Уравнения Эйлера применимы к несжимаемым и сжимаемым потокам . Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости состоят из уравнений Коши для сохранения массы и баланса количества движения, а также из условия несжимаемости, согласно которому скорость потока представляет собой соленоидальное поле . Уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости состоят из уравнений сохранения массы, баланса импульса и баланса энергии, а также подходящего определяющего уравнения для удельной плотности энергии жидкости. Исторически Эйлер вывел только уравнения сохранения массы и баланса импульса. Однако в литературе по гидродинамике полный набор уравнений Эйлера для сжимаемости, включая уравнение энергии, часто называется «уравнениями Эйлера для сжимаемости». [2]
Математический характер уравнений Эйлера для несжимаемой и сжимаемой систем весьма различен. Для постоянной плотности жидкости уравнения несжимаемой жидкости можно записать как квазилинейное уравнение переноса для скорости жидкости вместе с эллиптическим уравнением Пуассона для давления. С другой стороны, сжимаемые уравнения Эйлера образуют квазилинейную гиперболическую систему уравнений сохранения .
Уравнения Эйлера могут быть сформулированы в «конвективной форме» (также называемой « лагранжевой формой ») или в «форме сохранения» (также называемой « эйлеровой формой »). Конвективная форма подчеркивает изменения состояния в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Форма сохранения подчеркивает математическую интерпретацию уравнений как уравнений сохранения для контрольного объема, фиксированного в пространстве (что полезно с числовой точки зрения).
История
Уравнения Эйлера впервые появились в опубликованной форме в статье Эйлера «Принципы общего движения жидкостей», опубликованной в «Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin» в 1757 году [3] (хотя ранее Эйлер представил свою работу Берлинской академии в 1752 году). ). [4]
Уравнения Эйлера были одними из первых записанных уравнений в частных производных после волнового уравнения . В оригинальной работе Эйлера система уравнений состояла из уравнений импульса и неразрывности и, таким образом, была недоопределенной, за исключением случая несжимаемого потока. Дополнительное уравнение, получившее название адиабатического условия , было предложено Пьером-Симоном Лапласом в 1816 году.
Во второй половине XIX века было обнаружено, что уравнение, связанное с балансом энергии, должно всегда соблюдаться для сжимаемых течений, а условие адиабаты является следствием основных законов в случае гладких решений. С открытием специальной теории относительности понятия плотности энергии, плотности импульса и напряжения были объединены в понятие тензора энергии-импульса , а энергия и импульс аналогичным образом были объединены в единое понятие вектора энергии-импульса. . [4]
Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью
В конвективной форме (т.е. форме с оператором конвекции , явным в уравнении количества движения ) уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае постоянной плотности во времени и однородной в пространстве имеют вид: [5]
Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью ( конвективная или лагранжева форма )
Таким образом, случай постоянной и однородной плотности является единственным, который не требует уравнения неразрывности в качестве дополнительного уравнения независимо от наличия или отсутствия несжимаемой связи. Фактически, случай несжимаемых уравнений Эйлера с постоянной и однородной плотностью, обсуждаемый здесь, представляет собой игрушечную модель , включающую только два упрощенных уравнения, поэтому он идеален для дидактических целей, даже если и имеет ограниченную физическую значимость.
Таким образом, приведенные выше уравнения представляют соответственно сохранение массы (1 скалярное уравнение) и импульса (1 векторное уравнение, содержащее скалярные компоненты, где – физический размер интересующего пространства). Скорость потока и давление являются так называемыми физическими переменными . [1]
В системе координат, заданной векторами скорости и внешней силы и имеют компоненты и соответственно. Тогда уравнения можно выразить в индексной записи следующим образом:
где индексы и обозначают компоненты N -мерного пространства, а – дельта Кронекера . Также часто используется нотация Эйнштейна (где сумма подразумевается повторяющимися индексами вместо сигма-нотации ).
Характеристики
Хотя Эйлер впервые представил эти уравнения в 1755 году, многие фундаментальные вопросы или концепции о них остаются без ответа.
