Теория де Бройля–Бома

Интерпретация квантовой механики

Теория де Бройля–Бома ^[a] — это интерпретация квантовой механики , которая постулирует, что в дополнение к волновой функции существует фактическая конфигурация частиц, даже если она не наблюдается. Эволюция конфигурации всех частиц с течением времени определяется направляющим уравнением. Эволюция волновой функции с течением времени задается уравнением Шредингера . Теория названа в честь Луи де Бройля (1892–1987) и Дэвида Бома (1917–1992).

Теория является детерминированной ^[1] и явно нелокальной : скорость любой частицы зависит от значения направляющего уравнения, которое зависит от конфигурации всех рассматриваемых частиц.

Измерения являются частным случаем квантовых процессов, описываемых теорией, для которых она дает те же квантовые предсказания, что и другие интерпретации квантовой механики. Теория не имеет « проблемы измерения », поскольку частицы всегда имеют определенную конфигурацию. Правило Борна в теории де Бройля–Бома не является постулатом. Скорее, в этой теории связь между плотностью вероятности и волновой функцией имеет статус теоремы, результат отдельного постулата, «гипотезы квантового равновесия », которая является дополнительной к основным принципам, управляющим волновой функцией. Существует несколько эквивалентных математических формулировок теории.

Обзор

Теория де Бройля–Бома основана на следующих постулатах:

• Существует конфигурация вселенной, описываемая координатами , которая является элементом конфигурационного пространства . Конфигурационное пространство различно для разных версий теории пилот-волны. Например, это может быть пространство положений частиц или, в случае теории поля, пространство конфигураций поля . Конфигурация развивается (при спине = 0) согласно направляющему уравнению, где — ток вероятности или поток вероятности, а — оператор импульса . Здесь — стандартная комплекснозначная волновая функция из квантовой теории, которая развивается согласно уравнению Шредингера Это завершает спецификацию теории для любой квантовой теории с оператором Гамильтона типа . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{k}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ $${\displaystyle m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$ ${\displaystyle \psi (q,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t).}$$ ${\textstyle H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})}$
• Конфигурация распределена в соответствии с в некоторый момент времени , и это, следовательно, справедливо для всех времен. Такое состояние называется квантовым равновесием. При квантовом равновесии эта теория согласуется с результатами стандартной квантовой механики. ${\displaystyle |\psi (q,t)|^{2}}$ ${\displaystyle t}$

Хотя это последнее соотношение часто представляется как аксиома теории, Бом представил его как выводимое из статистико-механических аргументов в оригинальных статьях 1952 года. Этот аргумент был дополнительно поддержан работой Бома в 1953 году и был обоснован статьей Вижье и Бома 1954 года, в которой они ввели стохастические флуктуации жидкости , которые управляют процессом асимптотической релаксации от квантовой неравновесности к квантовому равновесию (ρ → |ψ| ² ). ^[2]

Эксперимент с двумя щелями

Бомовские траектории для электрона, проходящего через двухщелевой эксперимент. Похожая картина была также экстраполирована из слабых измерений одиночных фотонов. ^[3]

Двухщелевой эксперимент является иллюстрацией корпускулярно-волнового дуализма . В нем пучок частиц (например, электронов) проходит через барьер с двумя щелями. Если экран детектора находится сбоку за барьером, картина обнаруженных частиц показывает интерференционные полосы, характерные для волн, приходящих на экран из двух источников (двух щелей); однако интерференционная картина состоит из отдельных точек, соответствующих частицам, пришедшим на экран. Система, по-видимому, демонстрирует поведение как волн (интерференционные картины), так и частиц (точки на экране).

Если этот эксперимент модифицировать так, чтобы одна щель была закрыта, интерференционная картина не наблюдается. Таким образом, состояние обеих щелей влияет на конечные результаты. Также можно установить минимально инвазивный детектор на одной из щелей, чтобы определить, через какую щель прошла частица. Когда это сделано, интерференционная картина исчезает. ^[4]

В теории де Бройля–Бома волновая функция определена на обеих щелях, но каждая частица имеет четко определенную траекторию, которая проходит ровно через одну из щелей. Конечное положение частицы на экране детектора и щель, через которую проходит частица, определяются начальным положением частицы. Такое начальное положение не может быть известно или проконтролировано экспериментатором, поэтому в картине обнаружения есть видимость случайности. В работах Бома 1952 года он использовал волновую функцию для построения квантового потенциала, который при включении в уравнения Ньютона давал траектории частиц, текущих через две щели. По сути, волновая функция интерферирует сама с собой и направляет частицы квантовым потенциалом таким образом, что частицы избегают областей, в которых интерференция является деструктивной, и притягиваются к областям, в которых интерференция является конструктивной, что приводит к интерференционной картине на экране детектора.

Чтобы объяснить поведение, когда обнаруживается, что частица проходит через одну щель, нужно оценить роль условной волновой функции и то, как она приводит к коллапсу волновой функции; это объясняется ниже. Основная идея заключается в том, что среда, регистрирующая обнаружение, эффективно разделяет два волновых пакета в конфигурационном пространстве.

