Риск-нейтральная мера

Вероятностная мера

В математических финансах нейтральная к риску мера ( также называемая равновесной мерой или эквивалентной мартингальной мерой ) представляет собой вероятностную меру, при которой цена каждой акции в точности равна дисконтированному ожиданию цены акции в соответствии с этой мерой. Это широко используется при ценообразовании производных финансовых инструментов из-за фундаментальной теоремы ценообразования активов , которая подразумевает, что на целостном рынке цена производного инструмента представляет собой дисконтированную ожидаемую стоимость будущего выигрыша в соответствии с уникальной нейтральной к риску мерой. ^[1] Такая мера существует тогда и только тогда, когда рынок свободен от арбитража.

Нейтральная к риску мера – это вероятностная мера.

Самый простой способ запомнить, что такое нейтральный к риску показатель, или объяснить его специалисту по вероятностям, который, возможно, мало что знает о финансах, — это осознать, что это:

1. Вероятностная мера преобразованной случайной величины. Обычно это преобразование представляет собой функцию полезности выигрыша. Нейтральной к риску мерой будет мера, соответствующая ожиданию выигрыша с линейной полезностью.
2. Подразумеваемая вероятностная мера, то есть подразумеваемая из текущих наблюдаемых/объявленных/торгуемых цен соответствующих инструментов . Релевантные означают те инструменты, которые причинно связаны с событиями в рассматриваемом вероятностном пространстве (т. е. базовые цены плюс деривативы), и
3. Это подразумеваемая вероятностная мера (решающая своего рода обратную задачу), которая определяется с использованием линейной (нейтральной к риску) полезности в выигрыше, предполагая некоторую известную модель выигрыша. Это означает, что вы пытаетесь найти нейтральный к риску показатель, решив уравнение, в котором текущие цены представляют собой ожидаемую приведенную стоимость будущих выплат при нейтральном к риску показателе. Концепция уникальной нейтральной к риску меры наиболее полезна, когда кто-то представляет себе установление цен на ряд деривативов, которые могли бы стать уникальной нейтральной к риску мерой, поскольку она подразумевает своего рода согласованность в гипотетических неторгуемых ценах и теоретически указывает на арбитраж. возможности на рынках, где видны цены спроса и предложения.

Стоит также отметить, что в большинстве вводных приложений в области финансов рассматриваемые выплаты являются детерминированными, учитывая знание цен в определенный конечный или будущий момент времени. Это не является строго необходимым для использования этих методов.

Мотивация использования риск-нейтральных мер

Цены на активы в решающей степени зависят от их риска , поскольку инвесторы обычно требуют большей прибыли за больший риск. Поэтому сегодняшняя цена требования на рискованную сумму, реализованную завтра, обычно будет отличаться от ее ожидаемой стоимости. Чаще всего инвесторы не склонны к риску , и сегодняшняя цена ниже ожидаемой, что вознаграждает тех, кто несет риск (по крайней мере, на крупных финансовых рынках ; примерами рынков, стремящихся к риску, являются казино и лотереи ).

Следовательно, для оценки активов рассчитанные ожидаемые значения должны быть скорректированы с учетом рисковых предпочтений инвестора (см. также коэффициент Шарпа ). К сожалению, ставки дисконтирования будут различаться в зависимости от инвестора, и индивидуальные предпочтения риска трудно определить количественно.

Оказывается, на полноценном рынке , где нет арбитражных возможностей, есть альтернативный способ выполнить этот расчет: вместо того, чтобы сначала принимать ожидание, а затем корректировать его с учетом предпочтений инвестора в отношении риска, можно раз и навсегда скорректировать вероятности будущих событий. результаты так, чтобы они включали премии за риск всех инвесторов, а затем принимали ожидание в соответствии с этим новым распределением вероятностей, нейтральным к риску показателем . Основное преимущество заключается в том, что как только будут найдены нейтральные к риску вероятности, каждый актив можно будет оценить, просто взяв текущую стоимость его ожидаемого выигрыша. Обратите внимание: если бы мы использовали реальные реальные вероятности, каждая ценная бумага потребовала бы разных корректировок (поскольку они различаются по степени риска).

Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования нейтральной к риску меры. Фактически, согласно фундаментальной теореме ценообразования активов , условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию нейтральной к риску меры. Полнота рынка также важна, поскольку на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным нейтральным к риску показателям. Обычно утверждают, что эффективность рынка предполагает наличие только одной цены (« закон одной цены »); правильный, нейтральный к риску показатель цены, который необходимо выбирать, используя экономические, а не чисто математические аргументы.

