Отделяемое пространство

Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством.

В математике топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное плотное подмножество ; то есть существует последовательность элементов пространства такая, что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит хотя бы один элемент последовательности. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Как и другие аксиомы счетности , отделимость представляет собой «ограничение на размер», не обязательно с точки зрения мощности (хотя при наличии аксиомы Хаусдорфа это действительно так; см. ниже), но в более тонком смысле. топологический смысл. В частности, каждая непрерывная функция на сепарабельном пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется ее значениями на счетном плотном подмножестве.

Сравните сепарабельность с соответствующим понятием второй счетности , которое в общем более сильное, но эквивалентное в классе метризуемых пространств.

Первые примеры

Любое топологическое пространство, которое само по себе конечно или счетно бесконечно , является сепарабельным, поскольку все пространство представляет собой счетное плотное подмножество самого себя. Важным примером несчетного сепарабельного пространства является действительная линия , в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Аналогично набор всех векторов длин рациональных чисел , является счетным плотным подмножеством множества всех векторов длин действительных чисел ; поэтому для каждого -мерное евклидово пространство сепарабельно . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Простой пример несепарабельного пространства — дискретное пространство несчетной мощности.

Дополнительные примеры приведены ниже.

Отделимость против второй счетности

Любое пространство со второй счетностью сепарабельно: если это счетная база, выбор любого из непустых дает счетное плотное подмножество. И наоборот, метризуемое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно счетно во второй раз, что имеет место тогда и только тогда, когда оно линделефово . ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Для дальнейшего сравнения этих двух свойств:

• Произвольное подпространство второго счетного пространства является вторым счетным; подпространства сепарабельных пространств не обязательно должны быть сепарабельными (см. ниже).
• Любой непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабельен (Willard 1970, Th. 16.4a); даже частное пространства со второй счетностью не обязательно должно быть счетным.
• Произведение не более чем континуума многих сепарабельных пространств является сепарабельным (Willard 1970, стр. 109, Th 16.4c) . Счетное произведение пространств со второй счетностью является вторым счетным, но несчетное произведение пространств со второй счетностью не обязательно должно быть даже первым счетным.

Мы можем построить пример сепарабельного топологического пространства, не являющегося счетным. Рассмотрим любое несчетное множество , выберите какое-нибудь и определим топологию как совокупность всех множеств, которые содержат (или пусты). Тогда замыканием является все пространство ( это наименьшее замкнутое множество, содержащее ), но каждое множество формы открыто. Следовательно, пространство сепарабельно, но счетной базы быть не может. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {x_{0}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0},x\}}$

Мощность

Свойство сепарабельности само по себе не дает никаких ограничений на мощность топологического пространства: любое множество, наделенное тривиальной топологией, сепарабельно, равно как и второе счетное, квазикомпактное и связное . «Проблема» тривиальной топологии заключается в ее плохих свойствах разделения: ее фактор Колмогорова представляет собой одноточечное пространство.

Первое счетное сепарабельное хаусдорфово пространство (в частности, сепарабельное метрическое пространство) имеет не более континуальной мощности . В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение множества сходящихся последовательностей со значениями в счетном плотном подмножестве в точки . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X}$

Сепарабельное хаусдорфово пространство имеет мощность не более , где – мощность континуума. Для этого замыкание характеризуется в терминах пределов баз фильтров : если и , то тогда и только тогда, когда существует база фильтров, состоящая из подмножеств, сходящихся к . Мощность множества таких баз фильтров не более . Более того, в хаусдорфовом пространстве каждая база фильтров имеет не более одного предела. Следовательно, имеет место сюръекция, когда ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S(Y)}$ ${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$ ${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Те же аргументы приводят к более общему результату: предположим, что топологическое пространство Хаусдорфа содержит плотное подмножество мощности . Тогда имеет не более мощности и не более мощности, если оно сначала счетно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Продукт не более чем континуума многих сепарабельных пространств является сепарабельным пространством (Willard 1970, стр. 109, Th 16.4c). В частности, пространство всех функций от действительной прямой до самой себя, наделенное топологией произведения, является сепарабельным Хаусдорфовым пространством мощности . В более общем смысле, если это какой-либо бесконечный кардинал, то произведение не более пространств с плотными подмножествами не более размера само по себе имеет плотное подмножество не более размера (теорема Хьюитта – Марчевского – Пондичери). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Конструктивная математика

Сепарабельность особенно важна в численном анализе и конструктивной математике , поскольку многие теоремы, которые можно доказать для несепарабельных пространств, имеют конструктивные доказательства только для сепарабельных пространств. Такие конструктивные доказательства можно превратить в алгоритмы для использования в численном анализе, и это единственные виды доказательств, приемлемые для конструктивного анализа. Известным примером теоремы такого рода является теорема Хана-Банаха .

