Безрисковая облигация

Безрисковая облигация — это теоретическая облигация , которая выплачивает проценты и основную сумму с абсолютной уверенностью. Норма доходности будет равна безрисковой процентной ставке . Это первичная ценная бумага, которая выплачивает 1 единицу независимо от того, какое состояние экономики реализуется в данный момент . Поэтому ее выплата одинакова независимо от того, какое состояние наступает. Таким образом, инвестор не испытывает никакого риска, инвестируя в такой актив. $т+1$

На практике государственные облигации финансово стабильных стран рассматриваются как безрисковые облигации, поскольку правительства могут повышать налоги или даже печатать деньги для погашения своего долга в национальной валюте. ^[1]

Например, казначейские билеты США и казначейские облигации США часто считаются безрисковыми облигациями. ^[2] Несмотря на то, что инвесторы в казначейские ценные бумаги США на самом деле сталкиваются с небольшим кредитным риском , ^[3] этот риск часто считается незначительным. Примером такого кредитного риска является Россия, которая объявила дефолт по своему внутреннему долгу во время российского финансового кризиса 1998 года .

Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза[4]

В финансовой литературе нередко выводят формулу Блэка-Шоулза , вводя непрерывно ребалансируемый безрисковый портфель, содержащий опцион и базовые акции. При отсутствии арбитража доходность такого портфеля должна соответствовать доходности безрисковых облигаций. Это свойство приводит к частному дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза, которому удовлетворяет арбитражная цена опциона. Однако, по-видимому, безрисковый портфель не удовлетворяет формальному определению стратегии самофинансирования, и, таким образом, этот способ вывода формулы Блэка-Шоулза неверен.

Мы предполагаем, что торговля происходит непрерывно во времени, и неограниченное заимствование и предоставление средств в долг возможно по той же постоянной процентной ставке. Более того, рынок является бесконфликтным, что означает отсутствие транзакционных издержек или налогов, а также отсутствие дискриминации в отношении коротких продаж. Другими словами, мы будем иметь дело со случаем совершенного рынка .

Предположим, что краткосрочная процентная ставка постоянна (но не обязательно неотрицательна) в течение торгового интервала . Предполагается, что безрисковая ценная бумага непрерывно растет в стоимости по ставке ; то есть, . Мы принимаем обычное соглашение, что , так что ее цена равна для каждого . При работе с моделью Блэка-Шоулза , мы можем с равным успехом заменить сберегательный счет на безрисковую облигацию . Облигация с нулевым купоном, погашаемая в момент времени, представляет собой ценную бумагу, выплачивающую ее держателю 1 единицу наличных денег в заранее определенную дату в будущем, известную как дата погашения облигации . Пусть обозначает цену в момент времени облигации, погашаемой в момент времени . Легко видеть, что для воспроизведения выплаты 1 в момент времени достаточно инвестировать единицы наличных денег в момент времени на сберегательный счет . Это показывает, что при отсутствии арбитражных возможностей цена облигации удовлетворяет $r$ $[0,T^{*}]$ $r$ $dB_{t}=rB_{t}~dt$ $B_{0}=1$ $B_{t}=e^{rt}$ $t\in [0,T^{*}]$ $Т$ $Т$ $B(t,T)$ $t\in [0,T]$ $Т$ $Т$ $B_{t}/B_{T}$ $т$ $Б$

$B(t,T)=e^{-r(Tt)}~~~,~~~\forall t\in [0,T]~.$

Обратите внимание, что для любого фиксированного значения T цена облигации решает обыкновенное дифференциальное уравнение

$дБ(t,T)=rB(t,T)dt~~~,~~~B(0,T)=e^{-rT}~.$

Здесь мы рассматриваем безрисковую облигацию, то есть ее эмитент не выполнит своего обязательства выплатить держателю облигации номинальную стоимость на дату погашения.

