Полярный набор

Подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре)

В функциональном и выпуклом анализе , а также в смежных дисциплинах математики , полярное множество — это специальное выпуклое множество, связанное с любым подмножеством векторного пространства , лежащим в двойственном пространстве. Биполярное подмножество является полярным, но лежит в (не ). ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle A^{\circ },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

Определения

Существует по крайней мере три конкурирующих определения поляры множества, берущие начало в проективной геометрии и выпуклом анализе. ^{[1] [ нужна цитата ]} В каждом случае определение описывает двойственность между определенными подмножествами пары векторных пространств над действительными или комплексными числами ( и часто являются топологическими векторными пространствами (TVS)). ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Если — векторное пространство над полем , то, если не указано иное, обычно, но не всегда, будет некоторое векторное пространство линейных функционалов , а двойственное спаривание будет картой билинейной оценки ( в точке ) , определяемой формулой If — топологический вектор пространство , то это пространство обычно, но не всегда, будет непрерывным дуальным пространством , и в этом случае двойственное спаривание снова будет оценочной картой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$

Обозначим замкнутый шар радиуса с центром в начале координат в лежащем в основе скалярном поле через ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

Функционально-аналитическое определение

Абсолютный полярный

Предположим, что это пара . Полярной или абсолютной полярой подмножества является набор: ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

где обозначает образ множества при отображении, заданном формулой If обозначает выпуклую сбалансированную оболочку , которая по определению является наименьшим выпуклым и сбалансированным подмножеством, содержащим то ${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Это аффинный сдвиг геометрического определения; он имеет полезную характеристику, заключающуюся в том, что функционально-аналитическая поляра единичного шара (in ) является именно единичным шаром (in ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Преполярным или абсолютным преполярным подмножества является набор : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

Очень часто преполяр подмножества также называют полярным или абсолютным полярным и обозначают ; на практике такое повторное использование обозначений и слова «полярный» редко вызывает какие-либо проблемы (например, двусмысленность), и многие авторы даже не используют слово «преполярный». ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$

Биполярным подмножеством часто обозначается множество ;​ то есть, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$ $${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

Настоящий полярный

Реальная поляра подмножества - это множество: а реальная преполярка подмножества - это множество : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

Как и в случае с абсолютным преполяром, настоящий преполяр обычно называют реальным поляром и также обозначается ^[2]. Важно отметить, что некоторые авторы (например, [Schaefer 1999]) определяют «полярный» как «настоящий полярный» (а не «абсолютный полярный», как это сделано в этой статье) и использовать для него обозначения (а не те обозначения , которые используются в этой статье и в [Narici 2011]). ${\displaystyle B^{r}.}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{r}}$

Настоящим биполярным подмножеством иногда обозначается множество ; оно равно -замыканию выпуклой оболочки [ ^2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{rr},}$ ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

Ибо подмножество выпукло, -замкнуто и содержит ^[2] В общем, возможно, что равенство будет выполняться, если сбалансировано . Кроме того, где обозначает сбалансированную оболочку [ ^2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle A^{\circ }.}$ ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle A^{r}.}$

Конкурирующие определения

Определение «полярности» множества не является общепринятым. Хотя в этой статье слово «полярный» определяется как «абсолютная полярность», некоторые авторы определяют «полярный» как «настоящий полярный», а другие авторы используют другие определения. Независимо от того, как автор определяет слово «полярный», обозначения почти всегда представляют собой выбор определения (поэтому значение обозначений может варьироваться от источника к источнику). В частности, поляру иногда определяют как: где обозначение не является стандартным обозначением. ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A^{|r|}}$

Теперь мы кратко обсудим, как эти различные определения соотносятся друг с другом и когда они эквивалентны.

