Броуновское движение

Хаотическое движение частиц, взвешенных в жидкости

Двумерное случайное блуждание адатома серебра на поверхности Ag(111) ^[1]

Моделирование броуновского движения крупной частицы, аналогичной пылевой частице, которая сталкивается с большим набором более мелких частиц, аналогичных молекулам газа, которые движутся с разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение — это хаотическое движение частиц, взвешенных в среде ( жидкости или газе ). ^[2]

Эта модель движения обычно состоит из случайных колебаний положения частицы внутри поддомена жидкости, за которыми следует перемещение в другой поддомен. Каждое перемещение сопровождается большим количеством колебаний в новом замкнутом объеме. Эта модель описывает жидкость в тепловом равновесии , определяемом заданной температурой . Внутри такой жидкости не существует предпочтительного направления потока (как в явлениях переноса ). Более конкретно, общие линейные и угловые моменты жидкости остаются нулевыми с течением времени. Кинетические энергии молекулярных броуновских движений вместе с энергиями молекулярных вращений и колебаний суммируются в калорическую составляющую внутренней энергии жидкости ( теорема о равнораспределении ). ^{[ необходима ссылка ]}

Это движение названо в честь ботаника Роберта Брауна , который впервые описал это явление в 1827 году, рассматривая в микроскоп пыльцу растения Clarkia pulchella, погруженную в воду. В 1900 году французский математик Луи Башелье смоделировал стохастический процесс, который теперь называется броуновским движением, в своей докторской диссертации «Теория спекуляции» (Théorie de la spéculation), подготовленной под руководством Анри Пуанкаре . Затем, в 1905 году, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовал статью , в которой он смоделировал движение частиц пыльцы, перемещаемых отдельными молекулами воды , внеся один из своих первых крупных научных вкладов. ^[3]

Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица получает удар с одной стороны больше, чем с другой, что приводит к кажущемуся случайному характеру движения. Это объяснение броуновского движения послужило убедительным доказательством того, что атомы и молекулы существуют, и было дополнительно экспериментально подтверждено Жаном Перреном в 1908 году. Перрен был удостоен Нобелевской премии по физике в 1926 году «за его работу по прерывистой структуре материи». ^[4]

Многочастичные взаимодействия , которые приводят к броуновскому шаблону, не могут быть решены с помощью модели, учитывающей каждую вовлеченную молекулу. Следовательно, для его описания можно использовать только вероятностные модели, применяемые к молекулярным популяциям . ^[5] Ниже представлены две такие модели статистической механики , созданные Эйнштейном и Смолуховским. Другой, чисто вероятностный класс моделей — это класс моделей стохастических процессов . Существуют последовательности как более простых, так и более сложных стохастических процессов, которые сходятся (в пределе ) к броуновскому движению (см. случайное блуждание и теорему Донскера ). ^{[6] [7]}

История

Воспроизведено из книги Жана Батиста Перрена Les Atomes , показаны три трассировки движения коллоидных частиц радиусом 0,53 мкм, как видно под микроскопом. Последовательные положения каждые 30 секунд соединены прямыми отрезками (размер ячейки составляет 3,2 мкм). ^[8]

В научной поэме римского философа-поэта Лукреция « О природе вещей » ( ок.  60 г. до н. э. ) есть замечательное описание движения частиц пыли в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи проникают в здание и освещают его затененные места. Вы увидите множество мельчайших частиц, смешивающихся множеством способов... их танец является фактическим указанием на глубинные движения материи, которые скрыты от нашего зрения... Он берет начало в атомах, которые движутся сами по себе [т. е. спонтанно]. Затем те малые составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приводятся в движение воздействием их невидимых ударов и, в свою очередь, ударяются о немного более крупные тела. Таким образом, движение поднимается от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что те тела, которые мы видим в солнечных лучах, находятся в движении, движимые ударами, которые остаются невидимыми.

Хотя перемешивающееся, кувыркающееся движение частиц пыли в основном вызвано потоками воздуха, сверкающее, покачивающееся движение мелких частиц пыли вызвано в основном истинной броуновской динамикой ; Лукреций «совершенно описывает и объясняет броуновское движение с помощью неправильного примера» ^{[9] .}

Хотя Ян Ингенхауз описал нерегулярное движение частиц угольной пыли на поверхности спирта в 1785 году, открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберту Брауну в 1827 году. Браун изучал пыльцевые зерна растения Clarkia pulchella, взвешенные в воде под микроскопом, когда он заметил, что мельчайшие частицы, выбрасываемые пыльцевыми зернами, совершают рывковые движения. Повторив эксперимент с частицами неорганического вещества, он смог исключить, что движение было связано с жизнью, хотя его происхождение еще предстояло объяснить.

