Звездная динамика

Звездная динамика — раздел астрофизики , который статистически описывает коллективные движения звезд под действием их взаимной гравитации . Существенное отличие от небесной механики состоит в том, что число тел ${\displaystyle N\gg 10.}$

Рогатка пробного тела в потенциале двух тел

N-частицы в квазипериодическом движении в фазовом пространстве (x, mv) существенно статического потенциала

Типичные галактики содержат свыше миллионов макроскопических гравитирующих тел и бесчисленное количество нейтрино и, возможно, других темных микроскопических тел. Кроме того, каждая звезда вносит более или менее равный вклад в общее гравитационное поле, тогда как в небесной механике притяжение массивного тела доминирует над любыми орбитами спутников. ^[1]

Связь с гидродинамикой

Звездная динамика также связана с физикой плазмы. ^[2] Эти две области претерпели значительное развитие в один и тот же период времени в начале 20-го века, и обе заимствуют математический формализм, первоначально разработанный в области механики жидкостей .

В аккреционных дисках и на звездных поверхностях частицы плотной плазмы или газа очень часто сталкиваются, и столкновения приводят к равнораспределению и, возможно, вязкости в магнитном поле. Мы видим разные размеры аккреционных дисков и звездной атмосферы, состоящих из огромного количества микроскопических частиц. ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})}$на звездных поверхностях,
• ${\displaystyle \sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})}$вокруг звезд типа Солнца или звездных черных дыр размером в км,
• ${\displaystyle \sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})}$около миллиона черных дыр солнечной массы (размером около астрономической единицы) в центрах галактик.

В звездной динамике время пересечения системы велико, поэтому удобно отметить, что

${\displaystyle 1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.}$

Длинный временной масштаб означает, что, в отличие от частиц газа в аккреционных дисках, звезды в галактических дисках очень редко сталкиваются в течение своей звездной жизни. Однако галактики время от времени сталкиваются в скоплениях галактик, а звезды иногда встречаются в звездных скоплениях.

Как правило, типичные масштабы (см. верхнюю часть «Логарифмической карты Вселенной» П.К. Будасси) таковы: ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)}$для звездного скопления M13,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})}$для дисковой галактики M31,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })}$для нейтрино в скоплениях Пули, представляющих собой сливающуюся систему из N = 1000 галактик.

Связь с задачей Кеплера и задачей трех тел.

На поверхностном уровне вся звездная динамика может быть сформулирована как задача N тел согласно второму закону Ньютона , где уравнение движения (EOM) для внутренних взаимодействий изолированной звездной системы из N членов может быть записано как:

$${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.}$$

${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

На практике, за исключением высокопроизводительного компьютерного моделирования, таким образом невозможно точно рассчитать будущее большой N-системы. Кроме того, этот EOM дает очень мало интуиции. Исторически методы, используемые в звездной динамике, возникли из областей как классической, так и статистической механики . По сути, фундаментальной проблемой звездной динамики является проблема N тел , где N членов относятся к членам данной звездной системы. Учитывая большое количество объектов в звездной системе, звездная динамика может учитывать как глобальные статистические свойства многих орбит, так и конкретные данные о положениях и скоростях отдельных орбит. ^[1]

Концепция гравитационного потенциального поля

Звездная динамика предполагает определение гравитационного потенциала значительного числа звезд. Звезды можно моделировать как точечные массы, орбиты которых определяются совокупным взаимодействием друг с другом. Обычно эти точечные массы представляют звезды в различных скоплениях или галактиках, таких как скопление галактик или шаровое скопление . Не получая гравитационного потенциала системы путем добавления всех потенциалов точечной массы в системе каждую секунду, специалисты по звездной динамике разрабатывают потенциальные модели, которые могут точно моделировать систему, оставаясь при этом недорогими в вычислительном отношении. ^[3] Гравитационный потенциал системы связан с ускорением и гравитационным полем следующим образом: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},}$$

уравнение Пуассона ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .}$$

Пример уравнения Пуассона и скорости убегания на однородной сфере.

Рассмотрим аналитически гладкий сферический потенциал

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle V_{e}(r)}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}V_{0}}$

Мы можем исправить нормировку , вычислив соответствующую плотность, используя сферическое уравнение Пуассона ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),}$$

$${\displaystyle M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.}$$

Следовательно, потенциальная модель соответствует однородной сфере радиуса и общей массы с ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle {V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.}$$

Ключевые идеи

Хотя и уравнения движения, и уравнение Пуассона могут принимать и несферические формы, в зависимости от системы координат и симметрии физической системы, суть одна и та же: движения звезд в галактике или в шаровом скоплении главным образом определяется средним распределением других, далеких звезд. Нечастые встречи звезд включают такие процессы, как релаксация, сегрегация масс , приливные силы и динамическое трение , которые влияют на траектории членов системы. ^[4]

Релятивистские приближения

Есть три связанных аппроксимации, сделанные в ньютоновском EOM и уравнении Пуассона, приведенном выше.