В трех измерениях пространства в некоторых упрощенных сценариях уравнения Эйлера создают сингулярности. [6]
Гладкие решения свободных (в смысле отсутствия исходного члена: g=0) уравнений удовлетворяют закону сохранения удельной кинетической энергии:
В одномерном случае без исходного члена (как градиента давления, так и внешней силы) уравнение количества движения становится невязким уравнением Бюргерса :
Это модельное уравнение дает много информации об уравнениях Эйлера.
Безразмерность
Чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину и характеристическую скорость . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные:
Подстановка этих обратных соотношений в уравнения Эйлера, определяющие число Фруда , дает (опуская * в вершине):
Уравнения Эйлера несжимаемой жидкости с постоянной и однородной плотностью ( безразмерная форма )
Уравнения Эйлера в пределе Фруда (отсутствие внешнего поля) называются свободными уравнениями и являются консервативными. Таким образом, предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .
Форма сохранения
Форма сохранения подчеркивает математические свойства уравнений Эйлера, и особенно сжатая форма часто является наиболее удобной для вычислительного моделирования гидродинамики . С вычислительной точки зрения использование сохраняющихся переменных дает некоторые преимущества. Это порождает большой класс численных методов, называемых консервативными методами. [1]
Свободные уравнения Эйлера консервативны в том смысле, что они эквивалентны уравнению сохранения:
где I — единичная матрица размерности N , а δij — ее общий элемент, дельта Кронекера.
Благодаря этим векторным тождествам несжимаемые уравнения Эйлера с постоянной и однородной плотностью и без внешнего поля могут быть приведены к так называемой сохраняющейся (или эйлеровой) дифференциальной форме с векторными обозначениями:
или с обозначением Эйнштейна:
Тогда несжимаемые уравнения Эйлера с однородной плотностью имеют переменные сохранения:
Обратите внимание, что во втором компоненте u сам по себе является вектором длины N, поэтому y имеет длину N+1, а F имеет размер N(N+1). Например, в 3D y имеет длину 4, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 4×3, поэтому явные формы таковы:
Наконец, уравнения Эйлера можно преобразовать в конкретное уравнение:
Несжимаемое уравнение Эйлера с постоянной и однородной плотностью ( сохранение или эйлерова форма )
Пространственные размеры
Для некоторых задач, особенно при анализе течения сжимаемой жидкости в воздуховоде или в случае, если поток цилиндрически или сферически симметричен, одномерные уравнения Эйлера являются полезным первым приближением. Обычно уравнения Эйлера решаются методом характеристик Римана . Это включает в себя поиск кривых на плоскости независимых переменных (т. е. и ), вдоль которых уравнения в частных производных (ЧДУ) вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Численные решения уравнений Эйлера во многом опираются на метод характеристик.
Несжимаемые уравнения Эйлера
В конвективной форме уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае переменной плотности в пространстве имеют вид: [5]
Несжимаемые уравнения Эйлера ( конвективная или лагранжева форма )
Первое уравнение, которое является новым, представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости . Фактически общее уравнение непрерывности будет выглядеть так:
но здесь последний член тождественно равен нулю для ограничения несжимаемости.
Форма сохранения
Уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и соответствующим потоком соответственно:
Здесь есть длина и размер . [a]
В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как:
Переменные сохранения
Переменные для уравнений в форме сохранения еще не оптимизированы. Фактически мы могли бы определить:
,
Несжимаемые уравнения Эйлера ( сохранение или эйлерова форма )
где плотность силы , переменная сохранения.