Первым человеком, описавшим математику, лежащую в основе броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов , опубликованной в 1880 году. За ним независимо последовал Луи Башелье в 1900 году в своей докторской диссертации «Теория спекуляции», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. Модель броуновского движения фондового рынка часто цитируется, но Бенуа Мандельброт отверг ее применимость к движениям цен акций отчасти потому, что они являются прерывистыми. ^[10]

Альберт Эйнштейн (в одной из своих статей 1905 года ) и Мариан Смолуховский (1906) представили решение этой проблемы вниманию физиков и представили его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекул. Их уравнения, описывающие броуновское движение, были впоследствии проверены экспериментальной работой Жана Батиста Перрена в 1908 году.

Статистические механические теории

Теория Эйнштейна

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первая часть состоит в формулировке уравнения диффузии для броуновских частиц, в котором коэффициент диффузии связан со средним квадратом смещения броуновской частицы, в то время как вторая часть состоит в связи коэффициента диффузии с измеримыми физическими величинами. ^[11] Таким образом, Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моле, или молекулярный вес в граммах газа. ^[12] В соответствии с законом Авогадро , этот объем одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартной температуре и давлении. Число атомов, содержащихся в этом объеме, называется числом Авогадро , и определение этого числа равносильно знанию массы атома, поскольку последняя получается путем деления молярной массы газа на постоянную Авогадро .

Характерные колоколообразные кривые диффузии броуновских частиц. Распределение начинается как дельта-функция Дирака , указывающая, что все частицы находятся в начале координат в момент времени t = 0. По мере увеличения t распределение сглаживается (хотя и остается колоколообразным) и в конечном итоге становится равномерным в пределе, когда время стремится к бесконечности.

Первая часть аргументации Эйнштейна заключалась в определении того, какое расстояние проходит броуновская частица за заданный промежуток времени. ^[3] Классическая механика не способна определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которым подвергается броуновская частица, примерно порядка 1014 ^{столкновений} в секунду. ^[2]

Он рассматривал приращение положений частиц во времени в одномерном ( x ) пространстве (с координатами, выбранными так, что начало координат находится в начальном положении частицы) как случайную величину ( ) с некоторой функцией плотности вероятности (т. е. является плотностью вероятности для скачка величины , т. е. плотностью вероятности частицы, увеличивающей свое положение от до в интервале времени ). Далее, предполагая сохранение числа частиц, он разложил плотность числа (число частиц в единице объема вокруг ) во времени в ряд Тейлора , где второе равенство по определению . Интеграл в первом члене равен единице по определению вероятности, а второй и другие четные члены (т. е. первый и другие нечетные моменты ) исчезают из-за симметрии пространства. То, что осталось, приводит к следующему соотношению: Где коэффициент после Лапласа , второй момент вероятности смещения , интерпретируется как массовая диффузия D : Тогда плотность броуновских частиц ρ в точке x в момент времени t удовлетворяет уравнению диффузии : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t+\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x-q,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (x-q,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{higher-order even moments.}}}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

Предполагая, что N частиц стартуют из начала координат в начальный момент времени t = 0, уравнение диффузии имеет решение Это выражение (которое является нормальным распределением со средним значением и дисперсией, обычно называемой броуновским движением ) позволило Эйнштейну напрямую вычислить моменты . Видно, что первый момент исчезает, что означает, что броуновская частица с одинаковой вероятностью может двигаться как влево, так и вправо. Второй момент, однако, не исчезает, будучи заданным как Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через прошедшее время и коэффициент диффузии. Из этого выражения Эйнштейн утверждал, что смещение броуновской частицы не пропорционально прошедшему времени, а скорее ее квадратному корню. ^[11] Его аргумент основан на концептуальном переходе от «ансамбля» броуновских частиц к «отдельной» броуновской частице: мы можем говорить об относительном числе частиц в один момент времени так же, как и о времени, которое требуется броуновской частице, чтобы достичь заданной точки. ^[13] $${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.}$$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$ ${\displaystyle B_{t}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$$

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как среднеквадратичное смещение частицы за заданный промежуток времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекул. Эйнштейн проанализировал динамическое равновесие, устанавливающееся между противодействующими силами. Красота его аргумента в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы участвуют в установлении динамического равновесия.