СР и ГР

Во-первых, в приведенных выше уравнениях не учитываются релятивистские поправки, которые имеют порядок

$${\displaystyle (v/c)^{2}\ll 10^{-4}}$$

${\displaystyle v\sim 3-3000}$

Эддингтонский лимит

Во-вторых, негравитационная сила в звездных системах обычно незначительна. Например, вблизи типичной звезды отношение силы излучения к силе гравитации, действующей на атом или ион водорода,

$${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},}$$

${\displaystyle 30M_{\odot }}$ ${\displaystyle L_{\bullet }/M_{\bullet }}$ ${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}=1}$

Конус потерь

В-третьих, звезду можно проглотить, если она окажется на расстоянии нескольких радиусов Шварцшильда от черной дыры. Этот радиус потерь определяется выражением

$${\displaystyle s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$$

Конус потерь можно визуализировать, рассматривая падающие частицы, стремящиеся к черной дыре в пределах небольшого телесного угла (конуса скорости). Эти частицы с малыми размерами имеют малый угловой момент на единицу массы. ${\displaystyle \theta \ll 1}$

$${\displaystyle J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$$

${\displaystyle s_{\text{Loss}}}$

Эффективный потенциал

$${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),}$$

${\displaystyle {\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$

Не прибегая к строгому рассмотрению ОТО, можно проверить это, вычислив последнюю стабильную круговую орбиту, на которой эффективный потенциал находится в точке перегиба, используя приближенный классический потенциал черной дыры Шварцшильда. ${\displaystyle s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}}$ ${\displaystyle \Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0}$

$${\displaystyle \Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].}$$

Радиус приливного разрушения

Звезда может быть приливно разорвана более тяжелой черной дырой, когда она окажется в пределах так называемого радиуса Хилла черной дыры, внутри которого поверхностная гравитация звезды уступает приливной силе черной дыры, ^[5] т.е.

$${\displaystyle (1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},}$$

Для типичных черных дыр радиуса разрушения ${\displaystyle M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }}$

$${\displaystyle \max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,}$$

Радиус сферы влияния

Частица массы с относительной скоростью V отклонится при входе в (гораздо большее) поперечное сечение черной дыры. Эта так называемая сфера влияния в общих чертах определяется с точностью до Q-подобного коэффициента выдумки : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\ln \Lambda }}}$

$${\displaystyle 1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},}$$

$${\displaystyle s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },}$$

$${\displaystyle V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s} }$$

$${\displaystyle V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s} }$$

Связь между конусом звездных потерь и физикой гравитационной газовой аккреции

Сначала предположим, что тяжелая черная дыра с массой движется через диссипационный газ с (пересчитанной) тепловой звуковой скоростью и плотностью , тогда каждая частица газа с массой m, вероятно, передаст свой относительный импульс ЧД, попадая в поперечное сечение радиуса ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{gas}}}$ ${\displaystyle mV_{\bullet }}$

$${\displaystyle s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

${\displaystyle t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$

$${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},}$$

${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =5/3}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$

Возвращаясь к приливному разрушению звезды и захвату звезды (движущейся) черной дырой, установив , мы могли бы суммировать скорость роста ЧД из газа и звезд с помощью: ${\displaystyle \ln \Lambda =1}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}}$

$${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

Гравитационное динамическое трение

Рассмотрим случай, когда тяжелая черная дыра массы движется относительно фона звезд, находящихся в хаотическом движении в скоплении полной массы со средней плотностью числа ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle (NM_{\odot })}$

$${\displaystyle n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)}$$

${\displaystyle R}$

Интуиция подсказывает, что гравитация заставляет легкие тела ускоряться и набирать импульс и кинетическую энергию (см. эффект рогатки). Учитывая сохранение энергии и импульса, мы можем заключить, что более тяжелое тело будет замедляться на величину, необходимую для компенсации. Поскольку рассматриваемым телом происходит потеря импульса и кинетической энергии, этот эффект называется динамическим трением.

После определенного времени релаксации кинетическая энергия тяжелой черной дыры должна оказаться в равной степени с менее массивными фоновыми объектами. Замедление черной дыры можно описать как

$${\displaystyle -{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},}$$

${\displaystyle t_{\text{fric}}^{\text{star}}}$

Время динамического трения и время пересечения в вириализованной системе

Рассмотрим ЧД со скоростью 1 Маха, которая первоначально движется со скоростью звука , следовательно, ее радиус Бонди удовлетворяет ${\displaystyle {\text{ς}}=V_{0}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$

$${\displaystyle {GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},}$$

${\displaystyle {\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}}$ ${\displaystyle {4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4}$ ${\displaystyle \rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}}$

$${\displaystyle 2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.}$$

${\displaystyle t_{\text{cross}}}$

Предположим, что ЧД останавливается после прохождения длины , и ее импульс передается звездам на ее пути через пересечения, тогда количество звезд, отклоненных поперечным сечением Бонди ЧД за время пересечения «диаметра», равно ${\displaystyle l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over M_{\odot }}}$ ${\displaystyle l_{\text{fric}}/(2R)}$

$${\displaystyle N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .}$$

В более общем смысле уравнение движения ЧД с общей скоростью в потенциале звездного моря можно записать как ${\displaystyle \mathbf {V} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle -{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },}$$

${\displaystyle {\pi ^{2} \over 8}\approx 1}$ ${\displaystyle {\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\geq M_{\odot }}$ ${\displaystyle t_{\text{ς'}}}$

Более строгая формулировка динамического трения.

