем мы будем предполагать, что это либо действительные числа , либо комплексные числа . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каноническая двойственность

Теперь мы рассмотрим частный случай, когда Y — векторное подпространство алгебраического двойственного пространства к X (т.е. векторное пространство линейных функционалов на X ).

Существует пара, обозначаемая или , называемая канонической парой , билинейная карта которой является канонической оценочной картой , определенной для всех и . Обратите внимание, что это всего лишь еще один способ обозначения ie . ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in Y}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}$

Предположение. Если Y — векторное подпространство алгебраического двойственного пространства к X , то мы будем предполагать, что они связаны с каноническим спариванием ⟨ X , Y ⟩ .

В этом случае слабая топология на X (соответственно слабая топология на Y ), обозначаемая 𝜎( X , Y ) (соответственно 𝜎( Y , X ) ), является слабой топологией на X (соответственно на Y ) относительно канонического спаривания ⟨ X , Y ⟩ .

Топология σ ( X , Y ) является исходной топологией X относительно Y .

Если Y — векторное пространство линейных функционалов на X , то непрерывное двойственное к X относительно топологии σ( X , Y ) в точности равно Y. ^[1] (Рудин 1991, теорема 3.10)

Слабые и слабые* топологии

Пусть X — топологическое векторное пространство (TVS) над , то есть X — векторное пространство , снабженное топологией, так что векторное сложение и скалярное умножение являются непрерывными. Мы называем топологию, которую X начинается с исходной , начальной или заданной топологией (читатель предостерегается от использования терминов « исходная топология » и « сильная топология » для обозначения исходной топологии, поскольку они уже имеют хорошо известные значения, поэтому их использование может вызвать путаницу). Мы можем определить возможно другую топологию на X, используя топологическое или непрерывное двойственное пространство , которое состоит из всех линейных функционалов из X в основное поле , непрерывных относительно данной топологии. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Напомним, что это каноническая оценочная карта, определенная для всех и , где, в частности, . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x'\in X^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}$

Определение. Слабая топология на X — это слабая топология на X относительно канонического спаривания . То есть это самая слабая топология на X , делающая все отображения непрерывными, поскольку их диапазон превышает . ^[1] ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Определение : Слабая топология ${\displaystyle X^{*}}$ является слабой топологией относительно канонического спаривания . То есть это самая слабая топология, позволяющая сделать все карты непрерывными, поскольку x варьируется в пределах X. ^[1] Эту топологию также называют слабой* топологией . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K} }$

Ниже мы даем альтернативные определения.

Слабая топология, индуцированная непрерывным дуальным пространством

Альтернативно, слабая топология на TVS X является исходной топологией относительно семейства . Другими словами, это самая грубая топология на X, такая, что каждый элемент остается непрерывной функцией . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Подбаза для слабой топологии — это совокупность множеств вида где и U — открытое подмножество базового поля . Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда оно может быть записано как объединение (возможно, бесконечного числа) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида . ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$

С этой точки зрения слабая топология является самой грубой полярной топологией .

Слабая сходимость

Слабая топология характеризуется следующим условием: сеть в X сходится в слабой топологии к элементу x из X тогда и только тогда, когда сходится к in или для всех . ${\displaystyle (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi \in X^{*}}$

В частности, если — последовательность из X , то она слабо сходится к x , если ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}$

при n → ∞ для всех . В этом случае принято писать ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}$

или, иногда,

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

Другие объекты недвижимости

Если X оснащено слабой топологией, то сложение и скалярное умножение остаются непрерывными операциями, а X является локально выпуклым топологическим векторным пространством .

Если X — нормированное пространство, то двойственное пространство само по себе является нормированным векторным пространством, если использовать норму ${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}$

Эта норма порождает топологию, называемую сильной топологией на . Это топология равномерной сходимости . Равномерная и сильная топологии в других пространствах линейных отображений, как правило, различны; см. ниже. ${\displaystyle X^{*}}$

Топология Weak-*

Слабая* топология является важным примером полярной топологии .

Пространство X можно вложить в свое двойное двойственное X** с помощью

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases}}}$

Таким образом, это инъективное линейное отображение, хотя и не обязательно сюръективное (пространства, для которых это каноническое вложение сюръективно, называются рефлексивными ). Топология слабого-* на — это слабая топология, индуцированная образом . Другими словами, это самая грубая топология, в которой отображения T _x , определенные с помощью базового поля или, остаются непрерывными. ${\displaystyle T:X\to X^{**}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$ ${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Слабая* сходимость

Сеть в сходится к топологии слабого*, если она сходится поточечно : ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}$

для всех . В частности, последовательность сходится к при условии, что ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}$

для всех x ∈ X. В этом случае пишут

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }$

при п → ∞ .

Слабую сходимость иногда называют простой сходимостью или поточечной сходимостью . Действительно, оно совпадает с поточечной сходимостью линейных функционалов.