Дальнейшие примеры

Сепарабельные пространства

• Всякое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) сепарабельно.
• Любое топологическое пространство, представляющее собой объединение счетного числа сепарабельных подпространств, является сепарабельным. Вместе эти первые два примера дают другое доказательство того, что -мерное евклидово пространство сепарабельно. ${\displaystyle n}$
• Пространство всех непрерывных функций от компактного подмножества до вещественной прямой сепарабельно. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространства Лебега над пространством с мерой, σ-алгебра которого счетно порождена и мера σ-конечна, сепарабельны для любого . ^[1] ${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• Пространство непрерывных вещественных функций на единичном интервале с метрикой равномерной сходимости является сепарабельным пространством, так как из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса следует , что множество многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами является счетным плотным подмножеством . Теорема Банаха –Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству в . ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$
• Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетный ортонормированный базис . Отсюда следует, что любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству суммируемых с квадратом последовательностей. ${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Примером сепарабельного пространства, которое не является счетным по секундам, является линия Соргенфрея , набор действительных чисел, снабженный топологией нижнего предела . ${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Сепарабельная σ-алгебра — это σ-алгебра , которая является сепарабельным пространством, если рассматривать ее как метрическое пространство с метрикой для и заданной конечной мерой (и являющееся симметричным разностным оператором). ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$

Неразделимые пространства

• Первый несчетный ординал , обладающий топологией естественного порядка , не является сепарабельным. ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Банахово пространство всех ограниченных вещественных последовательностей с супремум-нормой не сепарабельно. То же самое справедливо и для . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$
• Банахово пространство функций ограниченной вариации не сепарабельно; однако отметим, что это пространство имеет очень важные применения в математике, физике и технике.

Характеристики

• Подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным (см. плоскость Соргенфрея и плоскость Мура ), но каждое открытое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно (Willard 1970, Th 16.4b). Кроме того, каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
• Фактически, каждое топологическое пространство является подпространством сепарабельного пространства той же мощности . Конструкция, добавляющая не более счетного числа точек, приведена в (Серпинский 1952, стр. 49); если пространство было хаусдорфовым пространством, то построенное пространство, в которое оно вложено, также является хаусдорфовым пространством.
• Множество всех действительных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность , равную мощности континуума . Это следует из того, что такие функции определяются своими значениями на плотных подмножествах. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Из приведенного выше свойства можно вывести следующее: если X — сепарабельное пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальным . Это показывает, что самолет Соргенфри не является нормальным.
• Для бикомпакта X следующие условия эквивалентны :
  1. X является вторым счетным.
  2. Пространство непрерывных вещественных функций на X с супремумной нормой сепарабельно. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$
  3. X метризуемо.

Вложение сепарабельных метрических пространств

• Каждое сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова куба . Это установлено при доказательстве метризационной теоремы Урысона .
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству (несепарабельного) банахова пространства l ^∞ всех ограниченных вещественных последовательностей с нормой супремума ; это известно как вложение Фреше. (Хейнонен, 2003 г.)
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству C([0,1]), сепарабельного банахова пространства непрерывных функций [0,1] →  R , с нормой супремума . Это заслуга Стефана Банаха . (Хейнонен, 2003 г.)
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству универсального пространства Урысона .

Для неразделимых пространств :

• Метрическое пространство плотности , равной бесконечному кардиналу α , изометрично подпространству C([0,1] ^α , R ) , пространству действительных непрерывных функций на произведении α копий единичного интервала. (Кляйбер и Первин, 1969)

Рекомендации

1. Дональд Л. Кон (2013). Теория меры. Springer Science+Business Media ., Предложение 3.4.5.
2. Джамоня, Мирна; Кунен, Кеннет (1995). «Свойства класса сепарабельных по мере компактов» (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Бибкод : 1994math......8201D. Если - борелевская мера на , алгебра меры - булева алгебра всех борелевских множеств по модулю -нулевых множеств. Если конечно, то такая алгебра с мерой также является метрическим пространством, причем расстояние между двумя множествами является мерой их симметричной разности. Тогда мы говорим, что оно сепарабельно тогда и только тогда , когда это метрическое пространство сепарабельно как топологическое пространство. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

• Хейнонен, Юха (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств (PDF) , получено 6 февраля 2009 г.

• Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, МР  0370454
• Кляйбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969), «Обобщенная теорема Банаха-Мазура», Bull. Австрал. Математика. Соц. , 1 (2): 169–173, doi : 10.1017/S0004972700041411
• Серпинский, Вацлав (1952), Общая топология , Математические изложения, № 7, Торонто, Онтарио: University of Toronto Press, MR  0050870
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-08707-9, МР  0264581