Подключенное пространство

Топологическое пространство, которое связно

Связные и несвязные подпространства R² .

В топологии и смежных разделах математики связное пространство — топологическое пространство , которое нельзя представить как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств . Связность — одно из основных топологических свойств , которые используются для различения топологических пространств.

Подмножеством топологического пространства является ${\displaystyle X}$связное множество, если оно является связным пространством, если рассматривать егокакподпространство. ${\displaystyle X}$

Некоторые связанные, но более сильные условия — это связность путей, односвязность и -связность . Другое родственное понятие — локальная связность , которое не подразумевает и не следует из связности. ${\displaystyle n}$

Формальное определение

Говорят, что топологическое пространство ${\displaystyle X}$несвязным , если оно представляет собой объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случаеговорят, что оносвязано. Подмножествотопологического пространства называется связным, если оно связно относительно топологии своего подпространства. Некоторые авторы исключаютпустое множество(с его уникальной топологией) как связное пространство, но данная статья не следует этой практике. ${\displaystyle X}$

Для топологического пространства следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$связно, то есть не может быть разделено на два непересекающихся непустых открытых множества.
2. Единственными подмножествами, которые одновременно являются открытыми и закрытыми ( закрытыми множествами ), являются пустое множество. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Единственными подмножествами с пустой границей являются пустое множество. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X}$не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств (множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого).
5. Все непрерывные функции от до постоянны, где – двухточечное пространство, наделенное дискретной топологией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у Н. Дж. Леннеса, Фриджеса Рисса и Феликса Хаусдорфа в начале 20-го века. Подробности см. в ^{[1] .} ${\displaystyle X}$

Подключенные компоненты

В некоторой точке топологического пространства объединение любого набора связных подмножеств, каждое из которых снова будет связным подмножеством. Компонент связности точки в — это объединение всех связных подмножеств, содержащих ее. Это единственное наибольшее (относительно ) связное подмножество, содержащее. Максимальные связные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства называются связные компоненты пространства. Компоненты любого топологического пространства образуют разбиение :  они не пересекаются , непусты, а их объединение составляет все пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их число конечно, каждая компонента также является открытым подмножеством. Однако если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел представляют собой одноточечные множества ( одиночки ), которые не являются открытыми. Доказательство: любые два различных рациональных числа состоят из разных компонент. Возьмите иррациональное число , а затем установите и Тогда происходит разделение и . Таким образом, каждая компонента представляет собой одноточечное множество. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$ ${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$ ${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle q_{1}\in A,q_{2}\in B}$

Позвольте быть компонентой связности в топологическом пространстве и быть пересечением всех открыто-замкнутых множеств, содержащих (называемых квазикомпонентами ) Тогда , где равенство выполняется, если компактно по Хаусдорфу или локально связно.^[2] ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$ ${\displaystyle X}$

Отключенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называетсяполностью отключен . В связи с этим свойством пространствоназывается ${\displaystyle X}$полностью разделены , если для любых двух различных элементовиизсуществуют непересекающиесяоткрытые множества,содержащиеисодержащиетакие, которыеявляются объединениеми. Ясно, что любое полностью отделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисели идентифицируйте их в каждой точке, кроме нуля. Полученное пространство сфактортопологиейполностью несвязно. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью разделено. Фактически, это даже неХаусдорф, а условие полной обособленности строго сильнее, чем условие бытия Хаусдорфом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Примеры