Теория

Пилотная волна

Теория де Бройля–Бома описывает пилотную волну в конфигурационном пространстве и траектории частиц, как в классической механике, но определяемые неньютоновской механикой. ^[5] В каждый момент времени существует не только волновая функция, но и вполне определенная конфигурация всей Вселенной (т. е. система, определяемая граничными условиями, используемыми при решении уравнения Шредингера). ${\displaystyle \psi (q,t)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q(t)\in Q}$

Теория де Бройля–Бома работает с положениями и траекториями частиц, как и классическая механика, но динамика отличается. В классической механике ускорения частиц сообщаются непосредственно силами, которые существуют в физическом трехмерном пространстве. В теории де Бройля–Бома квантовое «поле оказывает новый вид «квантово-механической» силы». ^{[6] : 76} Бом выдвинул гипотезу, что каждая частица имеет «сложную и тонкую внутреннюю структуру», которая обеспечивает способность реагировать на информацию, предоставляемую волновой функцией квантовым потенциалом. ^[7] Кроме того, в отличие от классической механики, физические свойства (например, масса, заряд) распределены по волновой функции в теории де Бройля–Бома, а не локализованы в положении частицы. ^{[8] [9]}

Сама волновая функция, а не частицы, определяет динамическую эволюцию системы: частицы не действуют обратно на волновую функцию. Как сформулировали это Бом и Хайли, «уравнение Шредингера для квантового поля не имеет источников, и у него нет другого способа, которым поле могло бы быть напрямую затронуто состоянием частиц [...] квантовая теория может быть полностью понята в терминах предположения, что квантовое поле не имеет источников или других форм зависимости от частиц». ^[10] П. Холланд считает это отсутствие взаимного действия частиц и волновой функции одним «из многих неклассических свойств, демонстрируемых этой теорией». ^[11] Позже Холланд назвал это просто кажущимся отсутствием обратной реакции из-за неполноты описания. ^[12]

Ниже приведена настройка для одной движущейся частицы, за которой следует настройка для N частиц, движущихся в 3 измерениях. В первом случае конфигурационное пространство и реальное пространство совпадают, а во втором случае реальное пространство по-прежнему равно , но конфигурационное пространство становится . В то время как сами положения частиц находятся в реальном пространстве, поле скорости и волновая функция находятся в конфигурационном пространстве, и именно так частицы запутываются друг с другом в этой теории. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

Расширения этой теории включают спиновые и более сложные конфигурационные пространства.

Мы используем вариации для положений частиц, в то время как представляет собой комплекснозначную волновую функцию в конфигурационном пространстве. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \psi }$

Уравнение руководства

Для одиночной частицы без спина, движущейся в , скорость частицы равна ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).}$

Для многих частиц, обозначенных как -я частица, их скорости равны ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).}$

Главный факт, который следует отметить, заключается в том, что это поле скорости зависит от фактических положений всех частиц во вселенной. Как объясняется ниже, в большинстве экспериментальных ситуаций влияние всех этих частиц может быть инкапсулировано в эффективную волновую функцию для подсистемы вселенной. ${\displaystyle N}$

Уравнение Шредингера

Одночастичное уравнение Шредингера управляет временной эволюцией комплекснозначной волновой функции на . Уравнение представляет собой квантованную версию полной энергии классической системы, развивающейся под действием действительной потенциальной функции на : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .}$

Для многих частиц уравнение то же самое, за исключением того, что и теперь находятся в конфигурационном пространстве : ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi .}$

Это та же волновая функция, что и в обычной квантовой механике.

Отношение к правилу Борна

В оригинальных работах Бома ^[13] он обсуждает, как теория де Бройля–Бома приводит к обычным результатам измерений квантовой механики. Основная идея заключается в том, что это верно, если положения частиц удовлетворяют статистическому распределению, заданному . И это распределение гарантированно будет верным для всего времени с помощью направляющего уравнения, если начальное распределение частиц удовлетворяет . ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Для данного эксперимента можно постулировать это как истинное и проверить это экспериментально. Но, как утверждают Дюрр и др. ^[14] , нужно утверждать, что это распределение для подсистем является типичным. Авторы утверждают, что , в силу своей эквивариантности при динамической эволюции системы, является подходящей мерой типичности для начальных условий положений частиц. Затем авторы доказывают, что подавляющее большинство возможных начальных конфигураций дадут статистику, подчиняющуюся правилу Борна (т. е. ) для результатов измерений. Подводя итог, можно сказать, что во вселенной, управляемой динамикой де Бройля-Бома, поведение правила Борна является типичным. ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Таким образом, ситуация аналогична ситуации в классической статистической физике. Начальное состояние с низкой энтропией с подавляющей высокой вероятностью перейдет в состояние с более высокой энтропией: поведение, соответствующее второму закону термодинамики, является типичным. Существуют аномальные начальные условия, которые могут привести к нарушениям второго закона; однако при отсутствии некоторых очень подробных доказательств, подтверждающих реализацию одного из этих условий, было бы совершенно неразумно ожидать чего-либо, кроме фактически наблюдаемого равномерного увеличения энтропии. Аналогично в теории де Бройля–Бома существуют аномальные начальные условия, которые могут привести к статистике измерений, нарушающей правило Борна (противоречащей предсказаниям стандартной квантовой теории), но теорема о типичности показывает, что при отсутствии какой-либо конкретной причины полагать, что одно из этих особых начальных условий было фактически реализовано, поведение правила Борна является тем, чего следует ожидать.

Именно в этом квалифицированном смысле правило Борна для теории де Бройля–Бома является теоремой , а не (как в обычной квантовой теории) дополнительным постулатом .

Можно также показать, что распределение частиц, которое не распределено в соответствии с правилом Борна (то есть распределение «вне квантового равновесия») и развивается в соответствии с динамикой де Бройля–Бома, с подавляющей вероятностью динамически эволюционирует в состояние, распределенное как . ^[15] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Условная волновая функция подсистемы

В формулировке теории де Бройля–Бома существует только волновая функция для всей Вселенной (которая всегда эволюционирует по уравнению Шредингера). Здесь «Вселенная» — это просто система, ограниченная теми же граничными условиями, которые используются для решения уравнения Шредингера. Однако, как только теория сформулирована, удобно ввести понятие волновой функции также для подсистем Вселенной. Запишем волновую функцию Вселенной как , где обозначает переменные конфигурации, связанные с некоторой подсистемой (I) Вселенной, а обозначает оставшиеся переменные конфигурации. Обозначим соответственно через и фактическую конфигурацию подсистемы (I) и остальной части Вселенной. Для простоты мы рассматриваем здесь только бесспиновый случай. Условная волновая функция подсистемы (I) определяется как ${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})}$ ${\displaystyle q^{\text{I}}}$ ${\displaystyle q^{\text{II}}}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$