В своей первоначальной трактовке Эйнштейн рассматривал эксперимент по осмотическому давлению , но к такому же выводу можно прийти и другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация стремится заставить частицы осесть, тогда как диффузия действует на их гомогенизацию, перемещая их в области с меньшей концентрацией. Под действием гравитации частица приобретает нисходящую скорость v = μmg , где m — масса частицы, g — ускорение, вызванное силой тяжести, а μ — подвижность частицы в жидкости. Джордж Стокс показал, что подвижность для сферической частицы с радиусом r равна , где η — динамическая вязкость жидкости. В состоянии динамического равновесия и в соответствии с гипотезой изотермической жидкости частицы распределены в соответствии с барометрическим распределением , где ρ − ρ _o — разность плотностей частиц, разделенных разностью высот, , k _B — постоянная Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной , R , к постоянной Авогадро, N _A ), а T — абсолютная температура . ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$ $${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),}$$ ${\displaystyle h=z-z_{o}}$

Перрен исследовал равновесие (барометрическое распределение) гранул (0,6 мкм ) гуммигута , вязкого вещества, под микроскопом. Гранулы движутся против силы тяжести в области с более низкой концентрацией. Относительное изменение плотности, наблюдаемое в 10 мкм суспензии, эквивалентно тому, что происходит в 6 км воздуха.

Динамическое равновесие устанавливается, потому что чем больше частицы тянутся вниз под действием силы тяжести , тем больше тенденция частиц мигрировать в области с меньшей концентрацией. Поток определяется законом Фика , где J = ρv . Вводя формулу для ρ , находим, что $${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$ $${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.}$$

В состоянии динамического равновесия эта скорость также должна быть равна v = μmg . Оба выражения для v пропорциональны mg , что отражает то, что вывод не зависит от типа рассматриваемых сил. Аналогично можно вывести эквивалентную формулу для идентичных заряженных частиц с зарядом q в однородном электрическом поле величиной E , где mg заменяется электростатической силой qE . Приравнивая эти два выражения, получаем соотношение Эйнштейна для коэффициента диффузии, независимое от mg или qE или других подобных сил: Здесь первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье равенство следует из определения постоянной Больцмана как k _B = R / N _A , а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Измеряя среднеквадратичное смещение за интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной R , температурой T , вязкостью η и радиусом частицы r , можно определить постоянную Авогадро N _{A .} $${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

Тип динамического равновесия, предложенный Эйнштейном, не был новым. Ранее Дж. Дж. Томсон ^[14] в серии своих лекций в Йельском университете в мае 1903 г. указал, что динамическое равновесие между скоростью, создаваемой градиентом концентрации, заданным законом Фика, и скоростью, обусловленной изменением парциального давления, вызванным приведением ионов в движение, «дает нам метод определения постоянной Авогадро, который не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул или способа, которым они действуют друг на друга». ^[14]

Идентичное выражение формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии было также найдено Вальтером Нернстом в 1888 году ^[15], в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению силы трения и скорости, которую оно вызывает. Первое было приравнено к закону Вант-Гоффа , а второе было дано законом Стокса . Он записал для коэффициента диффузии k′ , где - осмотическое давление, а k - отношение силы трения к молекулярной вязкости, которое, как он предполагает, дается формулой Стокса для вязкости. Вводя закон идеального газа на единицу объема для осмотического давления, формула становится идентичной формуле Эйнштейна. ^[16] Использование закона Стокса в случае Нернста, а также Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, поскольку оно не применимо к случаю, когда радиус сферы мал по сравнению со средней длиной свободного пробега . ^[17] ${\displaystyle k'=p_{o}/k}$ ${\displaystyle p_{o}}$

Сначала предсказания формулы Эйнштейна, казалось бы, были опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, и Анри в 1908 году, который нашел смещения в 3 раза больше, чем предсказывала формула Эйнштейна. ^[18] Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены серией экспериментов, проведенных Шодезэгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. Подтверждение теории Эйнштейна представляло собой эмпирический прогресс для кинетической теории тепла . По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели теплового равновесия . Важность теории заключалась в том, что она подтвердила объяснение кинетической теории второго закона термодинамики как по сути статистического закона. ^[19]

Модель броуновского движения траектории частицы красителя в воде.