• Замкнутый интервал в стандартной топологии подпространства связен; хотя его можно, например, записать как объединение и второе множество не открыто в выбранной топологии ${\displaystyle [0,2)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [1,2),}$ ${\displaystyle [0,2).}$
• Союз и разъединен; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве. ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$отключен.
• Выпуклое подмножество связно ; на самом деле это просто связано . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Евклидова плоскость , исключая начало координат, связна, но не просто связна. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связно и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связно. ${\displaystyle (0,0),}$
• Евклидова плоскость с удаленной прямой не является связной, так как состоит из двух полуплоскостей.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, пространство действительных чисел с обычной топологией, связно.
• Линия Зоргенфри отключена. ^[3]
• Если из , удалена хотя бы одна точка , остальная часть отключится. Однако если из , где остаток связен , удалить хотя бы счетную бесконечность точек . Если , то после удаления счетного числа точек остается односвязным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Любое топологическое векторное пространство , например любое гильбертово или банахово пространство , над связным полем (таким как или ), является односвязным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Каждое дискретное топологическое пространство, содержащее хотя бы два элемента, несвязно, более того, такое пространство полностью несвязно . Простейшим примером является дискретное двухточечное пространство . ^[4]
• С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретного нормирования состоит из двух точек и связен. Это пример пространства Серпинского .
• Множество Кантора полностью несвязно; поскольку множество содержит несчетное количество точек, оно имеет несчетное количество компонент.
• Если пространство гомотопически эквивалентно связному пространству, то оно само связно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Синусоидальная кривая тополога является примером множества, которое связано, но не связано ни по пути, ни локально.
• Общая линейная группа (т. е. группа по- вещественных обратимых матриц) состоит из двух компонент связности: одной с матрицами положительного определителя, другой — отрицательного определителя. В частности, он не связан. Напротив, связано. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
• Спектры коммутативных локальных колец и областей целостности связаны. В более общем смысле следующие эквиваленты ^[5]
  1. Спектр коммутативного кольца связен ${\displaystyle R}$
  2. Каждый конечно порожденный проективный модуль над имеет постоянный ранг. ${\displaystyle R}$
  3. ${\displaystyle R}$не имеет идемпотента (т.е. не является произведением двух колец нетривиальным образом). ${\displaystyle \neq 0,1}$ ${\displaystyle R}$

Примером несвязного пространства является плоскость, из которой удалена бесконечная линия. Другие примеры несвязных пространств (то есть пространств, которые не связаны) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этого параграфа имеют топологию подпространства, индуцированную двумерной евклидовой космос.

Связность путей

Это подпространство R² связно по путям, поскольку между любыми двумя точками пространства можно провести путь.

АПространство, связанное путями, — это более сильное понятие связности, требующее структуры пути. Путьот точки к точкевтопологическом пространствеявляется непрерывной функциейотединичного интерваладоси. А ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=x}$ ${\displaystyle f(1)=y}$Компонент пути — этоклассэквивалентностипоотношениюэквивалентности, которое делаетэквивалентным,если существует путь отдо. Пространствоназываетсялинейно-связным(илитраекторно-связнымили-связным), если существует ровно один путь-компонент. Для непустых пространств это эквивалентно утверждению, что существует путь, соединяющий любые две точки в. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$

Каждое пространство, связанное путями, связно. Обратное не всегда верно: примеры связных пространств, которые не связаны путями, включают расширенную длинную линию и синусоидальную кривую тополога . ${\displaystyle L^{*}}$

Подмножества реальной линии связаны тогда и только тогда, когда они связаны путями; эти подмножества являются интервалами и лучами . Кроме того, открытые подмножества или связаны тогда и только тогда, когда они связаны путями. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Соединение дуги

Пространство называется дугосвязным или дугосвязным , если любые две топологически различимые точки можно соединить дугой , которая является вложением . Дуга -компонента — это максимальное дугосвязное подмножество ; или, что то же самое, класс эквивалентности отношения эквивалентности, определяющий, могут ли две точки быть соединены дугой или путем, точки которого топологически неразличимы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Каждое хаусдорфово пространство , линейно связное, также является связным по дугам; в более общем смысле это верно для -Хаусдорфова пространства , которое представляет собой пространство, в котором каждое изображение пути замкнуто . Примером пространства, связного по путям, но не связного по дуге, является линия с двумя началами ; две его копии могут быть соединены путем, но не дугой. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle 0}$

Интуитивное представление о пространствах с линейной связностью нелегко перенести на пространства с дуговой связностью. Пусть – линия с двумя началами . Ниже приведены факты, аналоги которых справедливы для линейно-связных пространств, но не справедливы для дугосвязных пространств: ${\displaystyle X}$