${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).}$

Из того факта, что удовлетворяет направляющему уравнению, немедленно следует, что конфигурация также удовлетворяет направляющему уравнению, идентичному представленному в формулировке теории, с заменой универсальной волновой функции на условную волновую функцию . Кроме того, тот факт, что является случайным с плотностью вероятности, заданной квадратным модулем , подразумевает, что условная плотность вероятности задана квадратным модулем (нормализованной) условной волновой функции (в терминологии Дюрра и др. ^[16] этот факт называется фундаментальной формулой условной вероятности ). ${\displaystyle Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle \psi (t,\cdot )}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,\cdot )}$

В отличие от универсальной волновой функции, условная волновая функция подсистемы не всегда эволюционирует по уравнению Шредингера, но во многих ситуациях это так. Например, если универсальная волновая функция разлагается как

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),}$

тогда условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до несущественного скалярного множителя) равна (это то, что стандартная квантовая теория будет считать волновой функцией подсистемы (I)). Если, кроме того, гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то удовлетворяет уравнению Шредингера. В более общем случае предположим, что универсальная волновая функция может быть записана в виде ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),}$

где решает уравнение Шредингера и для всех и . Тогда, снова, условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до несущественного скалярного множителя) равна , и если гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то удовлетворяет уравнению Шредингера. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$

The fact that the conditional wavefunction of a subsystem does not always evolve by the Schrödinger equation is related to the fact that the usual collapse rule of standard quantum theory emerges from the Bohmian formalism when one considers conditional wavefunctions of subsystems.

Extensions

Relativity

Pilot-wave theory is explicitly nonlocal, which is in ostensible conflict with special relativity. Various extensions of "Bohm-like" mechanics exist that attempt to resolve this problem. Bohm himself in 1953 presented an extension of the theory satisfying the Dirac equation for a single particle. However, this was not extensible to the many-particle case because it used an absolute time.^[17]

A renewed interest in constructing Lorentz-invariant extensions of Bohmian theory arose in the 1990s; see Bohm and Hiley: The Undivided Universe^[18][19] and references therein. Another approach is given by Dürr et al.,^[20] who use Bohm–Dirac models and a Lorentz-invariant foliation of space-time.

Thus, Dürr et al. (1999) showed that it is possible to formally restore Lorentz invariance for the Bohm–Dirac theory by introducing additional structure. This approach still requires a foliation of space-time. While this is in conflict with the standard interpretation of relativity, the preferred foliation, if unobservable, does not lead to any empirical conflicts with relativity. In 2013, Dürr et al. suggested that the required foliation could be covariantly determined by the wavefunction.^[21]

The relation between nonlocality and preferred foliation can be better understood as follows. In de Broglie–Bohm theory, nonlocality manifests as the fact that the velocity and acceleration of one particle depends on the instantaneous positions of all other particles. On the other hand, in the theory of relativity the concept of instantaneousness does not have an invariant meaning. Thus, to define particle trajectories, one needs an additional rule that defines which space-time points should be considered instantaneous. The simplest way to achieve this is to introduce a preferred foliation of space-time by hand, such that each hypersurface of the foliation defines a hypersurface of equal time.

Первоначально считалось невозможным дать описание траекторий фотонов в теории де Бройля–Бома ввиду трудностей релятивистского описания бозонов. ^[22] В 1996 году Парта Гош представил релятивистское квантово-механическое описание бозонов со спином 0 и спином 1, исходя из уравнения Даффина–Кеммера–Петье , установив бомовские траектории для массивных бозонов и для безмассовых бозонов (и, следовательно, фотонов ). ^[22] В 2001 году Жан-Пьер Вижье подчеркнул важность получения четко определенного описания света в терминах траекторий частиц в рамках либо бомовской механики, либо стохастической механики Нельсона. ^[23] В том же году Гош разработал бомовские траектории фотонов для конкретных случаев. ^[24] Последующие эксперименты со слабыми измерениями дали траектории, которые совпадают с предсказанными траекториями. ^{[25] [26]} Значимость этих экспериментальных результатов является спорной. ^[27]

Крис Дьюдни и Дж. Хортон предложили релятивистски ковариантную, волново-функциональную формулировку квантовой теории поля Бома ^{[28] [29]} и расширили ее до формы, которая позволяет включить гравитацию. ^[30]

Николич предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовской интерпретации многочастичных волновых функций. ^[31] Он разработал обобщенную релятивистски-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории, ^{[32] [33] [34]} в которой больше не является плотностью вероятности в пространстве, а является плотностью вероятности в пространстве-времени. Он использует эту обобщенную вероятностную интерпретацию для формулировки релятивистски-ковариантной версии теории де Бройля–Бома без введения предпочтительного расслоения пространства-времени. Его работа также охватывает расширение бомовской интерпретации до квантования полей и струн. ^[35] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

У Родерика И. Сазерленда из Сиднейского университета есть лагранжев формализм для пилотной волны и ее beables. Он опирается на ретроказуальные слабые измерения Якира Ааронова, чтобы объяснить многочастичную запутанность специальным релятивистским способом без необходимости в конфигурационном пространстве. Основная идея была опубликована Костой де Борегаром в 1950-х годах и также использовалась Джоном Крамером в его транзакционной интерпретации, за исключением beables, которые существуют между измерениями сильного проекционного оператора фон Неймана. Лагранжиан Сазерленда включает двустороннее действие-реакцию между пилотной волной и beables. Следовательно, это постквантовая нестатистическая теория с конечными граничными условиями, которые нарушают теоремы квантовой теории об отсутствии сигнала. Так же, как специальная теория относительности является предельным случаем общей теории относительности, когда кривизна пространства-времени исчезает, так и статистическая квантовая теория, сигнализирующая о неперепутанности с правилом Борна, является предельным случаем постквантового лагранжиана действия-реакции, когда реакция полагается равной нулю, а конечное граничное условие интегрируется. ^[36]