модель Смолуховского

Теория броуновского движения Смолуховского ^[20] исходит из той же предпосылки, что и у Эйнштейна, и выводит то же распределение вероятностей ρ ( x , t ) для смещения броуновской частицы вдоль x за время t . Поэтому он получает то же самое выражение для среднего квадрата смещения: . Однако, когда он связывает его с частицей массой m, движущейся со скоростью u , которая является результатом силы трения, регулируемой законом Стокса, он находит где μ - коэффициент вязкости, а a - радиус частицы. Связывая кинетическую энергию с тепловой энергией RT / N , выражение для среднего квадрата смещения в 64/27 раз больше, чем найдено Эйнштейном. Дробь 27/64 была прокомментирована Арнольдом Зоммерфельдом в его некрологе о Смолуховском: «Числовой коэффициент Эйнштейна, который отличается от Смолуховского на 27/64, можно только поставить под сомнение». ^[21] ${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

Смолуховский ^[22] пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна смещаться бомбардировками более мелких частиц, когда вероятности удара по ней в прямом и обратном направлениях равны. Если вероятность m приобретений и n − m потерь следует биномиальному распределению с равными априорными вероятностями 1/2, то среднее общее приобретение равно $${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$$

Если n достаточно велико, чтобы можно было использовать приближение Стирлинга в этой форме , то ожидаемый общий прирост будет ^{[ требуется ссылка ],} показывая, что он увеличивается как квадратный корень из общей численности населения. $${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$$

Предположим, что броуновская частица массы M окружена более легкими частицами массы m , которые движутся со скоростью u . Тогда, рассуждает Смолуховский, при любом столкновении окружающей и броуновской частиц скорость, переданная последней, будет равна mu / M. Это отношение имеет порядок10 ⁻⁷  см/с . Но мы также должны принять во внимание, что в газе будет более 10 ¹⁶ столкновений в секунду, и еще больше в жидкости, где мы ожидаем, что будет 10 ²⁰ столкновений в секунду. Некоторые из этих столкновений будут стремиться ускорить броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить ее. Если есть средний избыток одного вида столкновений или другого порядка 10 ⁸ до 10 ¹⁰ столкновений в секунду, то скорость броуновской частицы может быть где-то между10–1000 см/с . Таким образом, даже если существуют равные вероятности для прямых и обратных столкновений, будет существовать чистая тенденция поддерживать движение броуновской частицы, как и предсказывает теорема о баллотировании.

Эти порядки величин не являются точными, поскольку они не учитывают скорость броуновской частицы, U , которая зависит от столкновений, которые стремятся ее ускорить и замедлить. Чем больше U , тем больше будут столкновения, которые ее замедлят, так что скорость броуновской частицы никогда не сможет увеличиваться без предела. Если бы такой процесс произошел, он был бы равносилен вечному движению второго типа. И поскольку применяется равнораспределение энергии, кинетическая энергия броуновской частицы, , будет равна, в среднем, кинетической энергии окружающей частицы жидкости, . ${\displaystyle MU^{2}/2}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель для описания частицы, совершающей броуновское движение. ^[23] Модель предполагает столкновения с M ≫ m , где M — масса пробной частицы, а m — масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновения частиц ограничены одним измерением и что вероятность удара пробной частицы слева и справа одинакова. Также предполагается, что каждое столкновение всегда дает одинаковую величину Δ V . Если N _R — число столкновений справа, а N _L — число столкновений слева, то после N столкновений скорость частицы изменится на Δ V (2 N _R − N ) . Тогда множественность просто задается как: а общее число возможных состояний задается как 2 ^N . Следовательно, вероятность удара частицы справа N _R раз равна: $${\displaystyle {\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$ $${\displaystyle P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$

Вследствие своей простоты одномерная модель Смолуховского может описывать броуновское движение только качественно. Для реалистичной частицы, совершающей броуновское движение в жидкости, многие из предположений неприменимы. Например, предположение о том, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, разваливается, как только частица приходит в движение. Кроме того, в реалистичной ситуации будет распределение различных возможных Δ V s вместо всегда одного.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных

Уравнение диффузии дает приближение временной эволюции функции плотности вероятности , связанной с положением частицы, совершающей броуновское движение в соответствии с физическим определением. Приближение справедливо на коротких временных масштабах.

Временная эволюция положения самой броуновской частицы лучше всего описывается с помощью уравнения Ланжевена , уравнения, которое включает случайное силовое поле, представляющее эффект тепловых флуктуаций растворителя на частицу. В динамике Ланжевена и броуновской динамике уравнение Ланжевена используется для эффективного моделирования динамики молекулярных систем, которые демонстрируют сильную броуновскую составляющую.