Уравнения Эйлера
В дифференциально-конвективной форме сжимаемые (и наиболее общие) уравнения Эйлера можно коротко записать с использованием обозначения материальной производной :
Таким образом, приведенные выше уравнения представляют сохранение массы , импульса и энергии : уравнение энергии, выраженное в переменной внутренней энергии, позволяет понять связь с несжимаемым случаем, но это не в самой простой форме. Плотность массы, скорость потока и давление являются так называемыми конвективными переменными (или физическими переменными, или лагранжевыми переменными), тогда как плотность массы, плотность импульса и полная плотность энергии являются так называемыми сохраняющимися переменными (также называемыми эйлеровыми или математическими переменными). . [1]
Если расширить производную материала, приведенные выше уравнения будут следующими:
Несжимаемое ограничение (еще раз)
Возвращаясь к несжимаемому случаю, теперь становится очевидным, что несжимаемая связь, типичная для первых случаев, на самом деле представляет собой особую форму, справедливую для несжимаемых потоков уравнения энергии , а не уравнения массы. В частности, несжимаемая связь соответствует следующему очень простому уравнению энергии:
Таким образом, для несжимаемой невязкой жидкости удельная внутренняя энергия постоянна вдоль линий тока , в том числе и в потоке, зависящем от времени. Давление в несжимаемом потоке действует как множитель Лагранжа , являясь множителем несжимаемой связи в уравнении энергии, и, следовательно, в несжимаемых потоках оно не имеет термодинамического смысла. Фактически термодинамика типична для сжимаемых течений и вырождается в несжимаемые течения. [7]
Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно представить в виде сохранения:
Сохранение энтальпии
Поскольку по определению удельная энтальпия равна:
Материальную производную удельной внутренней энергии можно выразить как:
Тогда, подставив уравнение импульса в это выражение, получим:
И подставив последнее в уравнение энергии, получим, что выражение энтальпии для уравнения энергии Эйлера:
В системе отсчета, движущейся с невязким и непроводящим потоком, изменение энтальпии напрямую соответствует изменению давления.
Вывод формы, справедливой для термодинамических систем
Учитывая первое уравнение, переменную необходимо изменить с плотности на удельный объем. По определению:
Таким образом, имеют место следующие тождества:
Затем подставив эти выражения в уравнение сохранения массы:
И путем умножения:
Это уравнение является единственным, принадлежащим к общим уравнениям сплошной среды, поэтому только это уравнение имеет такой же вид, например, и в уравнениях Навье-Стокса.
С другой стороны, давление в термодинамике противоположно частной производной удельной внутренней энергии по удельному объему:
поскольку внутренняя энергия в термодинамике является функцией двух вышеупомянутых переменных, градиент давления, содержащийся в уравнении количества движения, должен быть выражен как:
Для краткости удобно поменять обозначения производных второго порядка:
Наконец, уравнение энергии:
в конвективной форме можно еще больше упростить, изменив переменную с удельной энергии на удельную энтропию: фактически первый закон термодинамики в локальной форме можно записать:
путем замены материальной производной внутренней энергии уравнение энергии принимает вид:
теперь член в скобках тождественно равен нулю в соответствии с законом сохранения массы, тогда уравнение энергии Эйлера становится простым:
Следовательно, для термодинамической жидкости уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости лучше всего записать как:
Уравнения Эйлера ( конвективная форма, для термодинамической системы )
где:
это удельный объем
вектор скорости потока
это удельная энтропия
В общем случае, а не только в несжимаемом случае, уравнение энергии означает, что для невязкой термодинамической жидкости удельная энтропия постоянна вдоль линий тока , в том числе и в потоке, зависящем от времени. Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно представить в виде сохранения: [8]
С другой стороны, две частные производные удельной внутренней энергии второго порядка в уравнении количества движения требуют указания фундаментального уравнения состояния рассматриваемого материала, т.е. удельной внутренней энергии как функции двух переменных: удельного объема и удельная энтропия:
Фундаментальное уравнение состояния содержит всю термодинамическую информацию о системе (Callen, 1985), [9] точно так же , как пара теплового уравнения состояния вместе с калорическим уравнением состояния.
Форма сохранения
Уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и соответствующим потоком соответственно:
Здесь имеет длину N + 2 и размер N(N + 2). [b] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как:
Уравнение(я) Эйлера ( исходное сохранение или эйлерова форма )
где плотность силы , переменная сохранения.
Заметим, что уравнение Эйлера, даже если оно консервативно (отсутствие внешнего поля, предел Фруда), вообще говоря, не имеет инвариантов Римана . [10] Требуются некоторые дополнительные предположения.
Однако мы уже упоминали, что для термодинамической жидкости уравнение полной плотности энергии эквивалентно уравнению сохранения:
Тогда уравнения сохранения в случае термодинамической жидкости проще выражаются так:
Уравнение (я) Эйлера ( форма сохранения для термодинамических жидкостей )
где – плотность энтропии, термодинамическая переменная сохранения.