Полная формула динамического трения Чандрасекара для изменения скорости объекта включает интегрирование по плотности фазового пространства поля материи и далеко не прозрачна.

Это читается как

$${\displaystyle {M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},}$$

$${\displaystyle ~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}}$$

${\displaystyle |V_{\bullet }dt|}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$

Подобно фактору «кулоновского логарифма» во вкладе далеких фоновых частиц, здесь этот фактор также учитывает вероятность обнаружения фоновой частицы, более медленной, чем BH, которая будет способствовать сопротивлению. Чем больше частиц догоняет ЧД, тем больше частиц тянет ЧД и тем больше . Кроме того, чем больше система, тем больше . ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{lag}})}$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{beaten}})}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$

Фон элементарных (газовых или темных) частиц также может вызывать динамическое трение, которое зависит от массовой плотности окружающей среды ; меньшая масса частицы m компенсируется более высокой плотностью n. Чем массивнее объект, тем больше материи будет втянуто в след. ${\displaystyle m~n}$

Суммируя гравитационное сопротивление как столкновительного газа, так и бесстолкновительных звезд, мы имеем

$${\displaystyle M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~}$$

^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$

максвелловском распределениигауссовским разбросом ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\text{ς}}}$ ${\displaystyle mn(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle p=mv}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \leq {\text{ς}}}$

Интересно, что зависимость предполагает, что динамическое трение происходит из-за гравитационного притяжения следа, который вызывается гравитационной фокусировкой массивного тела при его двухчастичных столкновениях с фоновыми объектами. ${\displaystyle G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))}$

Мы видим, что сила также пропорциональна обратному квадрату скорости на верхнем конце, следовательно, относительная скорость потери энергии быстро падает при высоких скоростях. Поэтому динамическое трение не имеет значения для объектов, которые движутся релятивистски, таких как фотоны. Это можно объяснить, осознав, что чем быстрее объект движется через среду, тем меньше времени остается на то, чтобы за ним образовался след. Трение имеет тенденцию быть самым высоким у звукового барьера, где . ${\displaystyle \ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}}$

Гравитационные встречи и релаксация

Звезды в звездной системе будут влиять на траектории друг друга из-за сильных и слабых гравитационных столкновений. Встреча двух звезд считается сильной/слабой, если их взаимная потенциальная энергия при ближайшем прохождении сравнима/незначительна с их начальной кинетической энергией. Сильные столкновения редки, и обычно они считаются важными только в плотных звездных системах, например, пролетающая звезда может быть сбита двойной звездой в ядре шарового скопления. ^[7] Это означает, что две звезды должны находиться на расстоянии друг от друга,

$${\displaystyle s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},}$$

$${\displaystyle 1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},}$$

${\displaystyle N(N-1)/2}$ ${\displaystyle R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R}$ ${\displaystyle Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.}$

Длина свободного пробега

Тогда средний свободный путь сильных столкновений в типично звездной системе будет равен ${\displaystyle (N-1)=4.19nR^{3}\gg 100}$

$${\displaystyle l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,}$$

${\displaystyle 0.123N}$ ${\displaystyle \pi s_{*}^{2}}$ ${\displaystyle R/V}$

Слабые встречи

Слабые столкновения оказывают более глубокое влияние на эволюцию звездной системы на протяжении многих проходов. Эффекты гравитационных столкновений можно изучать с помощью концепции времени релаксации . Простым примером, иллюстрирующим релаксацию, является релаксация двух тел, когда орбита звезды изменяется из-за гравитационного взаимодействия с другой звездой.

Первоначально исследуемая звезда движется по орбите с начальной скоростью , которая перпендикулярна прицельному параметру , расстоянию наибольшего сближения, со звездой поля, гравитационное поле которой будет влиять на исходную орбиту. Используя законы Ньютона, изменение скорости рассматриваемой звезды примерно равно ускорению при прицельном параметре, умноженному на продолжительность ускорения. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$

Время релаксации можно рассматривать как время, необходимое для достижения равенства , или время, необходимое для того, чтобы небольшие отклонения скорости стали равны начальной скорости звезды. Число пересечений «половины диаметра» для релаксации средней звезды в звездной системе объектов составляет примерно ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1}$$

