Уравнения Маделунга

Гидродинамическая формулировка уравнений Шрёдингера

В теоретической физике уравнения Маделунга , или уравнения квантовой гидродинамики , представляют собой эквивалентную альтернативную формулировку Эрвина Маделунга уравнения Шредингера , записанную в терминах гидродинамических переменных, аналогичную уравнениям Навье- Стокса гидродинамики . Вывод уравнений Маделунга аналогичен формулировке де Бройля-Бома , которая представляет уравнение Шрёдингера как квантовое уравнение Гамильтона-Якоби .

Уравнения

Уравнения Маделунга ^[1] представляют собой квантовые уравнения Эйлера : ^[2] где $${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,\\[4pt]&{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),\end{aligned}}}$$

• u — скорость потока ,
• ${\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}}$это массовая плотность ,
• ${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}}$— квантовый потенциал Бома ,
• V — потенциал из уравнения Шрёдингера.

Циркуляция поля скорости потока по любому замкнутому пути подчиняется вспомогательному условию для всех целых чисел n . ^[3] ${\textstyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }$ 

Вывод

Уравнения Маделунга получаются путем записи волновой функции в полярной форме и подстановки этой формы в уравнение Шредингера . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)},}$$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t).}$$

Скорость потока определяется по формуле , откуда мы также находим, что где – ток вероятности стандартной квантовой механики. $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S,}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})],}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$

Квантовая сила , которая является отрицательным градиентом квантового потенциала, также может быть записана через тензор квантового давления: где $${\displaystyle \mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q},}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}.}$$

Интегральная энергия, запасенная в тензоре квантового давления, пропорциональна информации Фишера , что определяет качество измерений. Таким образом, согласно границе Крамера–Рао принцип неопределенности Гейзенберга эквивалентен стандартному неравенству эффективности измерений . Термодинамическое определение квантово-химического потенциала следует из приведенного выше баланса гидростатических сил: Согласно термодинамике, в состоянии равновесия химический потенциал везде постоянен, что прямо соответствует стационарному уравнению Шредингера. Следовательно, собственные значения уравнения Шредингера представляют собой свободные энергии, отличные от внутренних энергий системы. Внутренняя энергия частицы рассчитывается как и связана с локальной поправкой Карла Фридриха фон Вайцзеккера . ^[4] Например, в случае квантового гармонического осциллятора можно легко показать, что энергия нулевой точки представляет собой значение химического потенциала осциллятора, в то время как внутренняя энергия осциллятора равна нулю в основном состоянии, . Следовательно, энергия нулевой точки представляет собой энергию, необходимую для помещения статического осциллятора в вакуум, что еще раз показывает, что флуктуации вакуума являются причиной существования квантовой механики. $${\displaystyle \mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$$ $${\displaystyle \nabla \mu ={\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V.}$$ $${\displaystyle \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}){\frac {m}{\rho _{m}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}+U}$$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

Смотрите также

• Квантовый потенциал
• Квантовая гидродинамика
• Бомовская квантовая механика
• Теория пилотных волн

Рекомендации

1. Маделунг, Э. (1926). «Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger». Naturwissenschaften (на немецком языке). 14 (45): 1004. Бибкод : 1926NW.....14.1004M. дои : 10.1007/BF01504657. S2CID  39430240.
2. Маделунг, Э. (1927). «Квантовая теория в гидродинамической форме». З. Физ. (на немецком). 40 (3–4): 322–326. Бибкод : 1927ZPhy...40..322M. дои : 10.1007/BF01400372. S2CID  121537534.
3. И. Бялыницкий-Бирула; М. Чеплак; Дж. Камински (1992), Теория квантов , Oxford University Press, ISBN 0195071573.
4. Цеков, Р. (2009). «Диссипативная теория функционала плотности, зависящая от времени». Международный журнал теоретической физики . 48 (9): 2660–2664. arXiv : 0903.3644 . Бибкод : 2009IJTP...48.2660T. дои : 10.1007/s10773-009-0054-6. S2CID  119252668.

дальнейшее чтение

• Шенберг, М. (1954). «О гидродинамической модели квантовой механики». Иль Нуово Чименто . 12 (1): 103–133. Бибкод : 1954NCim...12..103S. дои : 10.1007/BF02820368. S2CID  123655548.
• Вятт, Роберт Э.; Трэхан, Кори Дж. (2005). «Бомовский путь к гидродинамическим уравнениям». Квантовая динамика с траекториями: Введение в квантовую гидродинамику . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 40–61. ISBN 0-387-22964-7.