Характеристики

Если X — сепарабельное (т. е. имеет счетное плотное подмножество) локально выпуклое пространство и H — ограниченное по норме подмножество его непрерывного двойственного пространства, то H , наделенное слабой * (подпространственной) топологией, является метризуемым топологическим пространством. ^[1] Однако для бесконечномерных пространств метрика не может быть трансляционно-инвариантной. ^[2] Если X — сепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство, то слабая* топология на непрерывном двойственном пространстве к X сепарабельна. ^[1]

Свойства нормированных пространств

По определению слабая* топология слабее слабой топологии на . Важным фактом о слабой* топологии является теорема Банаха–Алаоглу : если X нормировано, то замкнутый единичный шар в является слабо* -компактным (в более общем смысле, поляра в окрестности 0 в X является слабо*-компактной). ). Более того, замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X компактен в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивно . ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

В более общем смысле, пусть F — локально компактное поле значений (например, действительные числа, комплексные числа или любая из p-адических систем счисления). Пусть X — нормированное топологическое векторное пространство над F , совместимое с абсолютным значением в F. Тогда в топологическом дуальном пространстве X непрерывных F -значных линейных функционалов на X все шары, замкнутые по норме, компактны в слабой топологии. ${\displaystyle X^{*}}$

Если X — нормированное пространство, верна версия теоремы Гейне-Бореля . В частности, подмножество непрерывного двойственного множества является слабо* компактным тогда и только тогда, когда оно слабо* замкнуто и ограничено по норме. ^[1] Из этого, в частности, следует, что, когда X — бесконечномерное нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в начале координат в двойственном пространстве X не содержит какой-либо слабой* окрестности точки 0 (поскольку любая такая окрестность является нормированной). неограничен). ^[1] Таким образом, хотя замкнутые по норме шары компактны, X* не является слабым* локально компактным .

Если X — нормированное пространство, то X сепарабельно тогда и только тогда, когда слабая* топология на замкнутом единичном шаре метризуема, ^[1] и в этом случае слабая* топология метризуема на подмножествах, ограниченных по норме . Если нормированное пространство X имеет двойственное пространство, которое является сепарабельным (относительно топологии дуальной нормы), то X обязательно сепарабельно. ^[1] Если X — банахово пространство , то топология слабого типа не метризуема во всех случаях, если только X не конечномерно. ^[3] ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Примеры

гильбертовы пространства

Рассмотрим, например, разницу между сильной и слабой сходимостью функций в гильбертовом пространстве L ² ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Сильная сходимость последовательности к элементу ψ означает, что ${\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}$

при k → ∞ . Здесь понятие сходимости соответствует норме ^на L2 .

Напротив, слабая сходимость требует только того, чтобы

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }$

для всех функций f ∈ L ² (или, что более типично, для всех f в плотном подмножестве L ² , таком как пространство пробных функций , если последовательность { ψ _k } ограничена). Для заданных тестовых функций соответствующее понятие сходимости соответствует только топологии, используемой в . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Например, в гильбертовом пространстве L ² (0,π) последовательность функций

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}$

образуют ортонормированный базис . В частности, (сильного) предела при k → ∞ не существует. С другой стороны, по лемме Римана–Лебега слабый предел существует и равен нулю. ${\displaystyle \psi _{k}}$

Распределения

Обычно пространства распределений получают путем формирования сильного двойственного пространства основных функций (таких как гладкие функции с компактным носителем на ). В альтернативной конструкции таких пространств можно взять слабое двойственное пространство основных функций внутри гильбертова пространства, такого как L ² . Таким образом, приходится рассмотреть идею оснащенного гильбертова пространства . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Слабая топология, индуцированная алгебраическим двойственным

Предположим, что X — векторное пространство, а X ^# — алгебраическое пространство, двойственное к X (т. е. векторное пространство всех линейных функционалов на X ). Если X наделено слабой топологией, индуцированной X ^# , то непрерывным двойственным пространством X является X ^# , каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X , каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение . ^[4]

Топологии операторов

Если X и Y — топологические векторные пространства, пространство L ( X , Y ) непрерывных линейных операторов f  : X  →  Y может содержать множество различных возможных топологий. Именование таких топологий зависит от типа топологии, которая используется в целевом пространстве Y для определения операторной сходимости (Йосида 1980, IV.7 Топологии линейных отображений). В общем, существует огромное количество возможных операторных топологий на L ( X , Y ) , имена которых не совсем интуитивно понятны.

Например, сильная операторная топология на L ( X , Y ) — это топология поточечной сходимости . Например, если Y — нормированное пространство, то эта топология определяется полунормами, индексированными x ∈ X :

${\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}$

В более общем смысле, если семейство полунорм Q определяет топологию на Y , то полунормы p _{q , x} на L ( X , Y ) , определяющие сильную топологию, задаются формулой

${\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}$

индексированный q ∈ Q и x ∈ X .

В частности, см. топологию слабых операторов и топологию слабых* операторов .

Смотрите также

• Компакт Эберлейна — компакт в слабой топологии.
• Слабая сходимость (гильбертово пространство)
• Топология оператора «слабая звезда»
• Слабая сходимость мер
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неясная топология

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Фолланд 1999, стр. 170.
3. Предложение 2.6.12, с. 226 в Меггинсоне, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN. 0-387-98431-3.
4. Тревес 2006, стр. 36, 201.

Библиография

• Конвей, Джон Б. (1994), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
• Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Педерсен, Герт (1989), Анализ сейчас , Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Уиллард, Стивен (февраль 2004 г.). Общая топология . Публикации Courier Dover. ISBN 9780486434797.
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (6-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8