Вращаться

Чтобы включить спин , волновая функция становится комплексно-векторнозначной. Пространство значений называется спиновым пространством; для частицы со спином 1/2 спиновое пространство можно принять равным . Управляющее уравнение модифицируется путем взятия внутренних произведений в спиновом пространстве для сведения комплексных векторов к комплексным числам. Уравнение Шредингера модифицируется путем добавления члена спина Паули : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle m_{k},e_{k},\mu _{k}}$— масса, заряд и магнитный момент –й частицы ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$— соответствующий оператор спина, действующий в спиновом пространстве –й частицы ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle s_{k}}$— спиновое квантовое число –й частицы ( для электрона) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}=1/2}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$векторный потенциал в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$это магнитное поле в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})}$— ковариантная производная, включающая векторный потенциал, приписанный координатам –й частицы (в единицах СИ ) ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \psi }$— волновая функция, определенная на многомерном конфигурационном пространстве; например, система, состоящая из двух частиц со спином 1/2 и одной частицы со спином 1, имеет волновую функцию вида , где — тензорное произведение , поэтому это спиновое пространство является 12-мерным $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},}$$ ${\displaystyle \otimes }$
• ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$— это скалярное произведение в спиновом пространстве : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ $${\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}$$

Стохастическая электродинамика

Стохастическая электродинамика (SED) является расширением интерпретации квантовой механики де Бройля-Бома , в которой электромагнитное поле нулевой точки (ZPF) играет центральную роль в качестве направляющей пилотной волны . Современные подходы к SED, такие как предложенные группой вокруг покойного Герхарда Грёссинга, среди прочих, рассматривают волновые и корпускулярные квантовые эффекты как хорошо скоординированные возникающие системы. Эти возникающие системы являются результатом предполагаемых и рассчитанных субквантовых взаимодействий с полем нулевой точки. ^{[37] [38] [39]}

Квантовая теория поля

В работе Дюрра и др. ^{[40] [41]} авторы описывают расширение теории де Бройля–Бома для обработки операторов рождения и уничтожения , которое они называют «теориями квантового поля типа Белла». Основная идея заключается в том, что конфигурационное пространство становится (непересекающимся) пространством всех возможных конфигураций любого числа частиц. Часть времени система развивается детерминированно под направляющим уравнением с фиксированным числом частиц. Но в стохастическом процессе частицы могут создаваться и уничтожаться. Распределение событий рождения диктуется волновой функцией. Сама волновая функция все время развивается по полному многочастичному конфигурационному пространству.

Хрвое Николич ^[32] вводит чисто детерминистическую теорию де Бройля-Бома создания и уничтожения частиц, согласно которой траектории частиц непрерывны, но детекторы частиц ведут себя так, как будто частицы были созданы или уничтожены, даже если истинного создания или уничтожения частиц не происходит.

Изогнутое пространство

Чтобы распространить теорию де Бройля–Бома на искривленное пространство ( римановы многообразия на математическом языке), достаточно просто отметить, что все элементы этих уравнений имеют смысл, такие как градиенты и лапласианы . Таким образом, мы используем уравнения, которые имеют ту же форму, что и выше. Топологические и граничные условия могут применяться для дополнения эволюции уравнения Шредингера.

Для теории де Бройля–Бома на искривленном пространстве со спином, пространство спинов становится векторным расслоением над конфигурационным пространством, а потенциал в уравнении Шредингера становится локальным самосопряженным оператором, действующим на этом пространстве. ^[42] Уравнения поля для теории де Бройля–Бома в релятивистском случае со спином могут быть также даны для искривленного пространства-времени с кручением. ^{[43] [44]}

В общем пространстве-времени с кривизной и кручением, направляющее уравнение для четырехскорости элементарной фермионной частицы имеет вид где волновая функция является спинором , является соответствующим сопряженным , являются матрицами Дирака , и является тетрадой . ^[45] Если волновая функция распространяется согласно искривленному уравнению Дирака, то частица движется согласно уравнениям движения Матиссона-Папапетру , которые являются расширением геодезического уравнения . Эта релятивистская дуальность волна-частица следует из законов сохранения для тензора спина и тензора энергии-импульса , ^[45] а также из ковариантного уравнения движения Гейзенберга . ^[46] ${\displaystyle u^{i}}$ $${\displaystyle u^{i}={\frac {e_{\mu }^{i}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }{{\bar {\psi }}\psi }},}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }^{i}}$

Использование нелокальности

Диаграмма, сделанная Энтони Валентини в лекции о теории де Бройля-Бома. Валентини утверждает, что квантовая теория является частным случаем равновесия более широкой физики и что возможно наблюдать и использовать квантовую неравновесность ^[47]

Причинная интерпретация квантовой механики Де Бройля и Бома была позднее расширена Бомом, Вижье, Хайли, Валентини и другими, чтобы включить стохастические свойства. Бом и другие физики, включая Валентини, рассматривают правило Борна, связанное с функцией плотности вероятности , как представляющее не базовый закон, а результат того, что система достигла квантового равновесия в ходе временного развития в соответствии с уравнением Шредингера . Можно показать, что после того, как равновесие достигнуто, система остается в таком равновесии в ходе своей дальнейшей эволюции: это следует из уравнения непрерывности, связанного с эволюцией Шредингера . ^[48] Менее просто продемонстрировать, достигается ли такое равновесие изначально и как это происходит. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$

Энтони Валентини ^[49] расширил теорию де Бройля–Бома, включив в нее нелокальность сигнала, что позволило бы использовать запутанность как автономный канал связи без вторичного классического «ключевого» сигнала для «разблокировки» сообщения, закодированного в запутанности. Это нарушает ортодоксальную квантовую теорию, но имеет то достоинство, что делает параллельные вселенные теории хаотической инфляции наблюдаемыми в принципе.

