Длина свободного пробега

Среднее расстояние, пройденное движущейся частицей между столкновениями с другими частицами

В физике средняя длина свободного пробега — это среднее расстояние, на которое движущаяся частица (например , атом , молекула или фотон ) проходит до того, как существенно изменит свое направление или энергию (или, в определенном контексте, другие свойства), обычно как результат одного или нескольких последовательных столкновений с другими частицами.

Теория рассеяния

Плита цели

Представьте себе, что через мишень пролетает пучок частиц, и рассмотрим бесконечно тонкую пластинку мишени (см. рисунок). ^[1] Атомы (или частицы), которые могут остановить частицу пучка, показаны красным. Величина средней длины свободного пробега зависит от характеристик системы. Предполагая, что все частицы мишени покоятся, а движется только частица пучка, это дает выражение для средней длины свободного пробега:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

где ℓ — средняя длина свободного пробега, n — количество частиц-мишеней в единице объема, а σ — эффективная площадь поперечного сечения при столкновении.

Площадь плиты L ² , а ее объем L ²  dx . Типичное число останавливающихся атомов в пластине равно концентрации, умноженной на объем, т. е. n L ²  dx . Вероятность того, что частица пучка будет остановлена ​​в этой пластине, равна чистой площади остановившихся атомов, деленной на общую площадь пластины:

${\displaystyle {\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$

где σ — площадь (или, более формально, « сечение рассеяния ») одного атома.

Падение интенсивности луча равно интенсивности входящего луча, умноженной на вероятность остановки частицы внутри плиты:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение :

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},}$

решение которого известно как закон Бера–Ламберта и имеет вид , где x – расстояние, пройденное лучом через мишень, а I ₀ – интенсивность луча до его попадания в мишень; ℓ называется средней длиной свободного пробега, поскольку она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что вероятность того, что частица поглотится между x и x + dx , определяется выражением ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$

${\displaystyle d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

Таким образом, математическое ожидание (или среднее, или просто среднее) x равно

${\displaystyle \langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

Доля частиц, которые не задерживаются ( ослабляются ) пластиной, называется пропусканием , где x равен толщине пластины. ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$

Кинетическая теория газов

В кинетической теории газов средняя длина свободного пробега частицы, такой как молекула , — это среднее расстояние, которое частица проходит между столкновениями с другими движущимися частицами. Приведенный выше вывод предполагал, что частицы мишени находятся в состоянии покоя; поэтому в действительности формула справедлива для частицы пучка с высокой скоростью относительно скоростей ансамбля одинаковых частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени сравнительно незначительны, отсюда и относительная скорость . ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\rm {rel}}\approx v}$

Если, с другой стороны, частица пучка является частью установившегося равновесия с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

В равновесии и случайны и некоррелированы, поэтому , а относительная скорость равна ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Это означает, что количество столкновений в разы превышает количество со стационарными целями. Таким образом, применяется следующее соотношение: ^[2] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},}$

и используя ( закон идеального газа ) и (эффективную площадь поперечного сечения для сферических частиц диаметром ), можно показать, что длина свободного пробега равна ^[3] ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle \sigma =\pi d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$

где k _B — постоянная Больцмана , — давление газа и — абсолютная температура. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

На практике диаметр молекул газа точно не определен. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется длиной свободного пробега. Обычно молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются на меньших расстояниях, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса . Один из способов справиться с такими «мягкими» молекулами — использовать в качестве диаметра параметр Леннарда-Джонса σ.