Это всегда так, и если действительное значение (или, что то же самое, если и являются векторными пространствами над ), то $${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Если это симметричный набор (то есть или, что то же самое, ), то где, если кроме того, действительное значение, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle -A\subseteq A}$ ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Если и являются векторными пространствами над (так что это комплексное значение) и если (где обратите внимание, что это подразумевает и ), то где, если дополнительно для всех вещественных то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle iA\subseteq A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle iA=A}$ $${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Таким образом, чтобы все эти определения полярного множества согласовались, достаточно, чтобы для всех скаляров единичной длины ^{[примечание 1]} (где это эквивалентно для всех скаляров единичной длины ). В частности, все определения полярности согласуются, когда набор является сбалансированным (что часто, но не всегда имеет место), так что зачастую то, какое из этих конкурирующих определений используется, не имеет значения. Однако эти различия в определениях «полярности» набора иногда приводят к тонким или важным техническим различиям, когда он не обязательно сбалансирован. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sA=A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Специализация на канонической двойственности

Алгебраическое двойственное пространство

Если - любое векторное пространство, то пусть обозначает алгебраическое дуальное пространство , к которому является множеством всех линейных функционалов на. Векторное пространство всегда является замкнутым подмножеством пространства всех -значных функций на в топологии поточечной сходимости, поэтому когда наделено топология подпространства затем становится полным по Хаусдорфу локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS). Для любого подмножества пусть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Если есть какие-либо подмножества, то и где обозначает выпуклую сбалансированную оболочку . Для любого конечномерного векторного подпространства пусть обозначается евклидова топология , на которой есть единственная топология, превращающаяся в топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS). If обозначает объединение всех замыканий , изменяющихся по всем конечномерным векторным подпространствам then ( пояснение см. в этой сноске ^{[примечание 2]} ). Если является поглощающим подмножеством, то по теореме Банаха–Алаоглу , является слабо* компактным подмножеством ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

Если — любое непустое подмножество векторного пространства и если — любое векторное пространство линейных функционалов на (то есть векторное подпространство алгебраического двойственного пространства ) , то вещественнозначное отображение ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$     определяется     ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

является полунормой в If then по определению супремума , так что определенное выше отображение не будет вещественным и, следовательно, не будет полунормой. ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

Непрерывное двойное пространство

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством. Сейчас рассматривается важный частный случай, когда и скобки представляют каноническое отображение . Тройка — это так называемое каноническое спаривание , связанное с ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$ $${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X.}$

Поляра подмножества по отношению к этой канонической паре: ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Для любого подмножества где обозначает замыкание в ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Банаха –Алаоглу утверждает, что если — окрестность начала координат в то , и это полярное множество является компактным подмножеством непрерывного дуального пространства, если оно наделено топологией слабого-* (также известной как топология поточечной сходимости). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Если выполняется для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютных значений на (оператор вещественной части), так что: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Преполярным подмножеством является : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y=X^{\prime }}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

Если выполняется для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютных значений на так: где ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle sB\subseteq B}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$ ${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

Биполярная теорема характеризует биполярность подмножества топологического векторного пространства.

Если это нормированное пространство и является открытым или замкнутым единичным шаром в (или даже любым подмножеством замкнутого единичного шара, которое содержит открытый единичный шар), то является ли замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве, если он наделен своей канонической двойственной нормой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Геометрическое определение конусов

Полярный конус выпуклого конуса — это множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

Это определение дает двойственность точек и гиперплоскостей, записывая последнюю как пересечение двух противоположно ориентированных полупространств. Полярная гиперплоскость точки — это локус ; двойственное отношение для гиперплоскости дает полярную точку этой гиперплоскости. ^{[3] [ нужна ссылка ]} ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

Некоторые авторы (сбивчиво) называют двойной конус полярным конусом; мы не будем следовать этому соглашению в этой статье. ^[4]

Характеристики

Если не указано иное, это будет пара . Топология представляет собой слабую топологию , в то время как слабая топология на Для любого множества обозначает реальную поляру и обозначает абсолютную поляру. Термин «полярный» будет относиться к абсолютной поляре. ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A.}$