В отличие от теории де Бройля–Бома, в теории Валентини эволюция волновой функции также зависит от онтологических переменных. Это вводит нестабильность, обратную связь, которая выталкивает скрытые переменные из «субквантовой тепловой смерти». Результирующая теория становится нелинейной и неунитарной. Валентини утверждает, что законы квантовой механики являются эмерджентными и образуют «квантовое равновесие», которое аналогично тепловому равновесию в классической динамике, так что другие « квантовые неравновесные » распределения в принципе могут наблюдаться и использоваться, для которых статистические предсказания квантовой теории нарушаются. Спорно утверждается, что квантовая теория является всего лишь частным случаем гораздо более широкой нелинейной физики, физики, в которой возможна нелокальная ( сверхсветовая ) сигнализация, и в которой может быть нарушен принцип неопределенности. ^{[50] [51]}

Результаты

Ниже приведены некоторые основные моменты результатов, которые возникают из анализа теории де Бройля–Бома. Экспериментальные результаты согласуются со всеми стандартными предсказаниями квантовой механики, насколько они у нее есть. Но в то время как стандартная квантовая механика ограничивается обсуждением результатов «измерений», теория де Бройля–Бома управляет динамикой системы без вмешательства внешних наблюдателей (стр. 117 в Bell ^[52] ).

Основой для соглашения со стандартной квантовой механикой является то, что частицы распределены в соответствии с . Это утверждение о невежестве наблюдателя: начальные положения представлены статистическим распределением, поэтому детерминированные траектории приведут к статистическому распределению. ^[14] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Измерение спина и поляризации

Согласно обычной квантовой теории, невозможно измерить спин или поляризацию частицы напрямую; вместо этого измеряется компонент в одном направлении; результат от одной частицы может быть 1, что означает, что частица выровнена с измерительным прибором, или −1, что означает, что она выровнена противоположным образом. Ансамбль частиц, подготовленный поляризатором для нахождения в состоянии 1, будет измеряться поляризованным в состоянии 1 в последующем приборе. Поляризованный ансамбль, отправленный через поляризатор, установленный под углом к ​​первому проходу, приведет к некоторым значениям 1 и некоторым −1 с вероятностью, которая зависит от относительного выравнивания. Для полного объяснения этого см. эксперимент Штерна–Герлаха .

В теории де Бройля–Бома результаты спинового эксперимента не могут быть проанализированы без некоторых знаний об экспериментальной установке. Можно ^[53] модифицировать установку так, чтобы траектория частицы не влияла, но чтобы частица с одной установкой регистрировалась как спин вверх, а с другой — как спин вниз. Таким образом, для теории де Бройля–Бома спин частицы не является внутренним свойством частицы; вместо этого спин, так сказать, находится в волновой функции частицы по отношению к конкретному устройству, используемому для измерения спина. Это иллюстрация того, что иногда называют контекстуальностью, и связано с наивным реализмом в отношении операторов. ^[54] С точки зрения интерпретации, результаты измерений являются детерминированным свойством системы и ее окружения, которое включает информацию об экспериментальной установке, включая контекст совместно измеряемых наблюдаемых; ни в коем случае сама система не обладает измеряемым свойством, как это было бы в классической физике.

Измерения, квантовый формализм и независимость наблюдателя

Теория де Бройля–Бома дает почти результаты как (нерелятивистская) квантовая механика. Она рассматривает волновую функцию как фундаментальный объект в теории, поскольку волновая функция описывает, как движутся частицы. Это означает, что ни один эксперимент не может различить эти две теории. В этом разделе излагаются идеи о том, как стандартный квантовый формализм возникает из квантовой механики. ^{[13] [14]}

Коллапс волновой функции

Теория де Бройля–Бома — это теория, которая применяется в первую очередь ко всей Вселенной. То есть существует одна волновая функция, управляющая движением всех частиц во Вселенной в соответствии с направляющим уравнением. Теоретически движение одной частицы зависит от положений всех других частиц во Вселенной. В некоторых ситуациях, например, в экспериментальных системах, мы можем представить саму систему в терминах теории де Бройля–Бома, в которой волновая функция системы получается путем обусловливания окружающей среды системы. Таким образом, систему можно проанализировать с помощью уравнения Шредингера и направляющего уравнения с начальным распределением для частиц в системе (подробнее см. в разделе об условной волновой функции подсистемы). ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Требуется специальная настройка для условной волновой функции системы, чтобы она подчинялась квантовой эволюции. Когда система взаимодействует со своей средой, например, посредством измерения, условная волновая функция системы эволюционирует по-другому. Эволюция универсальной волновой функции может стать такой, что волновая функция системы будет казаться находящейся в суперпозиции различных состояний. Но если среда записала результаты эксперимента, то при использовании фактической бомовской конфигурации среды для обусловливания условная волновая функция схлопывается всего до одной альтернативы, соответствующей результатам измерения.

Коллапс универсальной волновой функции никогда не происходит в теории де Бройля–Бома. Вся ее эволюция управляется уравнением Шредингера, а эволюции частиц управляются направляющим уравнением. Коллапс происходит только феноменологическим образом для систем, которые, как кажется, следуют своему собственному уравнению Шредингера. Поскольку это эффективное описание системы, вопрос выбора в том, какое определение экспериментальной системы включить, и это повлияет на то, когда произойдет «коллапс».