Другой способ — предположить, что газ твердых сфер имеет ту же вязкость , что и рассматриваемый газ. Это приводит к средней длине свободного пробега ^[4]

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

где – молекулярная масса, – плотность идеального газа, ц – динамическая вязкость. Это выражение можно представить в следующем удобном виде ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho =mp/(k_{\text{B}}T)}$

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},}$

где – удельная газовая постоянная , равная 287 Дж/(кг*К) для воздуха. ${\displaystyle R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m}$

В следующей таблице приведены некоторые типичные значения для воздуха при различных давлениях при комнатной температуре. Обратите внимание, что разные определения диаметра молекулы, а также разные предположения о величине атмосферного давления (100 против 101,3 кПа) и комнатной температуры (293,17 К против 296,15 К или даже 300 К) могут привести к несколько разным значениям среднего свободного путь.

В других областях

Рентгенография

Средняя длина свободного пробега фотонов в диапазоне энергий от 1 кэВ до 20 МэВ для элементов с Z = от 1 до 100. ^[6] Разрывы обусловлены низкой плотностью газовых элементов. Шесть полос соответствуют окрестностям шести благородных газов . Также показано расположение краев поглощения .

В гамма- радиографии средняя длина свободного пробега карандашного луча моноэнергетических фотонов представляет собой среднее расстояние, которое фотон проходит между столкновениями с атомами материала мишени. Это зависит от материала и энергии фотонов:

${\displaystyle \ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},}$

где μ — коэффициент линейного затухания , μ/ρ — массовый коэффициент затухания , а ρ — плотность материала. Коэффициент массового затухания можно найти или рассчитать для любой комбинации материалов и энергии, используя базы данных Национального института стандартов и технологий (NIST). ^{[7] [8]}

В рентгеновской радиографии расчет средней длины свободного пробега более сложен, поскольку фотоны не моноэнергетичны, а имеют некоторое распределение энергий, называемое спектром . Когда фотоны движутся через материал мишени, они ослабляются с вероятностью, зависящей от их энергии, в результате чего их распределение изменяется в процессе, называемом упрочнением спектра. Из-за ужесточения спектра длина свободного пробега рентгеновского спектра меняется с расстоянием.

Иногда толщину материала измеряют по числу средних свободных пробегов . Материал толщиной в одну среднюю длину свободного пробега будет ослаблять до 37% (1/ e ) фотонов. Эта концепция тесно связана со слоем половинной плотности (HVL): материал толщиной в один HVL будет ослаблять 50% фотонов. Стандартное рентгеновское изображение представляет собой просвечивающее изображение, изображение с отрицательным логарифмом его интенсивностей иногда называют изображением числа средних свободных пробегов .

Электроника

При макроскопическом переносе заряда длина свободного пробега носителя заряда в металле пропорциональна электрической подвижности , величине, непосредственно связанной с электропроводностью , то есть: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},}$

где q — заряд , — среднее свободное время , m ^* — эффективная масса , а v _F — фермиевская скорость носителя заряда. Скорость Ферми можно легко получить из энергии Ферми с помощью нерелятивистского уравнения кинетической энергии. Однако в тонких пленках толщина пленки может быть меньше прогнозируемой длины свободного пробега, что делает поверхностное рассеяние гораздо более заметным и эффективно увеличивает удельное сопротивление . ${\displaystyle \tau }$

Подвижность электронов в среде с размерами, меньшими длины свободного пробега электронов, происходит за счет баллистической проводимости или баллистического транспорта. В таких сценариях электроны меняют свое движение только при столкновениях со стенками проводника.

Оптика

Если взять суспензию несветопоглощающих частиц диаметром d с объемной долей Φ , то длина свободного пробега фотонов составит: ^[9]

${\displaystyle \ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},}$

где Q _s — коэффициент эффективности рассеяния. Q _s можно оценить численно для сферических частиц с использованием теории Ми .

Акустика

В пустой полости средняя длина свободного пробега отдельной частицы, отскакивающей от стенок, равна:

${\displaystyle \ell ={\frac {FV}{S}},}$

где V — объем полости, S — общая площадь внутренней поверхности полости, а F — константа, связанная с формой полости. Для большинства простых форм полостей F составляет примерно 4. ^[10]

Это соотношение используется при выводе уравнения Сабина в акустике с использованием геометрической аппроксимации распространения звука. ^[11]

Ядерная физика и физика элементарных частиц

В физике элементарных частиц понятие длины свободного пробега обычно не используется, его заменяет аналогичное понятие длины затухания . В частности, для фотонов высоких энергий, которые в основном взаимодействуют посредством образования пар электрон-позитрон , длина излучения используется так же, как длина свободного пробега в рентгенографии.