Смещение частицы, совершающей броуновское движение, получается путем решения уравнения диффузии при соответствующих граничных условиях и нахождения среднеквадратичного значения решения. Это показывает, что смещение изменяется как квадратный корень времени (не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, давали бессмысленные результаты. Линейная зависимость от времени была неверно принята.

Однако в очень коротких временных масштабах движение частицы определяется ее инерцией, и ее смещение будет линейно зависеть от времени: Δ x = v Δ t . Таким образом, мгновенная скорость броуновского движения может быть измерена как v = Δ x /Δ t , когда Δ t << τ , где τ — время релаксации импульса. В 2010 году была успешно измерена мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, захваченной в воздухе оптическим пинцетом ). ^[24] Данные о скорости подтвердили распределение скоростей Максвелла–Больцмана и теорему о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд внутри галактик

В звездной динамике массивное тело (звезда, черная дыра и т. д.) может испытывать броуновское движение, реагируя на гравитационные силы окружающих звезд. ^[25] Среднеквадратичная скорость V массивного объекта с массой M связана со среднеквадратичной скоростью фоновых звезд соотношением где - масса фоновых звезд. Гравитационная сила массивного объекта заставляет близлежащие звезды двигаться быстрее, чем они бы двигались в противном случае, увеличивая как и V . ^[25] Броуновская скорость Sgr A* , сверхмассивной черной дыры в центре галактики Млечный Путь , предсказывается из этой формулы как менее 1 км с ⁻¹ . ^[26] ${\displaystyle v_{\star }}$ $${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$$ ${\displaystyle m\ll M}$ ${\displaystyle v_{\star }}$

Математика

Анимированный пример случайного блуждания по тору , похожего на броуновское движение . В пределе масштабирования случайное блуждание приближается к винеровскому процессу согласно теореме Донскера .

В математике броуновское движение описывается процессом Винера , непрерывным во времени стохастическим процессом, названным в честь Норберта Винера . Это один из самых известных процессов Леви ( càdlàg стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями ) и часто встречается в чистой и прикладной математике, экономике и физике .

Единичная реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤ t ≤ 2

Процесс Винера W _t характеризуется четырьмя фактами: ^[27]

1. W0 = ₀
2. W _t почти наверняканепрерывен
3. W _t имеет независимые приращения
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$ (для ). ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$обозначает нормальное распределение с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² . Условие того, что оно имеет независимые приращения, означает, что если то и являются независимыми случайными величинами. Кроме того, для некоторой фильтрации , измеримо для всех . ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что винеровский процесс представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией . ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде ряда синусов, коэффициенты которого являются независимыми случайными величинами. Это представление может быть получено с помощью теоремы Косамби–Карунена–Лоэва . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Процесс Винера может быть построен как предел масштабирования случайного блуждания или других дискретных по времени стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Как и случайное блуждание, процесс Винера является рекуррентным в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат бесконечно часто), тогда как он не является рекуррентным в измерениях три и выше. В отличие от случайного блуждания, он масштабно инвариантен .

Временная эволюция положения самой броуновской частицы может быть приблизительно описана уравнением Ланжевена , уравнением, которое включает случайное силовое поле, представляющее эффект тепловых флуктуаций растворителя на броуновскую частицу. На больших временных масштабах математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. На малых временных масштабах в уравнении Ланжевена преобладают инерционные эффекты. Однако математическое броуновское движение освобождено от таких инерционных эффектов. Инерционные эффекты должны быть рассмотрены в уравнении Ланжевена, в противном случае уравнение становится сингулярным. ^{[ необходимо разъяснение ]} так что простое удаление члена инерции из этого уравнения не даст точного описания, а скорее сингулярное поведение, при котором частица вообще не движется. ^{[ необходимо разъяснение ]}

d-мерное гауссовское свободное поле было описано как «d-мерно-временной аналог броуновского движения». ^[28]

Статистика

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием . ^[29]

В общем случае броуновское движение является марковским процессом и описывается стохастическими интегральными уравнениями . ^[30]

Характеристика Леви

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывный стохастический процесс X со значениями R ⁿ был на самом деле n -мерным броуновским движением. Следовательно, условие Леви фактически может быть использовано как альтернативное определение броуновского движения.

Пусть X = ( X ₁ , ..., X _n ) — непрерывный стохастический процесс на вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ), принимающий значения в R ⁿ . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X является броуновским движением относительно P , т.е. закон X относительно P такой же, как закон n -мерного броуновского движения, т.е. мера прямого продвижения X _∗ ( P ) является классической мерой Винера на C ₀ ( [0, ∞) ; R ⁿ ) .
2. оба
   1. X является мартингалом относительно P (и его собственной естественной фильтрации ); и
   2. для всех 1 ≤ i , j ≤ n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t является мартингалом относительно P (и его собственной естественной фильтрации ), где δ _ij обозначает дельту Кронекера .