Операторы как наблюдаемые

В стандартном квантовом формализме измерение наблюдаемых обычно рассматривается как измерительные операторы в гильбертовом пространстве. Например, измерение положения считается измерением оператора положения. Эта связь между физическими измерениями и операторами гильбертова пространства является для стандартной квантовой механики дополнительной аксиомой теории. Теория де Бройля–Бома, напротив, не требует таких аксиом измерения (и измерение как таковое не является динамически отличной или специальной подкатегорией физических процессов в теории). В частности, обычный формализм операторов как наблюдаемых является для теории де Бройля–Бома теоремой. ^[55] Основным моментом анализа является то, что многие измерения наблюдаемых не соответствуют свойствам частиц; они являются (как в случае спина, обсуждаемого выше) измерениями волновой функции.

В истории теории де Бройля–Бома сторонникам часто приходилось сталкиваться с утверждениями о том, что эта теория невозможна. Такие аргументы, как правило, основаны на ненадлежащем анализе операторов как наблюдаемых. Если кто-то считает, что спиновые измерения действительно измеряют спин частицы, существовавшей до измерения, то он действительно приходит к противоречиям. Теория де Бройля–Бома решает эту проблему, отмечая, что спин является не свойством частицы, а скорее свойством волновой функции. Таким образом, она имеет определенный результат только после выбора экспериментального аппарата. Как только это принимается во внимание, теоремы о невозможности становятся неактуальными. Существуют также возражения против этой теории, основанные на том, что она говорит о конкретных ситуациях, обычно включающих собственные состояния оператора. Например, основное состояние водорода является действительной волновой функцией. Согласно направляющему уравнению, это означает, что электрон находится в состоянии покоя, когда находится в этом состоянии. Тем не менее, он распределен согласно , и никаких противоречий экспериментальным результатам обнаружить невозможно. ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Операторы как наблюдаемые приводят многих к убеждению, что многие операторы эквивалентны. Теория де Бройля–Бома, с этой точки зрения, выбирает наблюдаемую позицию в качестве предпочтительной наблюдаемой, а не, скажем, наблюдаемую импульс. Опять же, связь с наблюдаемой позицией является следствием динамики. Мотивация теории де Бройля–Бома заключается в описании системы частиц. Это подразумевает, что цель теории состоит в описании положений этих частиц в любое время. Другие наблюдаемые не имеют этого убедительного онтологического статуса. Наличие определенных положений объясняет наличие определенных результатов, таких как вспышки на экране детектора. Другие наблюдаемые не привели бы к такому выводу, но не должно быть никаких проблем в определении математической теории для других наблюдаемых; см. Хайман и др. ^[56] для исследования того факта, что плотность вероятности и поток вероятности могут быть определены для любого набора коммутирующих операторов.

Скрытые переменные

Теорию де Бройля–Бома часто называют теорией «скрытых переменных». Бом использовал это описание в своих оригинальных работах по этой теме, написав: «С точки зрения обычной интерпретации , эти дополнительные элементы или параметры [позволяющие подробное причинное и непрерывное описание всех процессов] можно было бы назвать «скрытыми» переменными». Бом и Хайли позже заявили, что они нашли выбор Бомом термина «скрытые переменные» слишком ограничительным. В частности, они утверждали, что частица на самом деле не скрыта, а скорее «является тем, что наиболее непосредственно проявляется в наблюдении, [хотя] ее свойства не могут наблюдаться с произвольной точностью (в пределах, установленных принципом неопределенности )». ^[57] Однако другие все же рассматривают термин «скрытая переменная» как подходящее описание. ^[58]

Обобщенные траектории частиц могут быть экстраполированы из многочисленных слабых измерений на ансамбле одинаково подготовленных систем, и такие траектории совпадают с траекториями де Бройля–Бома. В частности, эксперимент с двумя запутанными фотонами, в котором набор бомовских траекторий для одного из фотонов был определен с использованием слабых измерений и постселекции, может быть понят в терминах нелокальной связи между траекторией этого фотона и поляризацией другого фотона. ^{[59] [60]} Однако не только интерпретация де Бройля–Бома, но и многие другие интерпретации квантовой механики, которые не включают такие траектории, согласуются с такими экспериментальными доказательствами.

Разные прогнозы

Специализированная версия эксперимента с двумя щелями была разработана для проверки характеристик предсказаний траектории. ^[61] Экспериментальная реализация этой концепции не согласуется с предсказаниями Бома. ^[62] где они отличаются от стандартной квантовой механики. Эти выводы стали предметом дебатов. ^{[63] [64]}

Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что когда производятся два дополнительных измерения, существует предел для произведения их точности. Например, если измерить положение с точностью и импульс с точностью , то ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \Delta x\Delta p\gtrsim h.}$

В теории де Бройля–Бома всегда есть факт о положении и импульсе частицы. Каждая частица имеет четко определенную траекторию, а также волновую функцию. Наблюдатели имеют ограниченные знания о том, что такое эта траектория (и, следовательно, о положении и импульсе). Именно отсутствие знаний о траектории частицы объясняет соотношение неопределенностей. То, что можно знать о частице в любой момент времени, описывается волновой функцией. Поскольку соотношение неопределенностей может быть выведено из волновой функции в других интерпретациях квантовой механики, его можно аналогичным образом вывести (в эпистемическом смысле, упомянутом выше) в теории де Бройля–Бома.

Другими словами, положения частиц известны только статистически. Как и в классической механике , последовательные наблюдения положений частиц уточняют знания экспериментатора о начальных условиях частиц . Таким образом, с последующими наблюдениями начальные условия становятся все более ограниченными. Этот формализм согласуется с обычным использованием уравнения Шредингера.

Для вывода соотношения неопределенности см. принцип неопределенности Гейзенберга , отметив, что в этой статье принцип описывается с точки зрения Копенгагенской интерпретации .

Квантовая запутанность, парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена, теорема Белла и нелокальность

Теория де Бройля–Бома выдвинула на первый план проблему нелокальности : она вдохновила Джона Стюарта Белла доказать его ныне знаменитую теорему ^[65] , которая, в свою очередь, привела к тестовым экспериментам Белла .