Модели независимых частиц в ядерной физике требуют невозмущенного вращения нуклонов внутри ядра до того, как они начнут взаимодействовать с другими нуклонами. ^[12]

Эффективная длина свободного пробега нуклона в ядерной материи должна быть несколько больше размеров ядра, чтобы можно было использовать модель независимых частиц. Это требование, по-видимому, противоречит предположениям, сделанным в теории... Мы сталкиваемся здесь с одной из фундаментальных проблем физики структуры ядра, которая еще не решена.

-  Джон Маркус Блатт и Виктор Вайскопф , Теоретическая ядерная физика (1952) ^[13]

Смотрите также

• Теория рассеяния
• Баллистическая проводимость
• Вакуум
• Число Кнудсена
• Оптика

Рекомендации

1. Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый термоядерный синтез (1-е изд.). Пленум Пресс. п. 156. ИСБН 0-306-41332-9.
2. С. Чепмен и Т.Г. Коулинг, Математическая теория неоднородных газов, 3-е. издание, издательство Кембриджского университета, 1990, ISBN 0-521-40844-X , стр. 88. 
3. «Средний свободный путь, молекулярные столкновения». HyperPhysics.phy-astr.gsu.edu . Проверено 8 ноября 2011 г.
4. Винченти, В.Г. и Крюгер, CH (1965). Введение в физическую газодинамику . Издательство Кригер. п. 414.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Дженнингс, С. (1988). «Средний свободный путь в воздухе». Журнал аэрозольной науки . 19 (2): 159. Бибкод : 1988JAerS..19..159J. дои : 10.1016/0021-8502(88)90219-4.
6. На основе данных из «NIST: Примечание — базы данных форм-фактора и затухания рентгеновских лучей». Physics.nist.gov. 10 марта 1998 г. Проверено 8 ноября 2011 г.
7. Хаббелл, Дж. Х .; Зельцер, С.М. «Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновских лучей и массовых коэффициентов поглощения энергии». Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 19 сентября 2007 г.
8. Бергер, MJ; Хаббелл, Дж. Х. ; Зельцер, С.М.; Чанг, Дж.; Курси, Дж.С.; Сукумар, Р.; Цукер, Д.С. «XCOM: База данных сечений фотонов». Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 19 сентября 2007 г.
9. Менгуаль, О.; Менье, Г.; Кайре, И.; Пуэх, К.; Снабре, П. (1999). «TURBISCAN MA 2000: измерение многократного светорассеяния для анализа нестабильности концентрированных эмульсий и суспензий». Таланта . 50 (2): 445–56. дои : 10.1016/S0039-9140(99)00129-0. ПМИД  18967735.
10. Янг, Роберт В. (июль 1959 г.). «Уравнение реверберации Сабины и расчеты звуковой мощности». Журнал Акустического общества Америки . 31 (7): 918. Бибкод : 1959ASAJ...31..912Y. дои : 10.1121/1.1907816.
11. Дэвис, Д. и Патронис, Э. «Разработка звуковых систем» (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 стр. 173. 
12. Кук, Норман Д. (2010). «Средний свободный путь нуклонов в ядрах». Модели атомного ядра (2-е изд.). Гейдельберг: Спрингер . п. 324. ИСБН 978-3-642-14736-4.
13. Блатт, Джон М.; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика. дои : 10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

Внешние ссылки

• Калькулятор среднего свободного пути
• Gas Dynamics Toolbox: расчет средней длины свободного пробега для смесей газов с использованием модели VHS.