Другая возможная форма уравнения энергии, особенно полезная для изобар :
Квазилинейная форма и характеристические уравнения
Расширение потоков может быть важной частью построения численных решателей , например, путем использования ( приблизительных ) решений задачи Римана . В областях, где вектор состояния y изменяется плавно, уравнения в консервативной форме можно привести к квазилинейной форме:
Очевидно, что этот якобиан не существует в областях разрывов (например, контактных разрывов, ударных волн в невязких непроводящих потоках). Если якобианы потока не являются функциями вектора состояния , уравнения оказываются линейными .
Характеристические уравнения
Сжимаемые уравнения Эйлера можно разделить на набор волновых уравнений N+2, который описывает звук в эйлеровом континууме, если они выражены в характеристических переменных вместо сохраняющихся переменных.
На самом деле тензор A всегда диагонализуем . Если все собственные значения (в случае уравнений Эйлера) действительны, система определяется как гиперболическая , а физически собственные значения представляют собой скорости распространения информации. [11] Если они все отмечены, система определяется строго гиперболической (будет доказано, что это случай одномерных уравнений Эйлера). Кроме того, диагонализацию уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости легче провести, когда уравнение энергии выражается в переменной энтропии (т.е. с помощью уравнений для термодинамических жидкостей), чем в других переменных энергии. Это станет ясно, если рассмотреть случай 1D.
Наконец, можно найти характеристические переменные как:
Поскольку A является постоянным, умножение исходного одномерного уравнения в форме потока Якобиана на P −1 дает характеристические уравнения: [12]
Исходные уравнения были разделены на N+2 характеристических уравнения, каждое из которых описывает простую волну, причем собственные значения представляют собой скорости волн. Переменные w i называются характеристическими переменными и представляют собой подмножество консервативных переменных. Наконец, решение задачи начального значения в терминах характеристических переменных оказывается очень простым. В одном пространственном измерении это:
Тогда решение в терминах исходных консервативных переменных получается путем обратного преобразования:
Теперь становится очевидным, что характеристические переменные действуют как веса в линейной комбинации собственных векторов Якобиана. Решение можно рассматривать как суперпозицию волн, каждая из которых адвектируется независимо без изменения формы. Каждая i - я волна имеет форму w i pi и скорость распространения λ i . Ниже мы покажем очень простой пример этой процедуры решения.
Волны в одномерной невязкой непроводящей термодинамической жидкости
Если рассматривать уравнения Эйлера для термодинамической жидкости с двумя дополнительными предположениями об одном пространственном измерении и свободе (отсутствие внешнего поля: g = 0):
Этот определитель очень прост: самые быстрые вычисления начинаются с последней строки, поскольку в ней наибольшее количество нулевых элементов.
Теперь, вычислив определитель 2×2:
Этот параметр всегда действителен согласно второму закону термодинамики . Фактически второй закон термодинамики можно выразить несколькими постулатами. Самым элементарным из них в математическом плане является утверждение о выпуклости фундаментального уравнения состояния, т.е. матрицы Гессе удельной энергии, выраженной как функция удельного объема и удельной энтропии:
Первое условие гарантирует, что параметр a определен как действительный.
В конечном итоге характеристическое уравнение дает:
Это имеет три реальных решения:
Тогда матрица имеет три действительных собственных значения, все из которых различаются: одномерные уравнения Эйлера представляют собой строго гиперболическую систему .
На этом этапе необходимо определить три собственных вектора: каждый из них получается путем подстановки одного собственного значения в уравнение собственных значений и последующего его решения. Подставив первое собственное значение λ 1 , получим:
На основе третьего уравнения, которое просто имеет решение s 1 =0, система сводится к:
Оба уравнения, как обычно, избыточны, тогда собственный вектор определяется с помощью умножающей константы. Выбираем в качестве правого собственного вектора:
Два других собственных вектора можно найти аналогичной процедурой:
Тогда можно построить матрицу проекции:
Наконец, становится очевидным, что действительный параметр a, определенный ранее, представляет собой скорость распространения информационной характеристики гиперболической системы, составленной из уравнений Эйлера, т. е. это скорость волны . Осталось показать, что скорость звука соответствует частному случаю изэнтропического преобразования :
Сжимаемость и скорость звука
Скорость звука определяется как скорость волны изэнтропического преобразования:
Идеальный газ
Скорость звука в идеальном газе зависит только от его температуры:
Вывод вида, справедливый для идеальных газов
В идеальном газе изоэнтропийное превращение описывается законом Пуассона:
где используется индекс Фейнмана , что означает, что индексный градиент работает только с коэффициентом .
Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.), которая до сих пор издается, использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока в вращательной форме: [13]
уравнение количества движения Эйлера в форме Лэмба принимает вид:
Теперь, основываясь на другом тождестве:
уравнение количества движения Эйлера принимает форму, оптимальную для демонстрации теоремы Бернулли для установившихся потоков:
Действительно, в случае внешнего консервативного поля , определив его потенциал φ:
В случае установившегося течения производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает вид:
А при проектировании уравнения количества движения на направление потока, т. е. вдоль линии тока , векторное произведение исчезает, поскольку его результат всегда перпендикулярен скорости:
В устойчивом несжимаемом случае уравнение массы имеет простой вид:
закон сохранения массы для устойчивого несжимаемого потока утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна
То есть баланс импульсов для устойчивого невязкого и несжимаемого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что общий напор вдоль линии тока постоянен .
Сжимаемый корпус
В наиболее общем стационарном (сжимаемом) случае уравнение массы в форме сохранения имеет вид:
Правая часть появляется в уравнении энергии в конвективной форме, которая в установившемся состоянии выглядит следующим образом:
Таким образом, уравнение энергии принимает вид:
так что внутренняя удельная энергия теперь проявляется в голове.
Поскольку потенциал внешнего поля обычно мал по сравнению с остальными членами, последние удобно сгруппировать в общую энтальпию :
а инвариант Бернулли для потока невязкого газа:
что можно записать как:
То есть баланс энергии для стационарного невязкого течения во внешнем консервативном поле утверждает, что сумма полной энтальпии и внешнего потенциала постоянна вдоль линии тока .
В обычном случае небольшого потенциального поля просто:
Форма Фридмана и форма Крокко.
Заменяя градиент давления градиентом энтропии и энтальпии, согласно первому закону термодинамики в энтальпийной форме:
в конвективной форме уравнения количества движения Эйлера получаем:
Фридман вывел это уравнение для частного случая идеального газа и опубликовал его в 1922 году. [14] Однако это уравнение является общим для невязкой непроводящей жидкости, и в нем нет неявного уравнения состояния.
С другой стороны, подставляя энтальпийную форму первого закона термодинамики во вращательную форму уравнения количества движения Эйлера, получаем:
и определив удельную полную энтальпию:
приходим к форме Крокко–Вазсони [15] (Crocco, 1937) уравнения количества движения Эйлера:
В устойчивом случае две переменные, энтропия и полная энтальпия, особенно полезны, поскольку уравнения Эйлера можно преобразовать в форму Крокко:
Из этих соотношений можно сделать вывод, что удельная полная свободная энергия однородна в установившемся, безвихревом, изотермическом, изоэнтропическом, невязком потоке.
Распространение ударной волны изучается, среди многих других областей, в аэродинамике и ракетном движении , где возникают достаточно быстрые потоки.
Правильно вычислить континуальные величины в разрывных зонах (например, ударных волнах или пограничных слоях) из локальных форм [в] (все указанные выше формы являются локальными формами, поскольку описываемые переменные типичны для одной точки рассматриваемого пространства, т.е. они являются локальными переменными ) уравнений Эйлера с помощью методов конечных разностей , как правило, для памяти компьютеров сейчас и в ближайшем будущем потребуется слишком много пространственных точек и временных шагов. В этих случаях необходимо избегать локальных форм уравнений сохранения, передавая некоторые слабые формы , такие как форма конечного объема .
Уравнения Ренкина – Гюгонио.
