Инвариант Римана

Инварианты Римана — это математические преобразования , выполняемые в системе уравнений сохранения для облегчения ее решения. Инварианты Римана постоянны вдоль характеристических кривых уравнений в частных производных, где они получают название инварианта . Впервые они были получены Бернхардом Риманом в его работах о плоских волнах в газовой динамике. ^[1]

Математическая теория

Рассмотрим систему уравнений сохранения :

${\displaystyle l_{i}\left(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

где и – элементы матриц и где и – элементы векторов . Будет задан вопрос, можно ли переписать это уравнение в виде ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle l_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

Для этого введем кривые в плоскость, определяемую векторным полем . Член в скобках перепишем через полную производную где параметризуются как ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x,t}$ ${\displaystyle x=X(\eta ),t=T(\eta )}$

${\displaystyle {\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}}$

сравнивая последние два уравнения, находим

${\displaystyle \alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )}$

которое теперь можно записать в характерной форме

${\displaystyle m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0}$

где у нас должны быть условия

${\displaystyle l_{i}A_{ij}=m_{j}T'}$

${\displaystyle l_{i}a_{ij}=m_{j}X'}$

где можно исключить, чтобы получить необходимое условие ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0}$

поэтому для нетривиального решения является определителем

${\displaystyle |A_{ij}X'-a_{ij}T'|=0}$

Для инвариантов Римана нас интересует случай, когда матрица является единичной матрицей, образующей ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0}$

обратите внимание, что это однородно , поскольку вектор равен нулю. В характеристической форме система имеет вид ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0}$ с ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda }$

Где – левый собственный вектор матрицы , – характерные скорости собственных значений матрицы , удовлетворяющие ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda 's}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle |A-\lambda \delta _{ij}|=0}$

Чтобы упростить эти характеристические уравнения, мы можем сделать преобразования так, что ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}}$

какая форма

${\displaystyle \mu l_{i}du_{i}=dr}$

Интегрирующий коэффициент может быть умножен, чтобы помочь интегрировать это. Таким образом, теперь система имеет характерный вид ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0}$на ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}}$

что эквивалентно диагональной системе ^[2]

${\displaystyle r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0,}$ ${\displaystyle k=1,...,N.}$

Решение этой системы можно дать обобщенным методом годографа . ^{[3] [4]}

Пример

Рассмотрим одномерные уравнения Эйлера, записанные в терминах плотности и скорости : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0}$

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0}$

при этом скорость звука вводится из-за предположения об изэнтропии. Запишите эту систему в матричной форме. ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)}$

где необходимо найти матрицу из приведенного выше анализа собственных значений и собственных векторов. Найдено, что собственные значения удовлетворяют ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0}$

давать

${\displaystyle \lambda =u\pm c}$

и собственные векторы оказываются

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)}$

где инварианты Римана равны

${\displaystyle r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

${\displaystyle r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

( и – широко используемые обозначения в газовой динамике ). Для идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью существует соотношение , где коэффициент удельной теплоемкости , чтобы дать инварианты Римана ^{[5] [6]} ${\displaystyle J_{+}}$ ${\displaystyle J_{-}}$ ${\displaystyle c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

${\displaystyle J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

дать уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0}$

Другими словами,

${\displaystyle {\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}}$

где и – характеристические кривые. Эту проблему можно решить преобразованием годографа . В годографической плоскости, если все характеристики схлопываются в одну кривую, то мы получаем простые волны . Если матричная форма системы PDE имеет вид ${\displaystyle C_{+}}$ ${\displaystyle C_{-}}$

${\displaystyle A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$

Тогда можно будет умножить на обратную матрицу, если определитель матрицы не равен нулю . ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Смотрите также

• Простая волна

Рекомендации

1. Риман, Бернхард (1860). «Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite» (PDF) . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . 8 . Проверено 8 августа 2012 г.
2. Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли . ISBN 978-0-471-94090-6.
3. Камчатнов, А.М. (2000). Нелинейные периодические волны и их модуляции . Всемирная научная . ISBN 978-981-02-4407-1.
4. Царев, СП (1985). «О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа» (PDF) . Советская математика — Доклады . 31 (3): 488–491. МР  2379468. Збл  0605.35075. Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2012 г. Проверено 20 августа 2011 г.
5. Зельдович И.Б., Райзер И.П. (1966). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Том 1). Академическая пресса.
6. Курант Р. и Фридрихс К.О. 1948 Сверхзвуковой поток и ударные волны. Нью-Йорк: Межнаучный.