Спектральный состав

Спектральное содержание стохастического процесса может быть найдено из спектральной плотности мощности , формально определяемой как , где обозначает ожидаемое значение . Спектральная плотность мощности броуновского движения определяется как ^[31] где D - коэффициент диффузии X _t . Для естественных сигналов спектральное содержание может быть найдено из спектральной плотности мощности отдельной реализации с конечным доступным временем, т.е. для индивидуальной реализации траектории броуновского движения ^[32] оно, как обнаружено, имеет ожидаемое значение и дисперсию ^[32] ${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ $${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$ $${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$ ${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$ ${\displaystyle \sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

При достаточно длительном времени реализации ожидаемое значение спектра мощности одной траектории сходится к формально определенной спектральной плотности мощности , но ее коэффициент вариации стремится к . Это означает, что распределение является широким даже в бесконечном пределе времени. ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \gamma =\sigma /\mu }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ ${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

риманово многообразие

Броуновское движение на сфере

Бесконечно малый генератор (и, следовательно, характеристический оператор ) броуновского движения на R ⁿ легко вычисляется как ⁠1/2⁠ Δ , где Δ обозначает оператор Лапласа . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Это наблюдение полезно при определении броуновского движения на m -мерном римановом многообразии ( M , g ) : броуновское движение на M определяется как диффузия на M , характеристический оператор которойв локальных координатах x _i , 1 ≤ i ≤ m , задается как ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$1/2⁠ Δ _LB , где Δ _LB — оператор Лапласа–Бельтрами , заданный в локальных координатах как [ g ij ^] = [ g _ij ] ⁻¹ в смысле обратной квадратной матрицы . $${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$$

Узкий побег

Проблема узкого побега — это повсеместная проблема в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая имеет следующую формулировку: броуновская частица ( ион , молекула или белок ) заключена в ограниченную область (отсек или ячейку) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое она может вырваться. Проблема узкого побега заключается в вычислении среднего времени побега. Это время расходится по мере уменьшения окна, таким образом, делая вычисление сингулярной проблемой возмущения .

Смотрите также

• Броуновский мост : броуновское движение, необходимое для «соединения» определенных значений в определенное время.
• Броуновская ковариация
• Броуновская динамика
• Броуновское движение частиц золя
• Броуновский двигатель
• броуновский шум
• броуновский храповик
• Броуновская поверхность
• броуновское дерево
• броуновская паутина
• Вращательное броуновское движение
• Клинамен
• Сложная система
• Уравнение непрерывности
• Уравнение диффузии
• Геометрическое броуновское движение
• Диффузия Ито : обобщение броуновского движения
• Уравнение Ланжевена
• Закон арксинуса Леви
• Местное время (математика)
• Проблема многих тел
• Эффект Марангони
• Анализ траектории наночастиц
• Проблема узкого выхода
• Осмос
• Случайное блуждание
• Эволюция Шрамма–Лёвнера
• Траектории отдельных частиц
• Отслеживание отдельных частиц
• Статистическая механика
• Стохастические эйлеровы лагранжевы методы  : методы моделирования броуновского движения пространственно-протяженных структур и гидродинамической связи.
• Динамика Стокса
• Поверхностная диффузия : тип ограниченного броуновского движения.
• Тепловое равновесие
• Термодинамическое равновесие
• Триангуляционное зондирование
• Эффект Тиндаля : явление, в котором участвуют частицы; используется для различения разных типов смесей.
• Ультрамикроскоп