Ответ имеет смысл, поскольку не существует релаксации для одного тела или системы двух тел. Лучшее приближение соотношения временных масштабов равно , следовательно, время релаксации для 3 тел, 4 тел, 5 тел, 7 тел, 10 тел, ..., 42 тел, 72 тел, 140 тел. , 210-кузовные, 550-кузовные - это примерно 16, 8, 6, 4, 3, ..., 3, 4, 6, 8, 16 скрещиваний. Для изолированной двойной системы релаксация отсутствует, а релаксация самая быстрая для системы из 16 тел; для того, чтобы орбиты разлетелись друг о друга, требуется около 2,5 пересечений. Система с гораздо более плавным потенциалом обычно требует слабых столкновений, чтобы создать сильное отклонение, которое значительно изменит орбитальную энергию. ${\displaystyle \left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}}$ ${\displaystyle N\sim 10^{2}-10^{10}}$ ${\displaystyle \sim \ln N'\approx (2-20)}$

Связь между трением и релаксацией

Очевидно, что динамическое трение черной дыры намного быстрее времени релаксации примерно в 1 раз , но эти два параметра очень похожи для скопления черных дыр. ${\displaystyle M_{\odot }/M_{\bullet }}$

$${\displaystyle N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.}$$

Для звездного скопления или скопления галактик, скажем, мы имеем . Следовательно, встречи членов этих звездных или галактических скоплений значительны в течение типичного времени жизни в 10 миллиардов лет. ${\displaystyle N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s} }$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr} }$

С другой стороны, типичная галактика, скажем, со звездами, имеет время пересечения , а время их релаксации намного превышает возраст Вселенной. Это оправдывает моделирование потенциалов галактик с помощью математически гладких функций, игнорируя встречи двух тел на протяжении всей жизни типичных галактик. А внутри такой типичной галактики динамическое трение и аккреция на звездных черных дырах в течение 10 миллиардов лет Хаббла изменяют скорость и массу черной дыры лишь на незначительную долю. ${\displaystyle N=10^{6}-10^{11}}$ ${\displaystyle t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr} }$

$${\displaystyle \Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}}$$

если черная дыра составляет менее 0,1% от общей массы галактики . Особенно когда мы видим, что типичная звезда никогда не сталкивается с ней и, следовательно, остается на своей орбите в гладком галактическом потенциале. ${\displaystyle NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\sim M_{\odot }}$

Динамическое трение или время релаксации определяет бесстолкновительные и столкновительные системы частиц. Динамика на временных масштабах, намного меньших, чем время релаксации, фактически бесстолкновительна, поскольку типичная звезда будет отклоняться от своего первоначального размера орбиты на небольшую долю . Их также идентифицируют как системы, в которых соответствующие звезды взаимодействуют с плавным гравитационным потенциалом, а не с суммой потенциалов точечных масс. Накопленные эффекты релаксации двух тел в галактике могут привести к так называемой сегрегации масс , когда более массивные звезды собираются вблизи центра скоплений, а менее массивные оттесняются к внешним частям скопления. ${\displaystyle t/t_{\text{relax}}\ll 1}$

Краткое изложение уравнения непрерывности для сферической коровы. в столкновительных и бесстолкновительных процессах

Изучив детали довольно сложных взаимодействий частиц в гравитационной системе, всегда полезно уменьшить масштаб и извлечь какую-нибудь общую тему по доступной цене строгости, поэтому продолжайте с более легкой нагрузкой.

Первое важное понятие — «гравитационное балансирующее движение» вблизи возмутителя и для фона в целом.

$${\displaystyle {\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},}$$

опусканияаппроксимациинеоднозначностигеометриятонких различияхскорости звука,подчеркнуть логику, ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \ln {\text{Λ}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }}$ ${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle \langle V\rangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\text{ς}}}$

Во-вторых, мы можем очень кратко резюмировать различные процессы, происходящие на данный момент со столкновительными и бесстолкновительными газом/звездой или темной материей, с помощью уравнения непрерывности в стиле сферической коровы для любой общей величины Q системы:

$${\displaystyle {dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,}$$

средний свободный пробегПоперечное сечениеслинг-шот).аккреции Бондиприливного разрушения ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}}$

$${\displaystyle s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.}$$

Например, в случае, если Q — масса возмутителя , мы можем оценить время динамического трения через скорость аккреции (газ/звезда). ${\displaystyle Q=M_{\bullet }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}}$$

В пределе, возмущающим фактором является всего лишь одна из N фоновых частиц, это время трения отождествляется с (гравитационным) временем релаксации . И снова все кулоновские логарифмы и т. д. подавляются без изменения оценок из этих качественных уравнений. ${\displaystyle M_{\bullet }\rightarrow m}$

Что касается остальной части звездной динамики, мы будем последовательно работать над точными расчетами, в первую очередь с помощью рабочих примеров , пренебрегая гравитационным трением и релаксацией возмущающего объекта, работая в пределе, приближенном к истинному для большинства галактик во временной шкале Хаббла 14 миллиардов лет, даже если это иногда нарушается для некоторых скоплений звезд или скоплений галактик. ^[7] ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Здесь показано краткое одностраничное изложение некоторых основных уравнений звездной динамики и физики аккреционных дисков , где можно попытаться быть более строгим к приведенным выше качественным уравнениям.

Звездная динамика Ключевые понятия и уравнения

Связь со статистической механикой и физикой плазмы.