• Непрерывный образ дугосвязного пространства может быть не дугосвязным: например, фактор-отображение дугосвязного пространства в его фактор со счетным числом (не менее 2) топологически различимых точек не может быть дугосвязным из-за слишком малой мощности. .
• Компоненты дуги не могут быть непересекающимися. Например, имеет два перекрывающихся компонента дуги. ${\displaystyle X}$
• Пространство дугосвязного продукта не может быть продуктом пространств дуговой связности. Например, дугосоединен, но нет. ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$
• Дуги-компоненты пространства-произведения не могут быть произведениями дуг-компонентов маргинальных пространств. Например, имеет один компонент дуги, но имеет два компонента дуги. ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$
• Если дугосвязные подмножества имеют непустое пересечение, то их объединение не может быть дугосвязным. Например, дуги-компоненты пересекаются , но их объединение не является дугосвязным. ${\displaystyle X}$

Местная связность

Топологическое пространство называется локально связным в точке, если каждая его окрестность содержит связную открытую окрестность. Оно локально связно, если имеет базу связных множеств. Можно показать, что пространство локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента любого открытого множества открыта. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Аналогично, топологическое пространство называетсялокально связен по путям, если он имеет базу множеств, связанных по путям. Открытое подмножество локально линейно связного пространства связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно. Это обобщает предыдущее утверждение ои, каждый из которых локально связан по путям. В более общем смысле любоетопологическое многообразиелокально линейно связно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Синусоидальная кривая тополога связна, но не локально связна.

Локальное соединение не означает соединение, а локальное соединение по пути не подразумевает соединение по пути. Простым примером локально связного (и локально связного по путям) пространства, которое не является связным (или связным по путям), является объединение двух разделенных интервалов в , например . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$

Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоидальная кривая тополога , определяемая как , с евклидовой топологией, индуцированной включением в . ${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Установить операции

Примеры объединений и пересечений связных множеств

Пересечение связных множеств не обязательно связно.

Объединение связных множеств не обязательно связно, как можно увидеть, рассмотрев . ${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$

Каждый эллипс представляет собой связное множество, но объединение не связно, так как его можно разбить на два непересекающихся открытых множества и . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Это означает, что если объединение разъединено, то коллекцию можно разделить на две подколлекции, так что объединения подколлекций будут непересекающимися и открытыми (см. рисунок). Это означает, что в ряде случаев объединение связных множеств обязательно связно. В частности: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$

1. Если общее пересечение всех множеств не пусто ( ), то, очевидно, их нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями . Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно. ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$
2. Если пересечение каждой пары множеств не пусто ( ), то они снова не могут быть разбиты на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связным. ${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. Если множества можно упорядочить как «связанную цепочку», т. е. проиндексировать целочисленными индексами и , то их объединение снова должно быть связным. ${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. Если множества попарно не пересекаются и фактор-пространство связно, то X должно быть связно. В противном случае, если это разделение X , то это разделение фактор-пространства (поскольку они не пересекаются и открыты в фактор-пространстве). ^[6] ${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$ ${\displaystyle q(U),q(V)}$

Разность множеств связных множеств не обязательно связна. Однако если и их разность несвязна (и, следовательно, может быть записана как объединение двух открытых множеств и ), то объединение с каждой такой компонентой связно (т. е . связно для всех ). ${\displaystyle X\supseteq Y}$ ${\displaystyle X\setminus Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\cup X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Доказательство ^[7]

От противного предположим, что не связно. Поэтому его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например . Поскольку связан, он должен полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем , и, таким образом, содержится в . Теперь мы знаем, что: ${\displaystyle Y\cup X_{1}}$ ${\displaystyle Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$

$${\displaystyle X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)}$$

Два множества в последнем объединении не пересекаются и открыты в , поэтому происходит разделение , противоречащее тому, что связно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Два связных множества, разность которых не связна

