Топология нижнего предела

Топология на действительных числах

В математике топология нижнего предела или топология правого полуоткрытого интервала — это топология , определенная на множестве действительных чисел ; она отличается от стандартной топологии на (порожденной открытыми интервалами ) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порожденная базисом всех полуинтервалов [ a , b ) , где a и b — действительные числа. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Полученное топологическое пространство называется линией Соргенфри в честь Роберта Соргенфри или стрелки и иногда пишется . Подобно множеству Кантора и длинной линии , линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером для многих звучащих в остальном правдоподобных гипотез в общей топологии . Произведение на самого себя также является полезным контрпримером, известным как плоскость Соргенфрея . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$

По полной аналогии можно также определить топологию верхнего предела или топологию левого полуоткрытого интервала .

Характеристики

• Топология нижнего предела тоньше (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология действительных чисел (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал можно записать как (счетное бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
• Для любого вещественного и интервал замкнуто - замкнут (т. е. одновременно открыт и закрыт ). Более того, для всех реальных множеств и также закрыты. Это показывает, что линия Соргенфрея полностью отключена . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$
• Любое компактное подмножество должно быть не более чем счетным множеством . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непустое компактное подмножество . Исправьте , рассмотрите следующую открытую крышку : ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

Так как оно компактно, то это покрытие имеет конечное подпокрытие и, следовательно, существует такое действительное число, что интервал не содержит ни одной точки, кроме . Это верно для всех . Теперь выберите рациональное число . Поскольку интервалы , параметризованные , попарно не пересекаются, функция инъективна и, следовательно, не более чем счетна. Можно заметить, что подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено снизу и хорошо упорядочено, если ему присвоен порядок « » (что, в частности, подразумевает, что оно ограничено сверху). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle >}$

• Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) в сходится к пределу тогда и только тогда, когда она «приближается справа», то есть для каждого существует такой индекс, что . Таким образом, линию Соргенфрея можно использовать для изучения правосторонних пределов : если есть функция , то обычный правосторонний предел at (когда кодомен несет стандартную топологию) такой же, как обычный предел at, когда область определения оснащен топологией нижнего предела, а кодомен несет стандартную топологию. ${\displaystyle (x_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• С точки зрения аксиом разделения , это совершенно нормальное Хаусдорфово пространство . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• С точки зрения аксиом счетности , является первичным и разделимым , но не вторично счетным . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• С точки зрения свойств компактности линделефово и паракомпактно , но не σ-компактно и не локально компактно . ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$не метризуемо , так как сепарабельные метрические пространства счетны по секундам. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрикой .
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$является пространством Бэра . ^[1]
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$не имеет связных компактификаций. ^[2]

Смотрите также

• Список топологий

Рекомендации

1. «общая топология - линия Соргенфрея является пространством Бэра» . Математический обмен стеками .
2. Адам Эмерик, Владислав Кульпа. Линия Зоргенфрея не имеет связной компактификации. Комм. Математика. унив. Каролина 18 (1977), 483–487.

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446