Интегрирующий фактор

В математике интегрирующий множитель — это функция , которая выбирается для облегчения решения заданного уравнения, включающего дифференциалы . Обычно он используется для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , но также используется в многомерном исчислении , когда умножение на интегрирующий множитель позволяет превратить неточный дифференциал в точный дифференциал (который затем может быть проинтегрирован для получения скалярного поля ). Это особенно полезно в термодинамике , где температура становится интегрирующим множителем, который делает энтропию точным дифференциалом.

Использовать

Интегрирующий множитель — это любое выражение, на которое умножается дифференциальное уравнение для облегчения интегрирования. Например, нелинейное уравнение второго порядка

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}

допускает в качестве интегрирующего фактора: ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.

Чтобы интегрировать, обратите внимание, что обе части уравнения можно выразить в виде производных, действуя в обратном порядке с помощью цепного правила :

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).

Поэтому,

\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.

где — константа. $C_{0}$

Эта форма может быть более полезной, в зависимости от приложения. Выполнение разделения переменных даст

\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t

Это неявное решение, которое включает неэлементарный интеграл . Этот же метод используется для решения периода простого маятника .

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрирующие множители полезны для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , которые можно выразить в виде

y'+P(x)y=Q(x)

Основная идея заключается в том, чтобы найти некоторую функцию, скажем , , называемую "интегрирующим множителем", которую мы можем умножить на наше дифференциальное уравнение, чтобы привести левую часть под общую производную. Для канонического линейного дифференциального уравнения первого порядка , показанного выше, интегрирующий множитель равен . $M(x)$ $e^{\int P(x)\,dx}$

Обратите внимание, что нет необходимости включать произвольную константу в интеграл или абсолютные значения в случае, если интеграл включает логарифм. Во-первых, нам нужен только один интегрирующий множитель для решения уравнения, а не все возможные; во-вторых, такие константы и абсолютные значения будут сокращаться, даже если включены. Для абсолютных значений это можно увидеть, записав , где относится к знаковой функции , которая будет постоянной на интервале, если непрерывна. Так как не определено, когда , а логарифм в первообразной появляется только тогда, когда исходная функция включала логарифм или обратную величину (ни одна из которых не определена для 0), такой интервал будет интервалом применимости нашего решения. $P(x)$ $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$ $\operatorname {sgn}$ $f(x)$ $\ln |f(x)|$ $f(x)=0$

Чтобы вывести это, пусть будет интегрирующим множителем линейного дифференциального уравнения первого порядка, таким, что умножение на преобразует неинтегрируемое выражение в интегрируемую производную, тогда: $M(x)$ $M(x)$

$M(x){\underset {\text{non-integrable expression}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
$M(x)y'+M(x)P(x)y$
$\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{integrable derivative}}$

Переход от шага 2 к шагу 3 требует, чтобы , что является разделяемым дифференциальным уравнением , решение которого дает в терминах : $M(x)P(x)=M'(x)$ $M(x)$ $P(x)$

$M(x)P(x)=M'(x)$
$P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
$\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
$M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

Для проверки умножение на дает $M(x)$

M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)

Применяя правило произведения в обратном порядке, мы видим, что левую часть можно выразить как одну производную в $x$

M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)

Мы используем этот факт, чтобы упростить наше выражение до

{\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)

Интеграция обеих сторон по отношению к $x$

Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx

e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C

где — константа. $C$

Перенося экспоненту в правую часть, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид:

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}

В случае однородного дифференциального уравнения общее решение обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид: $Q(x)=0$

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

например, рассмотрим дифференциальное уравнение

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Мы видим, что в этом случае $P(x)={\frac {-2}{x}}$

M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}

M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}

M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

Умножая обе части на получаем $M(x)$

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

Уравнение выше можно переписать как

{\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0

Интегрируя обе части по x, получаем

x^{-2}y=C

или

y=Cx^{2}

Того же результата можно достичь, используя следующий подход

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

Обратное правило частного дает

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

или

{\frac {y}{x^{2}}}=C,

или

y=Cx^{2}.

где — константа. $C$

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Метод интегрирования множителей для уравнений первого порядка может быть естественным образом распространен и на уравнения второго порядка. Основной целью решения уравнений первого порядка было найти интегрирующий множитель, такой, чтобы умножение на него давало , после чего последующее интегрирование и деление на давало . Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, если мы хотим работать как интегрирующий множитель, то $M(x)$ $y'+p(x)y=h(x)$ $(M(x)y)'=M(x)h(x)$ $M(x)$ $y$ $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$

(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)

Это означает, что уравнение второго порядка должно иметь точную форму, чтобы можно было использовать интегрирующий множитель. $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$

Пример 1

Например, дифференциальное уравнение

y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0

может быть решено точно с интегрирующими множителями. Соответствующее может быть выведено путем изучения термина. В этом случае, , поэтому . После изучения термина мы видим, что на самом деле имеем , поэтому мы умножим все термины на интегрирующий множитель . Это дает нам $p(x)$ $y'$ $2p(x)=2x$ $p(x)=x$ $y$ $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$ $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$

e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0

которые можно переставить, чтобы получить

\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0

Интеграция дважды дает

e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}

Деление на интегрирующий множитель дает:

y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}

Пример 2

Несколько менее очевидное применение интегрирующих множителей второго порядка включает следующее дифференциальное уравнение:

y''+2\cot(x)y'-y=1

На первый взгляд, это явно не в форме, необходимой для интегрирующих факторов второго порядка. У нас есть член перед , но нет перед . Однако, $2p(x)$ $y'$ $p(x)^{2}+p'(x)$ $y$

p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)

и из пифагорейского тождества, связывающего котангенс и косеканс,

\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1

так что у нас действительно есть требуемый член впереди и мы можем использовать интегрирующие множители. $y$

e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

Умножение каждого члена на дает $\sin(x)$

\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

который переставлен

(\sin(x)y)''=\sin(x)

Интеграция дважды дает

\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}

Наконец, деление на интегрирующий множитель дает

y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1

Решение линейных дифференциальных уравнений n-го порядка

Интегрирующие факторы могут быть расширены до любого порядка, хотя форма уравнения, необходимого для их применения, становится все более и более конкретной с ростом порядка, что делает их менее полезными для порядков 3 и выше. Общая идея заключается в дифференцировании функций по времени для дифференциального уравнения th-го порядка и объединении подобных членов. Это даст уравнение в виде $M(x)y$ $n$ $n$

M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)

Если уравнение порядка соответствует форме , которая получается после дифференцирования по времени, можно умножить все члены на интегрирующий множитель и проинтегрировать по времени, разделив обе части на интегрирующий множитель, чтобы получить окончательный результат. $n$ $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ $n$ $h(x)M(x)$ $n$