В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена авторы описывают мысленный эксперимент, который можно провести над парой взаимодействующих частиц, результаты которого они интерпретировали как указание на то, что квантовая механика является неполной теорией. ^[66]

Спустя десятилетия Джон Белл доказал теорему Белла (см. стр. 14 в Bell ^[52] ), в которой он показал, что, если они должны согласовываться с эмпирическими предсказаниями квантовой механики, все такие «скрытые переменные» дополнения квантовой механики должны быть либо нелокальными (как интерпретация Бома), либо отказаться от предположения, что эксперименты дают уникальные результаты (см. контрфактуальную определенность и многомировую интерпретацию ). В частности, Белл доказал, что любая локальная теория с уникальными результатами должна делать эмпирические предсказания, удовлетворяющие статистическому ограничению, называемому «неравенством Белла».

Ален Аспект провел ряд тестовых экспериментов Белла , которые проверяют неравенство Белла с использованием установки типа ЭПР. Результаты Аспекта экспериментально показывают, что неравенство Белла на самом деле нарушается, что означает, что соответствующие квантово-механические предсказания верны. В этих тестовых экспериментах Белла создаются запутанные пары частиц; частицы разделяются, перемещаясь к удаленному измерительному прибору. Ориентация измерительного прибора может быть изменена во время полета частиц, что демонстрирует очевидную нелокальность эффекта.

Теория де Бройля–Бома делает те же (эмпирически правильные) предсказания для экспериментов Белла, что и обычная квантовая механика. Она способна делать это, потому что она явно нелокальна. Ее часто критикуют или отвергают на основе этого; позиция Белла была: «Заслуга версии де Бройля–Бома в том, что она вывела эту [нелокальность] так явно, что ее нельзя игнорировать». ^[67]

Теория де Бройля-Бома описывает физику в тестовых экспериментах Белла следующим образом: чтобы понять эволюцию частиц, нам нужно составить волновое уравнение для обеих частиц; ориентация аппарата влияет на волновую функцию. Частицы в эксперименте следуют указаниям волновой функции. Именно волновая функция несет в себе эффект изменения ориентации аппарата со скоростью, превышающей скорость света. Модлин дает анализ того, какой именно тип нелокальности присутствует и как он совместим с теорией относительности. ^[68] Белл показал, что нелокальность не допускает сверхсветовой коммуникации . Модлин показал это более подробно.

Классический предел

Формулировка теории де Бройля–Бома в классической версии имеет те достоинства, что возникновение классического поведения, по-видимому, следует немедленно для любой ситуации, в которой квантовый потенциал пренебрежимо мал, как было отмечено Бомом в 1952 году. Современные методы декогеренции имеют отношение к анализу этого предела. См. Allori et al. ^[69] для шагов к строгому анализу.

Метод квантовой траектории

Работа Роберта Э. Уайетта в начале 2000-х годов попыталась использовать «частицы» Бома в качестве адаптивной сетки, которая следует фактической траектории квантового состояния во времени и пространстве. В методе «квантовой траектории» квантовая волновая функция берется с помощью сетки квадратурных точек. Затем квадратурные точки эволюционируют во времени в соответствии с уравнениями движения Бома. На каждом временном шаге затем повторно синтезируется волновая функция из точек, повторно вычисляются квантовые силы и продолжается расчет. (Фильмы QuickTime этого для реактивного рассеяния H + H ₂ можно найти на веб-сайте группы Уайетта в Техасском университете в Остине.) Этот подход был адаптирован, расширен и использован рядом исследователей в сообществе химической физики как способ вычисления полуклассической и квазиклассической молекулярной динамики. Выпуск журнала «The Journal of Physical Chemistry A» за 2007 год был посвящен профессору Уайетту и его работе по «вычислительной бомовской динамике». ^[70]

Группа Эрика Р. Биттнера ^[71] в Университете Хьюстона выдвинула статистический вариант этого подхода, который использует байесовскую технику выборки для выборки квантовой плотности и вычисления квантового потенциала на бесструктурной сетке точек. Эта техника недавно была использована для оценки квантовых эффектов в теплоемкости малых кластеров Ne _n для n ≈ 100.

Остаются трудности с использованием бомовского подхода, в основном связанные с образованием сингулярностей в квантовом потенциале из-за узлов в квантовой волновой функции. В общем случае узлы, образующиеся из-за эффектов интерференции, приводят к случаю, когда Это приводит к бесконечной силе на частицах образца, заставляющей их удаляться от узла и часто пересекающей путь других точек образца (что нарушает однозначность). Были разработаны различные схемы для преодоления этого, однако общего решения пока не появилось. ${\displaystyle R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .}$

Эти методы, как и формула Гамильтона-Якоби Бома, неприменимы в ситуациях, в которых необходимо учитывать полную динамику спина.

Свойства траекторий в теории де Бройля–Бома существенно отличаются от квантовых траекторий Мойала, а также от квантовых траекторий из раскрытия открытой квантовой системы.