Статистическая природа звездной динамики возникла в результате применения кинетической теории газов к звездным системам физиками, такими как Джеймс Джинс, в начале 20 века. Уравнения Джинса , которые описывают эволюцию во времени системы звезд в гравитационном поле, аналогичны уравнениям Эйлера для идеальной жидкости и были выведены из бесстолкновительного уравнения Больцмана . Первоначально он был разработан Людвигом Больцманом для описания неравновесного поведения термодинамической системы. Подобно статистической механике, звездная динамика использует функции распределения, которые вероятностным образом инкапсулируют информацию о звездной системе. Функция распределения одной частицы в фазовом пространстве определяется таким образом, что ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN}$$

теорема Лиувилля ${\displaystyle dN/N}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\text{v}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {v} }$

Условные обозначения и обозначения в случае теплового распределения

В большей части литературы по звездной динамике удобно принять соглашение, согласно которому масса частицы равна единице в единицах солнечной массы , следовательно, импульс и скорость частицы идентичны, т. е. ${\displaystyle M_{\odot }}$

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},}$$

$${\displaystyle {dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}}$$

Например, распределение тепловой скорости молекул воздуха (обычно в 15 раз превышающей массу протона на молекулу) в помещении с постоянной температурой будет иметь распределение Максвелла. ${\displaystyle T_{0}\sim \mathrm {300K} }$

$${\displaystyle f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}}$$

$${\displaystyle f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},}$$

где энергия единицы массы

$${\displaystyle E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,}$$

${\displaystyle \Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0}$

и является шириной распределения Максвелла по скорости, одинаковой во всех направлениях и повсюду в комнате, а константа нормализации (предположим, что химический потенциал такой, что распределение Ферми-Дирака сводится к распределению скорости Максвелла) фиксируется постоянным газовым числом плотность на уровне пола, где ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ ${\displaystyle e^{\mu \over kT_{0}}}$ ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ ${\displaystyle n_{0}=n(x,y,0)}$

$${\displaystyle n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})}$$

$${\displaystyle n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.}$$

CBE

В физике плазмы бесстолкновительное уравнение Больцмана называется уравнением Власова и используется для изучения временной эволюции функции распределения плазмы.

Уравнение Больцмана часто записывают в более общем виде с помощью оператора Лиувилля как ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi }$ ${\displaystyle f_{\text{fit}}^{\text{Max}}}$ ${\displaystyle f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}}$

В то время как Джинс применил бесстолкновительное уравнение Больцмана вместе с уравнением Пуассона к системе звезд, взаимодействующих посредством дальнодействующей силы гравитации, Анатолий Власов применил уравнение Больцмана с уравнениями Максвелла к системе частиц, взаимодействующих посредством кулоновской силы . ^[8] Оба подхода отделяются от кинетической теории газов введением дальнодействующих сил для изучения долгосрочной эволюции системы многих частиц. Помимо уравнения Власова, концепция затухания Ландау в плазме была применена к гравитационным системам Дональдом Линден-Беллом для описания эффектов затухания в сферических звездных системах. ^[9]

Приятным свойством f(t,x,v) является то, что из его моментов могут быть образованы многие другие динамические величины , например полная масса, локальная плотность, давление и средняя скорость. Применяя бесстолкновительное уравнение Больцмана , эти моменты затем связываются различными формами уравнений непрерывности, наиболее известными из которых являются уравнения Джинса и теорема Вириала .

Вероятностно-взвешенные моменты и гидростатическое равновесие

Джинс вычислил взвешенную скорость уравнения Больцмана после интегрирования по пространству скоростей.

$${\displaystyle {1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,}$$

${\displaystyle ^{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}}$$

Общая версия уравнения Джинса, включающая моменты скорости (3 x 3), громоздка. Это станет полезным или разрешимым только в том случае, если мы сможем отказаться от некоторых из этих моментов, особенно отбросить недиагональные перекрестные члены для систем с высокой симметрией, а также повсюду исключить чистое вращение или результирующую скорость притока.

Изотропную версию также называют уравнением гидростатического равновесия , в котором градиент давления уравновешивается гравитацией; изотропная версия работает и для осесимметричных дисков, после замены производной dr на вертикальную координату dz. Это означает, что мы могли бы измерить гравитацию (темной материи), наблюдая градиенты дисперсии скоростей и плотности числа звезд.

Приложения и примеры

Звездная динамика в основном используется для изучения распределения масс внутри звездных систем и галактик. Ранние примеры применения звездной динамики к скоплениям включают статью Альберта Эйнштейна 1921 года, в которой теорема вириала применялась к сферическим звездным скоплениям, и статью Фрица Цвикки 1933 года, в которой теорема вириала применялась конкретно к скоплению Комы , которая была одним из первых предвестников этой идеи. темной материи во Вселенной. ^{[10] [11]} Уравнения Джинса использовались для понимания различных данных наблюдений за движением звезд в галактике Млечный Путь. Например, Ян Оорт использовал уравнения Джинса для определения средней плотности материи в окрестностях Солнца, тогда как концепция асимметричного дрейфа возникла в результате изучения уравнений Джинса в цилиндрических координатах. ^[12]

Звездная динамика также дает представление о структуре формирования и эволюции галактик. Динамические модели и наблюдения используются для изучения трехосной структуры эллиптических галактик и позволяют предположить, что известные спиральные галактики образуются в результате слияния галактик. ^[1] Звездные динамические модели также используются для изучения эволюции активных ядер галактик и их черных дыр, а также для оценки массового распределения темной материи в галактиках.