Ссылки

1. Мейбург, Ян Филипп; Дисинг, Детлеф (2017). «Обучение росту, созреванию и агломерации наноструктур в компьютерных экспериментах». Журнал химического образования . 94 (9): 1225–1231. Bibcode : 2017JChEd..94.1225M. doi : 10.1021/acs.jchemed.6b01008.
2. Фейнман, Ричард (1964). «Броуновское движение». Фейнмановские лекции по физике, том I. стр. 41.
3. Эйнштейн, Альберт (1905). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen» [О движении малых частиц, взвешенных в неподвижных жидкостях, требуемом молекулярно-кинетической теорией тепла] (PDF) . Аннален дер Физик (на немецком языке). 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е. дои : 10.1002/andp.19053220806 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
4. "Нобелевская премия по физике 1926 года". NobelPrize.org . Получено 29 мая 2019 г. .
5. Цеков, Румен (1995). "Броуновское движение молекул: классическая теория". Ann. Univ. Sofia . 88 : 57. arXiv : 1005.1490 . Bibcode :1995AUSFC..88...57T. поведение броуновской частицы весьма нерегулярно и может быть описано только в рамках статистического подхода.
6. Найт, Фрэнк Б. (1 февраля 1962 г.). «О случайном блуждании и броуновском движении». Труды Американского математического общества . 103 (2): 218–228. doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0139211-2 . ISSN  0002-9947.
7. "Принцип инвариантности Донскера - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 28 июня 2020 г. .
8. Перрен, Жан (1914). Атомы. Лондон: Констебль. С. 115.
9. Табор, Д. (1991). Газы, жидкости и твердые тела: и другие состояния материи (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 120. ISBN 978-0-521-40667-3.
10. Мандельброт, Б.; Хадсон, Р. (2004). (Не)правильное поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, крах и вознаграждение . Базовые книги . ISBN 978-0-465-04355-2.
11. Эйнштейн, Альберт (1956) [1926]. Исследования по теории броуновского движения (PDF) . Dover Publications. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. . Получено 25 декабря 2013 г. .
12. Stachel, J., ed. (1989). "Диссертация Эйнштейна об определении размеров молекул" (PDF) . Собрание трудов Альберта Эйнштейна, том 2 . Princeton University Press. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
13. Лавенда, Бернард Х. (1985). Неравновесная статистическая термодинамика . John Wiley & Sons. стр. 20. ISBN 978-0-471-90670-4.
14. Томсон, Дж. Дж. (1904). Электричество и материя. Издательство Йельского университета. С. 80–83.
15. Нернст, Вальтер (1888). «Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper». Zeitschrift für Physikalische Chemie (на немецком языке). 9 : 613–637.
16. Левёгл, Дж. (2004). «Относительность», Пуанкаре и Эйнштейн, Планк, Гильберт . Харматтан. п. 181.
17. Таунсенд, Дж. Э. С. (1915). Электричество в газах. Clarendon Press. стр. 254.
18. См. П. Кларк 1976, стр. 97.
19. См. P. Clark 1976 для всего этого абзаца.
20. Смолуховский, ММ (1906). «Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gas et sur son rapport avec la theorie de la диффузии» [О среднем пути, пройденном молекулами газа, и его связи с теорией диффузии]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (на французском языке): 202.
21. См. стр. 535 в Зоммерфельде, А. (1917). «Zum Andenken an Marian von Smoluchowski» [Памяти Мариан фон Смолуховский]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 18 (22): 533–539.
22. Смолуховский, ММ (1906). «Essai d'une theorie cinétique du mouvement Brownien et des milieux Troubles» [Тест кинетической теории броуновского движения и мутных сред]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (на французском языке): 577.
23. фон Смолуховский, М. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 326 (14): 756–780. Бибкод : 1906АнП...326..756В. дои : 10.1002/andp.19063261405.
24. Ли, Тонгкан; Хейфиц, Саймон; Медельин, Дэвид; Райзен, Марк (2010). «Измерение мгновенной скорости броуновской частицы» (PDF) . Science . 328 (5986): 1673–1675. Bibcode :2010Sci...328.1673L. CiteSeerX 10.1.1.167.8245 . doi :10.1126/science.1189403. PMID  20488989. S2CID  45828908. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2011 г. 
25. Merritt, David (2013). Динамика и эволюция ядер галактик . Princeton University Press. стр. 575. ISBN 9781400846122. OL  16802359W.
26. Reid, MJ; Brunthaler, A. (2004). «Собственное движение Стрельца A*. II. Масса Стрельца A*». The Astrophysical Journal . 616 (2): 872–884. arXiv : astro-ph/0408107 . Bibcode : 2004ApJ...616..872R. doi : 10.1086/424960. S2CID  16568545.
27. Басс, Ричард Ф. (2011). Стохастические процессы. Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511997044. ISBN 978-1-107-00800-7.
28. Шеффилд, Скотт (9 мая 2007 г.). «Гауссовские свободные поля для математиков». Теория вероятностей и смежные области . 139 (3–4): 521–541. doi :10.1007/s00440-006-0050-1. ISSN  0178-8051.
29. Вайс, ГХ (1994). Аспекты и приложения случайного блуждания . Северная Голландия.
30. Морозов, АН; Скрипкин, АВ (2011). «Броуновское движение сферической частицы в вязкой среде как немарковский случайный процесс». Physics Letters A. 375 ( 46): 4113–4115. Bibcode :2011PhLA..375.4113M. doi :10.1016/j.physleta.2011.10.001.
31. Карчуб, Д.Г.; Нортон, М.П. (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров М.П. Нортона . doi :10.1017/cbo9781139163927. ISBN 9781139163927.
32. Krapf, Diego; Marinari, Enzo; Metzler, Ralf; Oshanin, Gleb; Xu, Xinran; Squarcini, Alessio (2018). "Спектральная плотность мощности одиночной броуновской траектории: чему можно и чему нельзя научиться из нее". New Journal of Physics . 20 (2): 023029. arXiv : 1801.02986 . Bibcode :2018NJPh...20b3029K. doi :10.1088/1367-2630/aaa67c. ISSN  1367-2630. S2CID  485685.