Начиная с простейшего случая, рассмотрим стационарное свободное уравнение сохранения в форме сохранения в пространственной области:
где вообще F — матрица потока. Путем интегрирования этого локального уравнения по фиксированному объему V m получим:
Тогда, опираясь на теорему о расходимости , можно преобразовать этот интеграл в граничный интеграл от потока:
Эта глобальная форма просто утверждает, что не существует чистого потока сохраняющейся величины, проходящей через область в устойчивом случае и без источника. В 1D объем сводится к интервалу , его граница является его экстремумами, тогда теорема о дивергенции сводится к фундаментальной теореме исчисления :
С другой стороны, переходное уравнение сохранения:
приводит к отношению перехода:
Для одномерных уравнений Эйлера переменными сохранения и потоком являются векторы:
где:
это удельный объем,
это поток массы.
В одномерном случае соответствующие соотношения скачков, называемые уравнениями Рэнкина–Гюгонио , имеют вид: < [16]
В устойчивом одномерном случае это выглядит просто:
Благодаря уравнению разности масс уравнение разности энергий можно упростить без каких-либо ограничений:
где – удельная полная энтальпия.
Обычно они выражаются в конвективных переменных:
где:
это скорость потока
– удельная внутренняя энергия.
Уравнение энергии представляет собой интегральную форму уравнения Бернулли в сжимаемом случае. Прежние уравнения массы и импульса путем замены приводят к уравнению Рэлея:
Поскольку второй член является константой, уравнение Рэлея всегда описывает простую линию в плоскости давления-объема, не зависящую ни от какого уравнения состояния, т. е. линию Рэлея. Путем подстановки в уравнения Рэнкина – Гюгонио это также можно выразить явно следующим образом:
Можно также получить кинетическое уравнение и к уравнению Гюгонио. Аналитические отрывки здесь не приводятся для краткости.
Это соответственно:
Уравнение Гюгонио в сочетании с фундаментальным уравнением состояния материала:
описывает в общем случае в плоскости давления-объема кривую, протекающую при условиях (v 0 , p 0 ), т. е. кривую Гюгонио, форма которой сильно зависит от типа рассматриваемого материала.
Также принято определять функцию Гюгонио : [17]
позволяющий количественно оценить отклонения от уравнения Гюгонио, аналогично предыдущему определению гидравлического напора , что полезно для отклонений от уравнения Бернулли.
Форма конечного объема
С другой стороны, путем интегрирования общего уравнения сохранения:
на фиксированном объеме V m , а затем на основании теоремы о дивергенции получается:
Интегрируя это уравнение также по временному интервалу:
Теперь, определив сохраняемую величину узла:
выводим форму конечного объема:
В частности, для уравнений Эйлера после определения сохраняющихся величин конвективные переменные выводятся путем обратной замены:
Тогда явные выражения исходных конвективных переменных для конечного объема будут следующими: < [18]
Уравнения Эйлера ( форма конечного объема )
Ограничения
Показано, что уравнения Эйлера не являются полной системой уравнений, но для принятия единственного решения они требуют некоторых дополнительных ограничений: это уравнение состояния рассматриваемого материала. Чтобы быть совместимыми с термодинамикой, эти уравнения состояния должны удовлетворять двум законам термодинамики. С другой стороны, неравновесные системы по определению описываются законами, лежащими вне этих законов. Ниже мы перечислим некоторые очень простые уравнения состояния и соответствующее влияние на уравнения Эйлера.
Идеальный политропный газ
Для идеального политропного газа фундаментальное уравнение состояния имеет вид: [19]
где – удельная энергия, – удельный объем, – удельная энтропия, – молекулярная масса, здесь считается постоянной ( политропный процесс ), и можно показать, что она соответствует коэффициенту теплоемкости . Можно показать, что это уравнение согласуется с обычными уравнениями состояния, используемыми в термодинамике.
Где температура измеряется в энергетических единицах. Прежде всего заметим, что, объединив эти два уравнения, можно вывести закон идеального газа :
или в обычной форме:
где: – числовая плотность материала. С другой стороны, закон идеального газа менее строгий, чем исходное рассматриваемое фундаментальное уравнение состояния.