Обратите внимание на несколько заостренный конец равного потенциала в меридиональной плоскости (R,z) этой модели R0=5z0=1.

Единый потенциал толстого диска

Рассмотрим сжатый потенциал в цилиндрических координатах

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle z_{0},R_{0}}$

Сначала мы можем увидеть общую массу системы, потому что ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},}$$

${\displaystyle R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},}$ ${\displaystyle Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.}$

Мы также можем показать, что некоторыми частными случаями этого единого потенциала становятся потенциал тонкого как бритва диска Кузьмина, потенциал точечной массы и потенциал однородного распределения массы иглы: ${\displaystyle M_{0}}$

$${\displaystyle \Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,}$$

$${\displaystyle \Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,}$$

$${\displaystyle \Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].}$$

Проработанный пример векторного поля силы тяжести в толстом диске.

Сначала рассмотрим вертикальную гравитацию на границе:

$${\displaystyle g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},}$$

Обратите внимание, что и потенциал, и вертикальная гравитация непрерывны по границам, следовательно, на границах нет бритвенного диска. Благодаря тому, что на границе, непрерывно. Применим теорему Гаусса, проинтегрировав вертикальную силу по всей верхней и нижней границам диска, получим ${\displaystyle \partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}}$

$${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},}$$

${\displaystyle M_{0}}$

Вертикальная сила тяжести падает с

$${\displaystyle -g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}}$$

${\displaystyle GM_{0}z/R^{3}}$

Плотность толстого диска по уравнению Пуассона

Подставим в цилиндрическое уравнение Пуассона.

$${\displaystyle \rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),}$$

${\displaystyle |z|>z_{0}}$

Обратите внимание на вертикально однородный контур плотности толстого диска в этой модели R0=5z0=1.

Поверхностная плотность и масса толстого диска

Интегрируя по всему толстому диску одинаковой толщины , мы находим поверхностную плотность и общую массу как ${\displaystyle 2z_{0}}$

$${\displaystyle \Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).}$$

Это подтверждает отсутствие сверхтонких дисков на границах. В пределе этот потенциал толстого диска сводится к потенциалу очень тонкого диска Кузмина, для которого мы можем проверить . ${\displaystyle z_{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}}$

Частоты колебаний в толстом диске

Чтобы найти частоты вертикальных и радиальных колебаний, мы выполняем разложение потенциала Тейлора вокруг средней плоскости.

$${\displaystyle \Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}}$$

${\displaystyle V_{\text{cir}}}$

$${\displaystyle (R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],}$$

$${\displaystyle \nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},}$$

$${\displaystyle \kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.}$$

${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle R\ll R_{0}}$

При больших радиусах удовлетворяют три частоты . Например, в случае и колебания образуют резонанс. ${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ ${\displaystyle R_{0}/z_{0}=3}$ ${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:2:1}$

В случае , плотность равна нулю везде, кроме однородной иглы между вдоль оси z. ${\displaystyle R_{0}=0}$ ${\displaystyle |z|\leq z_{0}}$

Если нам далее потребуется , то мы восстановим известное свойство замкнутых эллиптических орбит в точечном массовом потенциале: ${\displaystyle z_{0}=0}$

$${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:1:1.}$$

Проработанный пример нейтрино в галактиках

Например, функция распределения нерелятивистских нейтрино массы m в фазовом пространстве нигде не превысит максимального значения, установленного формулой

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~}$$

${\displaystyle dx^{3}}$

$${\displaystyle dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},}$$

Аппроксимируем распределение максимальное, т.е.

$${\displaystyle f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,}$$

${\displaystyle 0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}}$ ${\displaystyle E_{\min },E_{\max }}$

$${\displaystyle \rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),}$$

$${\displaystyle \rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}}$$

Возьмем простой случай и оценим плотность в центре со скоростью убегания : мы имеем ${\displaystyle \alpha \to 0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle \rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.}$$

Очевидно, что нейтрино в масштабе эВ слишком легки, чтобы компенсировать сверхплотность в 100–10 000 в галактиках со скоростью убегания , в то время как нейтрино в скоплениях с могут превышать космическую фоновую плотность в несколько раз. ${\displaystyle m_{eV}\sim 0.1-1}$ ${\displaystyle V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4}$ ${\displaystyle V\sim \mathrm {2000km/s} }$ ${\displaystyle 100-1000}$

Кстати, замерзшие космические нейтрино в вашей комнате имеют нетепловой случайный импульс , не подчиняются распределению Максвелла и не находятся в тепловом равновесии с молекулами воздуха из-за чрезвычайно низкого поперечного сечения нейтрино-бариона. взаимодействия. ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$