Распространенной ошибкой является путать построенное распределение вероятностей с реальной вероятностью. Они будут разными, поскольку в реальном мире инвесторы требуют премии за риск, в то время как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую норму прибыли, безрисковую ставку ( или короткую ставку ) и, таким образом, не включайте никаких подобных премий. Метод нейтрального к риску ценообразования следует рассматривать, как и многие другие полезные вычислительные инструменты — удобные и мощные, даже если они кажутся искусственными.

Определение

Эквивалентная мера мартингала

Пусть это d-мерный рынок, представляющий ценовые процессы рискованных активов, безрисковой облигации и лежащего в ее основе вероятностного пространства. Тогда мера называется эквивалентной (локальной) мартингальной мерой, если ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle Q\approx P}$, т. е . эквивалентно , ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$
2. процессы являются (локальными) мартингалами относительно . ^[2] ${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$

Риск-нейтральная мера

Нейтральные к риску меры позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в формуле. Предположим, что в будущем производный инструмент (например, опцион колл на акцию ) будет выплачиваться в единицах, где — случайная величина в вероятностном пространстве , описывающая рынок. Далее предположим, что коэффициент дисконтирования с этого момента (ноль времени) до момента времени равен . Тогда сегодняшняя справедливая стоимость производного инструмента равна ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DF(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

где любая мартингальная мера , решающая уравнение, является нейтральной к риску мерой. ${\displaystyle Q}$

Изменение меры

Это можно переформулировать в терминах альтернативной меры P как

${\displaystyle H_{0}=\operatorname {E} _{Q}\left(H_{0}\right)=\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{0}\right)={\frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

где – производная Радона–Никодима по и , следовательно, по-прежнему является мартингалом. ^[3] ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Если на финансовом рынке существует только одна нейтральная к риску мера, то для каждого актива на рынке существует уникальная безарбитражная цена. Это фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования . Если таких мер больше, то в интервале цен никакой арбитраж невозможен. Если эквивалентной меры мартингала не существует, существуют арбитражные возможности.

На рынках с транзакционными издержками и без нумерации последовательный процесс ценообразования заменяет эквивалентную меру мартингала. Фактически существует соотношение 1 к 1 между последовательным процессом ценообразования и эквивалентной мерой мартингейла.

Пример 1 – Биномиальная модель цен на акции

Учитывая вероятностное пространство , рассмотрим биномиальную модель с одним периодом, обозначим начальную цену акции как и цену акции в момент времени 1 как которая может случайным образом принимать возможные значения: если акция движется вверх или если акция движется вниз. Наконец, пусть обозначает безрисковую ставку. Эти количества должны удовлетворять , иначе на рынке существует арбитраж , и агент может генерировать богатство из ничего. ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S^{u}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$

Вероятностная мера называется нейтральной к риску, если ее можно записать как . Решая для, мы находим, что нейтральная к риску вероятность движения акций вверх определяется числом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$ ${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^[5]

Учитывая дериватив с выплатой, когда цена акции растет и когда она падает, мы можем оценить дериватив через ${\displaystyle X^{u}}$ ${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

Пример 2. Модель броуновского движения цен на акции.

Предположим, что наша экономика состоит из двух активов, акций и безрисковых облигаций , и что мы используем модель Блэка-Шоулза . В модели эволюцию цены акций можно описать геометрическим броуновским движением :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

где – стандартное броуновское движение относительно физической меры. Если мы определим ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

Теорема Гирсанова утверждает, что существует мера, относительно которой происходит броуновское движение. известна как рыночная цена риска . Используя правила исчисления Ито , можно неформально дифференцировать и переставить приведенное выше выражение, чтобы получить СДУ. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

Поместите это обратно в исходное уравнение:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Пусть будет дисконтированная цена акции , заданная формулой , тогда по лемме Ито мы получим SDE: ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$— это уникальная мера, нейтральная к риску для модели. Процесс дисконтированных выплат по деривативу на акции представляет собой мартингейл при . Обратите внимание , что дрейф SDE — это безрисковая процентная ставка , что подразумевает нейтральность риска. Поскольку и являются -мартингалами, мы можем применить теорему о представлении мартингала , чтобы найти воспроизводящую стратегию – портфель акций и облигаций, который окупается в любое время . ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle t\leq T}$

Происхождение риск-нейтральной меры

Естественно задаться вопросом, как возникает нейтральная к риску мера на рынке, свободном от арбитража. Каким-то образом цены всех активов будут определять вероятностную меру. Одно из объяснений дается использованием безопасности Arrow . Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир только с одним временным горизонтом будущего. Другими словами, существует настоящее (время 0) и будущее (время 1), и в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Ценная бумага Arrow, соответствующая состоянию n , An , — это ценная бумага, _по которой выплачивается 1 доллар в момент 1 в состоянии n и 0 долларов в любом другом состоянии мира.