Теперь рассмотрим молярную теплоемкость, связанную с процессом x :
согласно первому закону термодинамики:
это можно просто выразить так:
Теперь, обращая уравнение для температуры T(e), мы приходим к выводу, что для идеального политропного газа изохорная теплоемкость является константой:
и аналогично для идеального политропного газа изобарная теплоемкость оказывается постоянной:
Тогда удельная энергия, путем обращения соотношения T(e):
Удельная энтальпия получается в результате замены последнего и закона идеального газа:
Из этого уравнения можно вывести уравнение давления согласно его термодинамическому определению:
Инвертируя его, приходим к механическому уравнению состояния:
Тогда для идеального газа уравнения Эйлера для сжимаемости можно просто выразить в механических или примитивных переменных (удельном объеме, скорости потока и давлении), взяв набор уравнений термодинамической системы и изменив уравнение энергии в уравнение давления с помощью этого механического уравнения. уравнение состояния. Наконец, в конвективной форме они приводят:
Уравнения Эйлера для идеального политропного газа ( конвективная форма ) [20]
Пусть – ортонормированный базис Френе–Серре , который состоит из касательного единичного вектора, нормального единичного вектора и бинормального единичного вектора к линии тока соответственно. Поскольку линия тока представляет собой кривую, касательную к вектору скорости потока, левую часть приведенного выше уравнения, конвективную производную скорости, можно описать следующим образом:
Третье уравнение выражает, что давление постоянно вдоль бинормальной оси.
Теорема о кривизне обтекания
Пусть – расстояние от центра кривизны линии тока, тогда второе уравнение запишется следующим образом:
где
Это уравнение гласит:
При установившемся течении невязкой жидкости без внешних сил центр кривизны линии тока лежит в сторону уменьшения радиального давления.
Хотя эта связь между полем давления и кривизной потока очень полезна, она не имеет названия в англоязычной научной литературе. [24] Японские гидродинамики называют это соотношение «теоремой о кривизне потока». [25]
Все решения потенциального потока также являются решениями уравнений Эйлера, в частности уравнений Эйлера несжимаемой жидкости, когда потенциал гармоничен. [26]
параллельные сдвиговые потоки - когда поток однонаправленный, а скорость потока изменяется только в направлениях поперечного потока, например, в декартовой системе координат поток, например, в -направлении - причем единственная ненулевая составляющая скорости зависит только от включено и не включено [27]
Два решения трехмерных уравнений Эйлера с цилиндрической симметрией были представлены Гиббоном, Муром и Стюартом в 2003 году. [28] Эти два решения имеют бесконечную энергию; они взрываются повсюду в пространстве за конечное время.
^ Например, в 3D длина равна 5, размер 3×3 и размер 5×3, поэтому явные формы:
^ Например, в 3D y имеет длину 5, I имеет размер 3×3, а F имеет размер 3×5, поэтому явные формы:
^ Иногда локальную и глобальную формы также называют соответственно дифференциальными и недифференциальными , но это подходит не во всех случаях. Например, это подходит для уравнений Эйлера, но не для уравнений Навье-Стокса, поскольку в их глобальной форме существуют некоторые остаточные пространственные производные операторы первого порядка во всех характерных переносных членах, которые в локальной форме содержат пространственные операторы второго порядка. производные.
Цитаты
^ abcd Торо 1999, с. 24.
^ Андерсон 1995.
^ Эйлер 1757.
^ аб Христодулу 2007.
^ Аб Хантер 2006.
^ Эльгинди, Тарек М. (01 ноября 2021 г.). "Формирование особенности за конечное время для $C^{1,\alpha}$ решений несжимаемых уравнений Эйлера на $\mathbb{R}^3$". Анналы математики . 194 (3). arXiv : 1904.04795 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.2. ISSN 0003-486X.
^ Quartapelle & Auteri 2013, с. 13, гл. 9.
^ Ландау и Лифшиц 2013, с. 4, уравнения 2.6 и 2.7.
^ Хендерсон 2000, с. 152, 2.6 Термодинамические свойства материалов.
^ Хорин и Марсден 2013, с. 118, пар. 3.2 Потрясения.
^ Торо 1999, с. 44, п. 2.1 Квазилинейные уравнения.
^ Торо 1999, с. 52, п. 2.3 Линейная гиперболическая система.
^ Валорани и Насути, стр. 11–12.