Обзор гармонических движений в однородном сферном потенциале

Рассмотрим построение стационарной модели вышеупомянутой однородной сферы плотности и потенциала. ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \Phi (r)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Сначала кратко о движении «внутри» однородного потенциала сферы. Внутри этой области ядра с постоянной плотностью отдельные звезды совершают резонансные гармонические колебания с угловой частотой ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )}$

Пример теоремы Джинса и CBE о равномерном сферном потенциале

Как правило, для независимой от времени системы теорема Джинса предсказывает, что это неявная функция положения и скорости через функциональную зависимость от «констант движения». ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}$

Для однородной сферы решение уравнения Больцмана, записанного в сферических координатах и ​​его компонентах скорости, имеет вид ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\phi })}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},}$$

${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$ ${\displaystyle {\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}}$

$${\displaystyle Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.}$$

${\displaystyle J_{z}\leq 0,~~Q=0}$

В сферических координатах легко увидеть, что

${\displaystyle J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),}$

${\displaystyle J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,}$

${\displaystyle E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}}$

Подставим потенциал и эти определения орбитальной энергии E и углового момента J и его z-компоненты Jz вдоль каждой звездной орбиты, получим

$${\displaystyle 2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },}$$

${\displaystyle |V_{r}|\leq V_{e}(r)}$ ${\displaystyle |V_{\theta }|,V_{\varphi }}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Чтобы убедиться в том, что сказанное выше является константами движения в нашем сферическом потенциале, заметим ${\displaystyle E,~J_{z}}$

$${\displaystyle dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }}$$

$${\displaystyle dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0}$$

$${\displaystyle dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },}$$

${\displaystyle dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0}$ ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Аналогично, компоненты углового момента x и y сохраняются и для сферического потенциала. Следовательно . ${\displaystyle dJ/dt=0}$

Таким образом, для любого независимого от времени сферического потенциала (включая нашу модель однородной сферы) орбитальная энергия E и угловой момент J, а также его z-компонента Jz вдоль каждой звездной орбиты удовлетворяют условиям

$${\displaystyle dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.}$$

Следовательно, используя правило цепочки, мы имеем

$${\displaystyle {d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,}$$

${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])}$$

Проработанный пример моментов функций распределения в однородном сферическом кластере.

Мы можем найти различные моменты приведенной выше функции распределения, переформатированной с помощью трех функций Хевисайда:

$${\displaystyle f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},}$$

${\displaystyle \Phi (r)}$ ${\displaystyle r\leq r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.}$ ${\displaystyle {V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}}$ ${\displaystyle Q\geq 0\rightarrow q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}}$ ${\displaystyle V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)}$

Фактически, положительность вырезает ( ) левую половину эллипсоида в пространстве скоростей («эллипсоид скоростей»), ${\displaystyle V_{\varphi }\geq 0}$ ${\displaystyle [V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]}$

$${\displaystyle q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,}$$

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Эллипсоид скорости (в данном случае) имеет вращательную симметрию вокруг оси r или оси. Он более сдавлен (в данном случае) от радиального направления и, следовательно, более тангенциально анизотропен, потому что везде , кроме начала координат, где эллипсоид выглядит изотропным. Теперь вычислим моменты фазового пространства. ${\displaystyle V_{r}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)<V_{0}}$

Например, результирующая плотность (момент) равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$

Скорость потока рассчитывается как средневзвешенное значение вектора скорости.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle (r,\theta )}$

Между прочим, глобальное среднее значение углового момента этой сферы плоского вращения равно

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].}$$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

Аналогично, благодаря симметрии , мы имеем , , везде}. ${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0}$

Аналогично, среднеквадратичная скорость в направлении вращения вычисляется с помощью средневзвешенного значения следующим образом: например,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}}$$

Здесь ${\displaystyle \langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.}$

Так же

$${\displaystyle \langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.}$$

Таким образом, тензор давления или тензор дисперсии равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {8 \over 3\pi }=0.8488}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}}$

Большую тангенциальную кинетическую энергию, чем у радиального движения, наблюдаемую в диагональных дисперсиях, часто выражают параметром анизотропии.

$${\displaystyle \beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;}$$

Проработанный пример теоремы вириала

Двойная кинетическая энергия на единицу массы вышеуказанной однородной сферы равна

$${\displaystyle {\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle M\propto r^{3}\propto x^{3}}$

Средний вириал на единицу массы можно вычислить путем усреднения его локального значения , что дает ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}}$$

Проработанный пример уравнения Джинса в однородной сфере.