Теоремы

• Основная теорема связности : Пусть и — топологические пространства, и пусть — непрерывная функция. Если (путь) подключено, то изображение (путь) связано. Этот результат можно считать обобщением теоремы о промежуточном значении . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$
• Каждое пространство, связанное путями, связно.
• В локально связном пространстве каждое открытое связное множество является линейно связным.
• Каждое локально связное пространство является локально связным.
• Локально линейно связное пространство является линейно связным тогда и только тогда, когда оно связно.
• Замыкание связного подмножества связно. Более того, любое подмножество между связным подмножеством и его замыканием связно.
• Подключенные компоненты всегда закрыты (но, как правило, не открыты).
• Открыты и связные компоненты локально связного пространства.
• Компоненты связности пространства представляют собой непересекающиеся объединения компонент линейной связности (которые, вообще говоря, не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
• Каждое частное связного (соответственно локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связно (соответственно локально связно, линейно связно, локально линейно связно).
• Всякое произведение семейства связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
• Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально связного) пространства является локально связным (соответственно локально связным).
• Каждое многообразие локально линейно связно.
• Пространство, связанное по дуге, соединено по путям, но пространство, связанное по путям, не может быть соединено по дуге.
• Непрерывное изображение дугообразно связного множества является дугообразно связным.

Графики

Графы имеют подмножества, соединенные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет соединяющий их путь ребер. Но не всегда на множестве точек можно найти топологию, индуцирующую одни и те же связные множества. Граф из 5 циклов (и любого -цикла с нечетным числом) является одним из таких примеров. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы — это функции, которые отображают связные множества в связные множества (Muscat & Buhagiar 2006). Топологические пространства и графы являются частными случаями пространств связности; действительно, конечные связные пространства являются в точности конечными графами.

Однако каждый граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки, а ребра как копии единичного интервала (см. топологическую теорию графов#Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графов) тогда и только тогда, когда он связен как топологическое пространство.

Более сильные формы связи

Существуют более сильные формы связности топологических пространств , например:

• Если в топологическом пространстве не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств , оно должно быть связным, и, следовательно, гиперсвязные пространства также являются связными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Поскольку односвязное пространство по определению также должно быть связным по путям, любое односвязное пространство также является связным. Если требование «связности путей» исключено из определения простой связности, односвязное пространство не обязательно должно быть связным.
• Еще более сильные версии связности включают понятие сжимаемого пространства . Каждое сжимаемое пространство связно путями и, следовательно, также связно.

В общем, любое пространство, связанное путями, должно быть связным, но существуют связные пространства, которые не связаны путями. Таким примером является удаленное гребенчатое пространство , а также вышеупомянутая синусоидальная кривая тополога .

Смотрите также

• Математический портал

• Компонент связности (теория графов)  - максимальный подграф, вершины которого могут достигать друг друга.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локус связности
• Область (математический анализ)  - Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Экстремально несвязное пространство  - топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто.
• Локально связное пространство  - Свойство топологических пространств.
• n -связный
• Равномерно связное пространство  - Тип однородного пространства.
• Возможность подключения пикселей

Рекомендации

1. Уайлдер, Р.Л. (1978). «Эволюция топологической концепции «связанного»". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720–726. doi : 10.2307/2321676. JSTOR  2321676.
2. «Общая топология - Компоненты множества рациональных чисел».
3. Стивен Уиллард (1970). Общая топология . Дувр. п. 191. ИСБН 0-486-43479-6.
4. Джордж Ф. Симмонс (1968). Введение в топологию и современный анализ . Книжная компания Макгроу Хилл. п. 144. ИСБН 0-89874-551-9.
5. Чарльз Вейбель , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию
6. Брандсма, Хенно (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат, связанный с факторотображениями и связностью?». Обмен стеками .
7. Марек (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат о связности?». Обмен стеками .

дальнейшее чтение

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание . Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
• Вайсштейн, Эрик В. «Связное множество». Математический мир .
• В.И. Малыхин (2001) [1994], «Связное пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Маскат, Дж; Бухагиар, Д. (2006). «Соединительные пространства» (PDF) . Память Фак. наук. англ. Университет Симанэ, Серия B: Математика. наук . 39 : 1–13. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 17 мая 2010 г..