^ Фридман 1934, с. 198, уравнение 91.
^ Хендерсон 2000, с. 177, пар. 2.12 Теорема Крокко.
^ Хорин и Марсден 2013, с. 122, пар. 3.2 Потрясения.
^ Хендерсон 2000, с. 167, пар. 2.96. Теорема Бете–Вейля.
^ Quartapelle & Auteri 2013, с. 161, пар. 11.10: Форма дифференциала: метод конечного объема.
^ Quartapelle & Auteri 2013, с. А-61, Приложение Е.
^ Торо 1999, с. 91, п. 3.1.2 Неконсервативные формулировки.
^ Зингале 2013.
^ Торо 1999, с. 92.
^ Фэй 1994, стр. 150–152.
^ abc Бабинский 2003.
^ Имаи 1973.
^ Маркиоро и Пулвиренти 1994, стр. 33.
^ Фридлендер и Серр 2003, с. 298.
^ Гиббон, Мур и Стюарт 2003.
Источники
Андерсон, Джон (1995). Вычислительная гидродинамика. Макгроу-Хилл Образование. ISBN 978-0-07-001685-9.
Бабинский, Хольгер (ноябрь 2003 г.), «Как работают крылья?» (PDF) , Физическое образование , 38 (6): 497–503, Бибкод : 2003PhyEd..38..497B, номер документа : 10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID 1657792
Хорин, Александр Ж.; Марсден, Джеррольд Э. (2013). Математическое введение в механику жидкости. Спрингер. ISBN 978-1-4612-0883-9.
Христодулу, Деметриос (октябрь 2007 г.). «Уравнения Эйлера потока сжимаемой жидкости» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 581–602. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01181-0 .
Эйлер, Леонард (1757). «Principes généraux du mouvement des Fluides» [Общие принципы движения жидкостей]. Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 11 : 274–315.
Фэй, Джеймс А. (1994). Введение в механику жидкости. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-06165-0.
Фридлендер, С.; Серр, Д., ред. (2003). Справочник по математической гидродинамике – Том 2 . Эльзевир. ISBN 978-0-444-51287-1.
Гиббон, доктор медицинских наук; Мур, доктор медицинских наук; Стюарт, Дж. Т. (2003). «Точные решения с бесконечной энергией и разрушением трехмерных уравнений Эйлера». Нелинейность . 16 (5): 1823–1831. Бибкод : 2003Nonli..16.1823G. дои : 10.1088/0951-7715/16/5/315. S2CID 250797052.
Хендерсон, LF (2000). «Общие законы распространения ударных волн в материи». В Бен-Доре, Габи; Игра, Озер; Эльперин, Тов (ред.). Справочник по ударным волнам, набор из трех томов . Эльзевир. ISBN 978-0-08-053372-8.
Хантер, Джон К. (25 сентября 2006 г.), Введение в уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости (PDF) , получено 31 мая 2019 г.
今井功 (IMAI, Исао) (ноябрь 1973 г.). 『流体力学(前編)』 [ Гидравлическая динамика 1 ] (на японском языке).裳華房 (Сёкабу). ISBN 4-7853-2314-0.
Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости. Эльзевир. ISBN 978-1-4831-4050-6.
Маркьоро, К.; Пульвиренти, М. (1994). Математическая теория несжимаемых невязких жидкостей . Прикладные математические науки. Том. 96. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94044-8.
Квартапель, Луиджи; Аутери, Франко (2013). Fluidodinamica comprimibile [ Динамика сжимаемой жидкости ] (на итальянском языке). СЕА. ISBN 978-88-08-18558-7.
Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики: практическое введение. Спрингер. ISBN 978-3-540-65966-2.
Валорани, Мауро; Насути, Франческо (nd), Metodi di analisi delle Turbomacchine (PDF) , Sapienza - Universit`a di Roma, заархивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2022 г. , получено 31 мая 2019 г.
Зингале, М. (16 апреля 2013 г.), Заметки об уравнениях Эйлера (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2015 г. , получено 31 мая 2019 г.
дальнейшее чтение
Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....Б. дои : 10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566.
Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
Томпсон, Филип А. (1972). Поток сжимаемой жидкости . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-064405-5.