Топологическое многообразие

Type of topological space

В топологии , разделе математики , топологическое многообразие — это топологическое пространство , локально напоминающее реальное n - мерное евклидово пространство . Топологические многообразия — важный класс топологических пространств, имеющий приложения в математике. Все многообразия по определению являются топологическими многообразиями. Другие типы многообразий образуются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия — это топологические многообразия, наделенные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «основное» топологическое многообразие, полученное простым «забыванием» добавленной структуры. ^[1] Однако не каждое топологическое многообразие может быть наделено определенной дополнительной структурой. Например, многообразие E8 является топологическим многообразием, которое не может быть наделено дифференцируемой структурой.

Формальное определение

Топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует целое неотрицательное число n такое, что каждая точка ^в X имеет окрестность , гомеоморфную вещественному n -пространству Rn . ^[2]

Топологическое многообразие — это локально евклидово хаусдорфово пространство . К топологическим многообразиям обычно предъявляются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные ^[3] или счетные по секундам . ^[2]

В оставшейся части этой статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. Под n-многообразием будем понимать топологическое многообразие такое, что каждая точка имеет окрестность, ^{гомеоморфную} Rn .

Примеры

n -многообразия

• Вещественное координатное пространство R ⁿ представляет собой n -многообразие.
• Любое дискретное пространство является 0-мерным многообразием.
• Окружность — компактное 1 - многообразие.
• Тор и бутылка Клейна — компактные двумерные многообразия (или поверхности ).
• n -мерная сфера Sn является ^{компактным} n -многообразием .
• n -мерный тор T n ⁽ произведение n окружностей) является компактным n -многообразием.

Проективные многообразия

• Проективные пространства над вещественными числами , комплексами или кватернионами являются компактными многообразиями.
  • Вещественное проективное пространство RP ⁿ представляет собой n -мерное многообразие.
  • Комплексное проективное пространство CP ⁿ представляет собой 2 n -мерное многообразие.
  • Кватернионное проективное пространство HP ⁿ представляет собой 4 n -мерное многообразие.
• Многообразия, связанные с проективным пространством, включают грассманианы , многообразия флагов и многообразия Стифеля .

Другие коллекторы

• Дифференцируемые многообразия — класс топологических многообразий, наделенных дифференциальной структурой .
• Пространства линз — это класс дифференцируемых многообразий, которые являются факторами нечетномерных сфер.
• Группы Ли — это класс дифференцируемых многообразий, снабженных совместимой групповой структурой.
• Многообразие E8 — это топологическое многообразие, которому нельзя придать дифференцируемую структуру.

Характеристики

Свойство локальной евклидовости сохраняется при локальных гомеоморфизмах . То есть, если X локально евклидово размерности n и f  : Y → X — локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n . В частности, быть локально евклидовым является топологическим свойством .

Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они локально компактны , локально связны , впервые счетны , локально стягиваемы и локально метризуемы . Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами .

Добавление условия Хаусдорфа может сделать несколько свойств многообразия эквивалентными. В качестве примера можно показать, что для хаусдорфова многообразия понятия σ-компактности и второй счетности совпадают. Действительно, хаусдорфово многообразие является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (вполне) регулярно. ^[4] Предположим, что такое пространство X σ-компактно. Тогда оно линделёфово, а поскольку из Линделефа + регулярность следует паракомпактность, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве посекундная счетность совпадает с линделёфом, поэтому X является посекундно счетным. И наоборот, если X — многообразие со счетом по Хаусдорфу, оно должно быть σ-компактным. ^[5]

Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M представляет собой несвязное объединение связных многообразий. Это просто компоненты связности M , которые являются открытыми множествами , поскольку многообразия локально связны. Будучи локально линейно связным, многообразие является линейно связным тогда и только тогда, когда оно связно. Отсюда следует, что компоненты пути такие же, как и компоненты.

Аксиома Хаусдорфа

Собственность Хаусдорфа не является местной; поэтому, хотя евклидово пространство является хаусдорфовым, локально евклидово пространство не обязательно должно быть хаусдорфовым . Однако верно, что каждое локально евклидово пространство есть T 1 .

Примером нехаусдорфова локально евклидова пространства является прямая с двумя началами . Это пространство создается путем замены начала реальной линии двумя точками, открытая окрестность каждой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не является Хаусдорфом, поскольку два начала не могут быть разделены.

Аксиомы компактности и счетности

Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно . Длинная линия является примером нормального одномерного топологического многообразия Хаусдорфа , которое не является метризуемым и не паракомпактным. Поскольку метризуемость является столь желательным свойством топологического пространства, к определению многообразия обычно добавляют паракомпактность. В любом случае непаракомпактные многообразия обычно считаются патологическими . Пример непаракомпактного многообразия даёт длинная линия . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, это совершенно нормальные пространства Хаусдорфа .

Также обычно требуется, чтобы многообразия были счетными по секундам . Это именно то условие, необходимое для того, чтобы многообразие вложилось в некоторое конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетности по счету, Линделёфа и σ-компактности эквивалентны.