Безрисковая облигация против ценных бумаг Эрроу-Дебре[5]

Безрисковую облигацию можно воспроизвести с помощью портфеля из двух ценных бумаг Arrow-Debreu . Этот портфель точно соответствует выплате безрисковой облигации, поскольку портфель также выплачивает 1 единицу независимо от того, какое состояние происходит. Это связано с тем, что если бы его цена отличалась от цены безрисковой облигации, у нас была бы арбитражная возможность в экономике. Когда присутствует арбитражная возможность, это означает, что безрисковая прибыль может быть получена с помощью некоторой торговой стратегии. В этом конкретном случае, если портфель ценных бумаг Arrow-Debreu отличается по цене от цены безрисковой облигации, то арбитражная стратегия будет заключаться в покупке более дешевой и короткой продаже более дорогой. Поскольку у каждой из них абсолютно одинаковый профиль выплат, эта сделка оставит нам нулевой чистый риск (риск одной отменяет риск другой, поскольку мы купили и продали в равных количествах одинаковый профиль выплат). Однако мы получим прибыль, поскольку покупаем по низкой цене и продаем по высокой цене. Поскольку в экономике не могут существовать условия арбитража, цена безрисковой облигации равна цене портфеля.

Расчет цены[5]

Расчет связан с ценной бумагой Эрроу-Дебре. Назовем цену безрисковой облигации в момент времени . Это относится к тому факту, что облигация погашается в момент времени . Как упоминалось ранее, безрисковую облигацию можно воспроизвести с помощью портфеля из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре, одной акции и одной акции . $т$ $P(t,t+1)$ $т+1$ $т+1$ $А(1)$ $А(2)$

Использование формулы для цены ценных бумаг Эрроу-Дебре $n$

$A(k)=p_{k}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}},~~~~~k=1,\dots ,n$

которая является произведением отношения межвременной предельной нормы замещения (отношение предельных полезностей во времени, его также называют плотностью цен состояния и ядром ценообразования ) и вероятности наступления состояния, в котором ценная бумага Эрроу-Дебре выплачивает 1 единицу. Цена портфеля просто

$P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(1))}{u^{\prime }(C_{t})}}+p_{2}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(2))}{u^{\prime }(C_{t})}}$

$P(t,t+1)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}$

Таким образом, цена безрисковой облигации — это просто ожидаемое значение , взятое относительно меры вероятности , межвременной предельной ставки замещения. Процентная ставка теперь определяется с использованием обратной величины цены облигации. $\mathbb {P} =\{p_{1},p_{2}\}$ $r$

$1+r_{t}={\frac {1}{P(t,t+1)}}$

Следовательно, мы имеем фундаментальное соотношение

${\frac {1}{1+r}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }{\Bigg [}{\frac {u^{\prime }(C_{t+1}(k))}{u^{\prime }(C_{t})}}{\Bigg ]}$

который определяет процентную ставку в любой экономике.

Пример

Предположим, что вероятность наступления состояния 1 составляет 1/4, а вероятность наступления состояния 2 составляет 3/4. Также предположим, что ядро ценообразования равно 0,95 для состояния 1 и 0,92 для состояния 2. ^[5]

Пусть ценовое ядро обозначается как . Тогда у нас есть две ценные бумаги Эрроу-Дебре с параметрами $U_{k}$ $А(1),~А(2)$

$p_{1}=1/4~~,~~U_{1}=0,95~,$

$p_{2}=3/4~~,~~U_{2}=0,92~.$

Затем, используя предыдущие формулы, мы можем рассчитать цену облигации

$P(t,t+1)=A(1)+A(2)=p_{1}U_{1}+p_{2}U_{2}=1/4\cdot 0,95+3/4\cdot 0,92=0,9275~.$

Процентная ставка тогда определяется как

$r={\frac {1}{P(t,t+1)}}-1={\frac {1}{0,9275}}-1=7,82\%~.$

Таким образом, мы видим, что ценообразование облигации и определение процентной ставки осуществляется просто, если известен набор цен Эрроу-Дебре, цен ценных бумаг Эрроу-Дебре.

Смотрите также

Ссылки

^ "Бельгийский KBC отказывается от практики "безрисковых" суверенных облигаций - FT.com". Архивировано из оригинала 10.12.2022.
^ "Безрисковый актив". Investopedia . investopedia.com . Получено 1 марта 2016 г. .
^ Маттиа, Лаура (25 февраля 2014 г.). «Думаете, облигации безрисковые? Подумайте еще раз». abcnews.go.com . ABC . Получено 1 марта 2016 г. .
^ Мусиела, Марек; Рутковски, Марек (21 января 2006 г.). Методы Мартингейла в финансовом моделировании. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540266532.
^ abc Баз, Джамиль; Чако, Джордж (2004-01-12). Финансовые деривативы: ценообразование, приложения и математика. Cambridge University Press. ISBN 9780521815109.