Дальнейшее чтение

• Браун, Роберт (1828). «Краткий отчет о микроскопических наблюдениях, проведенных в июне, июле и августе 1827 года над частицами, содержащимися в пыльце растений; и над общим существованием активных молекул в органических и неорганических телах» (PDF) . Philosophical Magazine . 4 (21): 161–173. doi :10.1080/14786442808674769. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.Также включает последующую защиту Брауном его первоначальных наблюдений, Дополнительные замечания об активных молекулах .
• Шодесиг, М. (1908). «Le mouvement Brownien et la Formulae Einstein» [Брауновское движение и формула Эйнштейна]. Comptes Rendus (на французском языке). 147 : 1044–6.
• Кларк, П. (1976). «Атомизм против термодинамики». В Howson, Colin (ред.). Метод и оценка в физических науках . Cambridge University Press. ISBN 978-0521211109.
• Коэн, Рубен Д. (1986). «Самоподобие в броуновском движении и других эргодических явлениях» (PDF) . Журнал химического образования . 63 (11): 933–934. Bibcode :1986JChEd..63..933C. doi :10.1021/ed063p933. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Дубинс, Лестер Э.; Шварц, Гидеон (15 мая 1965 г.). «О непрерывных мартингалах». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 53 (3): 913–916. Bibcode :1965PNAS...53..913D. doi : 10.1073/pnas.53.5.913 . JSTOR  72837. PMC  301348 . PMID  16591279.
• Эйнштейн, А. (1956). Исследования по теории броуновского движения . Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-60304-9. Получено 6 января 2014 г.
• Анри, В. (1908). «Études cinématographique du mouvement Brownien» [Кинематографические исследования броуновского движения]. Comptes Rendus (на французском языке) (146): 1024–6.
• Лукреций , «О природе вещей» , перевод Уильяма Эллери Леонарда . ( онлайн-версия из проекта «Гутенберг ». См. заголовок «Атомные движения»; этот перевод несколько отличается от цитируемого).
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения (PDF-версия этой вышедшей из печати книги с веб-страницы автора). Это в первую очередь математическая работа, но в первых четырех главах обсуждается история темы в эпоху от Брауна до Эйнштейна.
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). «То, что видел Браун, можете увидеть и вы». American Journal of Physics . 78 (12): 1278–1289. arXiv : 1008.0039 . Bibcode : 2010AmJPh..78.1278P. doi : 10.1119/1.3475685. S2CID  12342287.
• Перрен, Дж. (1909). «Mouvement Brownien et Réalité moléculaire» [Брауновское движение и молекулярная реальность]. Анналы химии и телосложения . 8-я серия. 18 :5–114.
  • См. также книгу Перрена «Les Atomes» (1914).
• фон Смолуховский, М. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Аннален дер Физик . 21 (14): 756–780. Бибкод : 1906АнП...326..756В. дои : 10.1002/andp.19063261405.
• Сведберг, Т. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen .
• Тейл, Теннесси
  • Датская версия: «Om Anvendelse af Mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Complikation af Visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder Giver Fejlene en 'systematisk' Karakter».
  • Французская версия: «Sur la Compensation de quelques erreurs quasi-systematiques par la méthodes de moindre carrés», опубликованная одновременно в Виденске. Сельск. Скр. 5. Рк., натурвид. ой мат. Ад. , 12:381–408, 1880.

Внешние ссылки

• Эйнштейн о броуновском движении
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видеоматериалами.
• «Предсказание Эйнштейна наконец-то подтвердилось столетие спустя»: тест для наблюдения скорости броуновского движения
• Масштабная демонстрация броуновского движения