Каждое счетное по секундам многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако обратное почти верно: паракомпактное многообразие вторично счетно тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число компонент связности . В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам. Каждое счетное по секундам многообразие сепарабельно и паракомпактно. Более того, если многообразие сепарабельно и паракомпактно, то оно также счетно по секундам.

Каждое компактное многообразие счетно по секундам и паракомпактно.

Размерность

В силу инвариантности области определения непустое n- многообразие не может быть m -многообразием при n ≠ m . ^[6] Размерность непустого n -многообразия равна n . Быть n -многообразием — это топологическое свойство , означающее, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n -многообразию, также является n -многообразием. ^[7]

Координатные карты

По определению каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . Из инвариантности области следует , что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные «хорошим» открытым множествам в . Действительно, пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• каждая точка M имеет гомеоморфную себе окрестность . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару, называется евклидовым шаром . Евклидовы шары составляют основу топологии локально евклидова пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм называется координатной картой на U (хотя слово диаграмма часто используется для обозначения области или области действия такой карты). Пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Набор евклидовых окрестностей, покрывающих M вместе со своими координатными картами, называется атласом на M . (Эта терминология основана на аналогии с картографией , согласно которой сферический земной шар можно описать с помощью атласа плоских карт или диаграмм). ${\displaystyle \phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Учитывая две диаграммы и с перекрывающимися областями U и V , существует функция перехода ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)}$

Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами . То есть координатные карты согласуются на перекрытие с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на типы разрешенных карт переходов. Например, для дифференцируемых многообразий отображения переходов должны быть гладкими . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Классификация коллекторов

Дискретные пространства (0-многообразие)

0-многообразие — это просто дискретное пространство . Дискретное пространство счетно по секундам тогда и только тогда, когда оно счетно . ^[7]

Кривые (1-многообразие)

Каждое непустое, паракомпактное, связное 1-многообразие гомеоморфно либо R , либо окружности . ^[7]

Поверхности (2 коллектора)

Сфера представляет собой 2-многообразие.

Каждое непустое, компактное, связное 2-многообразие (или поверхность ) гомеоморфно сфере , связной сумме торов или связной сумме проективных плоскостей . ^[8]

Объемы (3-многообразие)

Классификация трехмерных многообразий является результатом гипотезы геометризации Терстона , доказанной Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для определения того, гомеоморфны ли два трехмерных многообразия друг другу. ^[9]

Общее n -многообразие

Полная классификация n -многообразий при n больше трех, как известно, невозможна; она по крайней мере так же сложна, как проблема слов в теории групп , которая, как известно, алгоритмически неразрешима . ^[10]

На самом деле не существует алгоритма определения того, является ли данное многообразие односвязным . Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5. ^{[11] [12]}

Многообразия с границей

Иногда бывает полезна немного более общая концепция. Топологическое многообразие с краем — это хаусдорфово пространство , в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству евклидова полупространства (при фиксированном n ):

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.}$

Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с краем, но не наоборот. ^[7]

Конструкции

Существует несколько методов создания многообразий из других многообразий.

Коллекторы продуктов

Если M — m -многообразие, а N — n- многообразие, декартово произведение M × N является ( m + n )-многообразием, если задана топология произведения . ^[13]

Непересекающийся союз

Дизъюнктное объединение счетного семейства n -многообразий представляет собой n -многообразие (все части должны иметь одинаковую размерность). ^[7]

Связная сумма

Связная сумма двух n -многообразий определяется путем удаления открытого шара из каждого многообразия и факторизации дизъюнктного объединения полученных многообразий с краем, при этом фактор берется с учетом гомеоморфизма между граничными сферами удаленных шаров. . В результате получается еще одно n -многообразие. ^[7]

Подмногообразие

Любое открытое подмножество n- многообразия является n -многообразием с топологией подпространства . ^[13]

Сноски

1. Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Материалы Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 19-27 августа 2010 г. World Scientific. стр. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
2. Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
3. Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии. Американское математическое соц. стр. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
4. Подвики топопространств, Локально компактный Хаусдорф подразумевает полностью регулярный
5. Stack Exchange, Хаусдорф локально компактен, а вторая счетная система сигма-компактна
6. Таммо Том Дик (2008). Алгебраическая топология. Европейское математическое общество. стр. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
7. Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия. Springer Science & Business Media. стр. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
8. Жан Галье; Дайанна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.
9. Геометризация 3-многообразий. Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
10. Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс. Springer Science & Business Media. стр. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
11. Зубр А.В. (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Виро О.Ю., Вершик А.М. (ред.) Топология и геометрия — Семинар Рохлина. Конспекты лекций по математике, том 1346. Springer, Берлин, Гейдельберг.
12. Барден, Д. «Просто связные пятимногообразия». Анналы математики, том. 82, нет. 3, 1965, стр. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
13. Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Американское математическое соц. стр. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Рекомендации

• Голд, Д.Б. (1974). «Топологические свойства многообразий». Американский математический ежемесячник . 81 (6). Математическая ассоциация Америки: 633–636. дои : 10.2307/2319220. JSTOR  2319220.
• Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08191-3.
• Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия. Тексты для аспирантов по математике 202 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98759-2.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с математическими многообразиями, на Викискладе?