Какая цена An _сейчас ? Оно должно быть положительным, так как есть вероятность, что вы выиграете 1 доллар; он должен быть меньше 1 доллара, поскольку это максимально возможный выигрыш. _{Таким образом ,} цена каждого An _, которую мы обозначаем An (0) , находится строго между 0 и 1.

На самом деле сумма цен всех ценных бумаг должна быть равна приведенной стоимости в 1 доллар, поскольку владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Arrow, приведет к определенной выплате в размере 1 доллара. Рассмотрим лотерею, в которой один билет выигрывает приз в размере всех вступительных взносов: если приз составляет 1 доллар, вступительный взнос будет равен 1/количество билетов. Для простоты будем считать процентную ставку равной 0, так что текущая стоимость 1 доллара равна 1 доллару.

Таким образом, _An ( 0) удовлетворяют аксиомам распределения вероятностей. Каждый из них неотрицательен, а их сумма равна 1. Это нейтральная к риску мера! Теперь осталось показать, что это работает так, как рекламируется, т. е. принятие ожидаемых значений относительно этой меры вероятности даст правильную цену в момент времени 0.

Предположим, у вас есть ценная бумага C , цена которой в момент 0 равна C(0) . В будущем, в состоянии i , его выигрыш будет C _i . Рассмотрим портфель P , состоящий из суммы C _i каждой ценной бумаги Arrow A _i . В будущем, какое бы состояние i ни наступило, A _i платит 1 доллар, в то время как другие ценные бумаги Arrow платят 0 долларов, поэтому P будет платить C _i . Другими словами, портфель P повторяет выигрыш C независимо от того, что произойдет в будущем. Отсутствие арбитражных возможностей подразумевает, что цена P и C должна быть одинаковой сейчас, поскольку любая разница в цене означает, что мы можем без какого-либо риска (коротко) продать более дорогое, купить более дешевое и забрать разницу себе. В будущем нам нужно будет вернуть коротко проданный актив, но мы можем профинансировать это именно путем продажи нашего купленного актива, оставив нам первоначальную прибыль.

Рассматривая цену каждой ценной бумаги Arrow как вероятность , мы видим, что цена портфеля P(0) представляет собой ожидаемое значение C при нейтральных к риску вероятностях. Если бы процентная ставка R не была равна нулю, нам пришлось бы соответствующим образом дисконтировать ожидаемую стоимость, чтобы получить цену. В частности, портфель, состоящий из каждой ценной бумаги Arrow, теперь имеет текущую стоимость , поэтому нейтральная к риску вероятность состояния i становится умноженной на цену каждой ценной бумаги Arrow A _i или ее форвардную цену . ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$ ${\displaystyle (1+R)}$

Обратите внимание, что ценные бумаги Arrow на самом деле не обязательно должны торговаться на рынке. Именно здесь возникает полнота рынка. На целостном рынке каждая ценная бумага Arrow может быть воспроизведена с использованием портфеля реальных торгуемых активов. Приведенный выше аргумент по-прежнему работает, если рассматривать каждую ценную бумагу Arrow как портфель.

В более реалистичной модели, такой как модель Блэка-Шоулза и ее обобщения, наша ценная бумага Arrow была бы чем-то вроде двойного цифрового опциона , который выплачивает 1 доллар, когда базовый актив находится между нижней и верхней границей, и 0 долларов в противном случае. Цена такого опциона тогда отражает точку зрения рынка на вероятность того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, с поправкой на премию за риск, что полностью аналогично тому, как мы получили вероятности выше для одношагового дискретного мира.

Смотрите также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Анализ условных претензий
• Прямая мера
• Основная теорема безарбитражного ценообразования
• Закон одной цены
• Цены на Мартингейл
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Математические финансы
• Рациональное ценообразование
• Мартингальная мера минимальной энтропии

Примечания

1. Глин А. Холтон (2005). «Фундаментальная теорема ценообразования активов». Riskglossary.com . Проверено 20 октября 2011 г.
2. Бьорк, Томас (2004). Теория арбитража в непрерывном времени . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 136ф. ISBN 978-0-19-927126-9.
3. Ганс Фёлльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 6. ISBN 978-3-11-018346-7.
4. Шрив, Стивен Э. Стохастическое исчисление для финансов I. Биномиальная модель ценообразования активов. стр. 2–3. ISBN 978-0-387-22527-2. ОСЛК  1184505221.
5. Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп, ЧП (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Спрингер. стр. 48–50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Внешние ссылки

• Гизигер, Николя: Объяснение нейтральных к риску вероятностей
• Тэм, Джозеф: Нейтральная к риску оценка: мягкое введение , часть II