• (Абсолютная) поляра множества выпукла и сбалансирована . ^[5]
• Реальная поляра подмножества выпукла, но не обязательно сбалансирована; будет сбалансированным, если сбалансирован. ^[6] ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$
• Если для всех скаляров единичной длины, то ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$замкнут в рамках слабой *-топологии на . ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Подмножество слабо ограничено (т. е. -ограничено ) тогда и только тогда, когда поглощает в . ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle Y}$
• Для двойственной пары , где есть TVS и ее непрерывное дуальное пространство, если ограничено, то поглощает в [ ^5] Если локально выпукло и поглощает в, то ограничено в Кроме того, подмножество слабо ограничено тогда и только тогда , когда поглощая в ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Биполярным множеством является -замкнутая выпуклая оболочка этого наименьшего -замкнутого и выпуклого множества, содержащего и ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$
  • Аналогично, бидуальный конус конуса представляет собой -замкнутую коническую оболочку [ ^7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A.}$
• Если – база в начале координат TVS , то ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• Если - локально выпуклая TVS, то поляры (взятые относительно ) любой базы 0-окрестности образуют фундаментальное семейство равнонепрерывных подмножеств (т.е. для любого ограниченного подмножества существует окрестность начала координат в такой, что ). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • Обратно, если - локально выпуклая TVS, то поляры (взятые относительно ) любого фундаментального семейства равнонепрерывных подмножеств образуют базу окрестностей начала координат в ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть – TVS с топологией. Тогда является локально выпуклой TVS-топологией тогда и только тогда, когда является топологией равномерной сходимости на равномерных непрерывных подмножествах из ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Последние два результата объясняют, почему эквинепрерывные подмножества непрерывного дуального пространства играют такую ​​заметную роль в современной теории функционального анализа: потому что эквинепрерывные подмножества инкапсулируют всю информацию об исходной топологии локально выпуклого пространства. ${\displaystyle X}$

Установить отношения

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^[6] и ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• Для всех скаляров и для всех вещественных и ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$ ${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$Однако для реального поляра имеем ^[6] ${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• Для любого конечного набора множеств ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$ $${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• Если тогда и ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ ${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • Непосредственным следствием является то, что ; равенство обязательно выполняется, когда оно конечно, и может не выполняться, если оно бесконечно. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$и ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• Если - конус, то ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• Если — семейство -замкнутых подмножеств содержащих , то вещественная поляра — это замкнутая выпуклая оболочка ^[6] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in X,}$ ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• Если тогда ^[9] ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• Для замкнутого выпуклого конуса в действительном векторном пространстве полярный конус является полярой ; то есть где ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$ ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

Смотрите также

• Теорема Банаха – Алаоглу  - Теорема функционального анализа
• Биполярная теорема  - Теорема выпуклого анализа
• Полярный конус  - Концепции выпуклого анализаPages displaying short descriptions of redirect targets
• Полярная топология  - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

1. Поскольку для согласования всех этих завершающих определений полярного множества , если оно действительное, то достаточно, чтобы оно было симметричным, а если оно комплексное, то достаточно, чтобы для всех действительных значений ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle s.}$
2. Чтобы доказать, что пусть If является конечномерным векторным подпространством then, поскольку оно непрерывно (как и все линейные функционалы на конечномерном хаусдорфовом TVS), из замкнутого множества следует, что объединение всех таких множеств следовательно, также является подмножеством, которое доказывает это и т. д. В общем, если существует какая-либо TVS-топология, то ${\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#},}$ ${\displaystyle f\in A^{\#}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{Y}:\left(Y,\tau _{Y}\right)\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)=f{\big \vert }_{Y}\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }(f(Y\cap A))\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }f(A)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }B_{1}=B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1},}$ ${\displaystyle f\left(A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\subseteq \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A.}$

Рекомендации

1. Алипратис, CD; Граница, КЦ (2007). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Спрингер. п. 215. дои : 10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
3. Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. стр. 7–8. ISBN 978-9812380678.
4. Рокафеллар, TR (1970). Выпуклый анализ . Университет Принстон. стр. 121-8. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Treves 2006, стр. 195–201.
6. Schaefer & Wolff 1999, стр. 123–128.
7. Никулеску, CP; Перссон, Ларс-Эрик (2018). Выпуклые функции и их приложения . Книги CMS по математике. Чам, Швейцария: Springer. стр. 94–5, 134–5. дои : 10.1007/978-3-319-78337-6. ISBN 978-3-319-78337-6.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 472.
9. Ярчоу 1981, стр. 148–150.

Библиография

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.