Атлас (топология)

Набор диаграмм, описывающих многообразие

В математике , особенно в топологии , атлас — это концепция, используемая для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных карт , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. Если многообразие — это поверхность Земли, то атлас имеет более распространенное значение. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения .

Графики

Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Карта топологического пространства M (также называемая координатной картой , координатным патчем , координатной картой или локальным фреймом ) — это гомеоморфизм открытого подмножества U пространства M в открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

Формальное определение атласа

Атлас топологического пространства — это индексированное семейство карт, на которых имеются покрытия (т. е. ). Если при некотором фиксированном n образ каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то многообразие называется n -мерным . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ${\displaystyle M}$

Слово «атлас» во множественном числе — «атласы» , хотя некоторые авторы используют «атланты» . ^{[1] [2]}

Атлас на -мерном многообразии называется адекватным атласом , если выполняются следующие условия: ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• Изображение каждой диаграммы либо или , где – замкнутое полупространство , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$является локально конечным открытым покрытием , и ${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, где – открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат. ${\displaystyle B_{1}}$

Каждое счетное по секундам многообразие допускает адекватный атлас. ^[3] Более того, если – открытое покрытие многообразия со счетом во второй раз , то существует адекватный атлас на , такой, что является уточнением . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Карты перехода

Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы провести это сравнение, мы рассмотрим состав одного графика с инверсией другого . Эта композиция не будет четко определена, если мы не ограничим обе диаграммы пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на предмет их перекрытия, а именно европейской части России.)

Точнее, предположим, что и — две карты многообразия M, такого, что оно непусто . Карта перехода — это карта, определяемая ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Обратите внимание: поскольку и оба являются гомеоморфизмами, отображение перехода также является гомеоморфизмом. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

Больше структуры

Часто хочется большей структуры многообразия, чем просто топологическая структура. Например, если хочется иметь однозначное представление о дифференцировании функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Учитывая дифференцируемое многообразие, можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем производных по направлению .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае атлас называется . ${\displaystyle C^{k}}$

В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется -атласом . Если карты перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Смотрите также

• Гладкий атлас
• Гладкая рама

Рекомендации

1. Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
2. Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
3. Косински, Антони (2007). Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. ОСЛК  853621933.

• Дьедонне, Жан (1972). «XVI. Дифференциальные многообразия». Трактат об анализе . Чистая и прикладная математика. Том. III. Перевод Яна Г. Макдональда . Академическая пресса . МР  0350769.
• Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Лумис, Линн ; Штернберг, Шломо (2014). «Дифференцируемые многообразия». Расширенное исчисление (пересмотренное издание). Всемирная научная. стр. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. МР  3222280.
• Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Хуземоллер, Д. (1994), Пучки волокон , Springer, Глава 5 «Локальное координатное описание расслоений».

Внешние ссылки

• Атлас Роуленда, Тодда