Уравнение Джинса — это соотношение того, как градиент давления в системе должен уравновешивать градиент потенциала для равновесной галактики. В нашей однородной сфере потенциальный градиент или гравитация равен

$${\displaystyle \nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.}$$

Радиальный градиент давления

$${\displaystyle -{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.}$$

Причина расхождения частично связана с центробежной силой.

$${\displaystyle {{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle r=0.8488r_{0}}$ ${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0}$

Теперь мы можем убедиться в этом

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \langle V_{\varphi }\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle \partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}}$ ${\displaystyle -{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}}$ ${\displaystyle {\partial V_{r} \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0}$

Проработанный пример уравнения Джинса в толстом диске

Рассмотрим еще раз потенциал толстого диска в приведенном выше примере. Если плотность равна плотности газовой жидкости, то давление на границе будет равно нулю . Чтобы найти пик давления, заметим, что ${\displaystyle z=\pm z_{0}}$

$${\displaystyle P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].}$$

Таким образом, температура жидкости на единицу массы, т. е. квадрат одномерной дисперсии скорости, будет равна

$${\displaystyle \sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.}$$

Вдоль оси вращения Z

$${\displaystyle \sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}}$$

$${\displaystyle \sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},}$$

${\displaystyle z=\pm z_{0}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.}$

Резюме проработанных примеров по уравнению Джинса, вириальной и фазовой плотности пространства.

Рассмотрев несколько применений уравнения Пуассона. и плотность фазового пространства и особенно уравнение Джинса, мы можем выделить общую тему, снова используя подход сферической коровы.

Уравнение Джинса связывает гравитацию с градиентом давления. Это обобщение уравнения. Движения одиночных частиц. Хотя уравнение Джинса можно решить в дисковых системах, наиболее удобная версия уравнения Джинса. является сферической анизотропной версией статической системы без трения , отсюда локальная скорость повсюду для каждого из трех направлений . Можно спроецировать фазовое пространство на эти моменты, что легко сделать в сильно сферической системе, допускающей сохранение энергии и углового момента J. Граница системы задает диапазон интегрирования скорости, связанной в системе. ${\displaystyle \langle {v_{j}}\rangle =0}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},}$ ${\displaystyle ~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }}$ ${\displaystyle E=}$

Таким образом, в сферическом уравнении Джинса:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{d\Phi \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}}$ ${\displaystyle {\overline {\text{global average}}}}$

Смотрите также

• Звездный портал

• Звездная классификация
• Уравнение Больцмана
• Динамическое трение
• Уравнения джинсов
• Массовая сегрегация (астрономия)
• Проблема N-тела
• Теорема Вириала
• Звездная кинематика
• Уравнение Пуассона
• Векторное исчисление
• Аккреционный диск
• Релаксация (физика)

дальнейшее чтение

• Динамика и эволюция галактических ядер, Д. Мерритт (2013). Издательство Принстонского университета .
• Галактическая динамика , Дж. Бинни и С. Тремейн (2008). Издательство Принстонского университета.
• Гравитационное моделирование N-тел: инструменты и алгоритмы, С. Орсет (2003). Издательство Кембриджского университета.
• Принципы звездной динамики , С. Чандрасекхар (1960). Дувр.

Рекомендации

1. Мердин, Пол (2001). «Звездная динамика». Энциклопедия астрономии и астрофизики . Издательская группа «Природа». п. 1. ISBN 978-0750304405.
2. https://cds.cern.ch/record/1053485/files/p37.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
3. Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт (2008). Галактическая динамика . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 35, 63, 65, 698. ISBN. 978-0-691-13027-9.
4. де Вита, Руджеро; Тренти, Мишель; Маклауд, Морган (01 июня 2019 г.). «Корреляция между массовой сегрегацией и структурной концентрацией в релаксированных звездных скоплениях». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 485 (4): 5752–5760. arXiv : 1903.07619 . дои : 10.1093/mnras/stz815. ISSN  0035-8711.
5. Бинни, Джеймс. «Галактическая динамика» (PDF) . Издательство Принстонского университета . Проверено 4 января 2022 г.
6. Острайкер, Ева (1999). «Динамическое трение в газообразной среде». Астрофизический журнал . 513 (1): 252. arXiv : astro-ph/9810324 . Бибкод : 1999ApJ...513..252O. дои : 10.1086/306858. S2CID  16138105.
7. Спарк, Линда ; Галлахер, Джон (2007). Галактики во Вселенной . Нью-Йорк: Кембридж. п. 131. ИСБН 978-0521855938.
8. Хенон, М. (21 июня 1982 г.). «Уравнение Власова?». Астрономия и астрофизика . 114 (1): 211–212. Бибкод : 1982A&A...114..211H.
9. Линден-Белл, Дональд (1962). «Устойчивость и вибрации газа звезд». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 124 (4): 279–296. Бибкод : 1962MNRAS.124..279L. дои : 10.1093/mnras/124.4.279.
10. Эйнштейн, Альберт (2002). «Простое применение закона гравитации Ньютона к звездным скоплениям» (PDF) . Собрание сочинений Альберта Эйнштейна . 7 : 230–233 – через Princeton University Press.
11. Цвики, Фриц (2009). «Републикация: Красное смещение внегалактических туманностей». Общая теория относительности и гравитация . 41 (1): 207–224. Бибкод : 2009GReGr..41..207Z. дои : 10.1007/s10714-008-0707-4. S2CID  119979381.
12. Чоудхури, Арнаб Рай (2010). Астрофизика для физиков . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 213–214. ISBN 978-0-521-81553-6.