Сходства с многомировой интерпретацией

Ким Йорис Бострём предложил нерелятивистскую квантово-механическую теорию, которая объединяет элементы механики де Бройля-Бома и многомировую теорию Эверетта. В частности, нереальная многомировая интерпретация Хокинга и Вайнберга похожа на концепцию Бома о нереальных пустых ветвях миров :

Вторая проблема с бомовской механикой на первый взгляд может показаться довольно безобидной, но при более близком рассмотрении она приобретает значительную разрушительную силу: проблема пустых ветвей. Это компоненты состояния после измерения, которые не направляют никакие частицы, поскольку не имеют фактической конфигурации q в своей опоре. На первый взгляд пустые ветви не кажутся проблематичными, а наоборот, очень полезными, поскольку они позволяют теории объяснять уникальные результаты измерений. Кроме того, они, по-видимому, объясняют, почему происходит эффективный «коллапс волновой функции», как в обычной квантовой механике. Однако при более близком рассмотрении следует признать, что эти пустые ветви на самом деле не исчезают. Поскольку волновая функция рассматривается для описания реально существующего поля, все их ветви действительно существуют и будут развиваться вечно по динамике Шредингера, независимо от того, сколько из них станут пустыми в ходе эволюции. Каждая ветвь глобальной волновой функции потенциально описывает полный мир, который, согласно онтологии Бома, является только возможным миром, который был бы реальным миром, если бы он был заполнен частицами, и который во всех отношениях идентичен соответствующему миру в теории Эверетта. Только одна ветвь в каждый момент времени занята частицами, тем самым представляя реальный мир, в то время как все остальные ветви, хотя и существуют реально как часть реально существующей волновой функции, пусты и, таким образом, содержат своего рода «миры зомби» с планетами, океанами, деревьями, городами, автомобилями и людьми, которые говорят как мы и ведут себя как мы, но которые на самом деле не существуют. Теперь, если теорию Эверетта можно обвинить в онтологической экстравагантности, то механику Бома можно обвинить в онтологической расточительности. В дополнение к онтологии пустых ветвей идет дополнительная онтология положений частиц, которые, из-за гипотезы квантового равновесия, навсегда неизвестны наблюдателю. Тем не менее, реальная конфигурация никогда не нужна для вычисления статистических предсказаний в экспериментальной реальности, поскольку они могут быть получены простой алгеброй волновых функций. С этой точки зрения бомовская механика может показаться расточительной и избыточной теорией. Я думаю, что именно такие соображения являются самым большим препятствием на пути всеобщего принятия бомовской механики. ^[72]

Многие авторы выразили критические взгляды на теорию де Бройля–Бома, сравнивая ее с многомировым подходом Эверетта. Многие (но не все) сторонники теории де Бройля–Бома (такие как Бом и Белл) интерпретируют универсальную волновую функцию как физически реальную. По мнению некоторых сторонников теории Эверетта, если (никогда не коллапсирующая) волновая функция считается физически реальной, то естественно интерпретировать теорию как имеющую то же множество миров, что и теория Эверетта. С точки зрения Эверетта роль бомовской частицы заключается в том, чтобы действовать как «указатель», помечая или выбирая только одну ветвь универсальной волновой функции (предположение о том, что эта ветвь указывает, какой волновой пакет определяет наблюдаемый результат данного эксперимента, называется «предположением о результате» ^[73] ); другие ветви обозначены как «пустые» и неявно предполагаются Бомом как лишенные сознательных наблюдателей. ^[73] Х. Дитер Цех комментирует эти «пустые» ветви: ^[74]

Обычно упускается из виду, что теория Бома содержит те же самые «множественные миры» динамически отдельных ветвей, что и интерпретация Эверетта (теперь рассматриваемые как «пустые» волновые компоненты), поскольку она основана на точно такой же... глобальной волновой функции ...

Дэвид Дойч выразил ту же точку зрения более «едко»: ^{[73] [75]}

Теории пилотной волны — это теории параллельной вселенной, находящиеся в состоянии хронического отрицания.

Этот вывод был оспорен Детлефом Дюрром и Джастином Лазаровичи:

Бомианец, конечно, не может принять этот аргумент. Для нее, это определенно конфигурация частиц в трехмерном пространстве, а не волновая функция на абстрактном конфигурационном пространстве, которая составляет мир (или, скорее, мир). Вместо этого, она обвинит эвереттианца в отсутствии локальных beables (в смысле Белла) в ее теории, то есть онтологических переменных, которые относятся к локализованным сущностям в трехмерном пространстве или четырехмерном пространстве-времени. Таким образом, множество миров ее теории просто появляются как гротескное следствие этого упущения. ^[76]

Критика бритвы Оккама

И Хью Эверетт III , и Бом рассматривали волновую функцию как физически реальное поле . Многомировая интерпретация Эверетта является попыткой продемонстрировать, что одной волновой функции достаточно для объяснения всех наших наблюдений. Когда мы видим вспышку детекторов частиц или слышим щелчок счетчика Гейгера , теория Эверетта интерпретирует это как нашу волновую функцию , реагирующую на изменения волновой функции детектора , которая, в свою очередь, реагирует на прохождение другой волновой функции (которую мы считаем «частицей», но на самом деле это просто еще один волновой пакет ). ^[73] Согласно этой теории, не существует ни одной частицы (в смысле Бома, имеющей определенное положение и скорость). По этой причине Эверетт иногда называл свой многомировой подход «чистой волновой теорией». О подходе Бома 1952 года Эверетт сказал: ^[77]

Наша главная критика этой точки зрения основана на ее простоте: если кто-то хочет придерживаться точки зрения, что поле является реальным, то связанная с ним частица излишня, поскольку, как мы пытались проиллюстрировать, чистая волновая теория сама по себе удовлетворительна. ${\displaystyle \psi }$

С точки зрения Эверетта, частицы Бома являются избыточными сущностями, подобными и столь же ненужными, как, например, светоносный эфир , который был признан ненужным в специальной теории относительности . Этот аргумент иногда называют «аргументом избыточности», поскольку избыточные частицы являются избыточными в смысле бритвы Оккама . ^[78]

Согласно Брауну и Уоллесу, ^[73] частицы де Бройля–Бома не играют никакой роли в решении проблемы измерения. Для этих авторов ^[73] «предположение о результате» (см. выше) несовместимо с точкой зрения, что в случае предсказуемого результата (т. е. единственного результата) нет проблемы измерения. Они также говорят ^[73] , что стандартное молчаливое предположение теории де Бройля–Бома (что наблюдатель узнает о конфигурациях частиц обычных объектов посредством корреляций между такими конфигурациями и конфигурацией частиц в мозгу наблюдателя) является необоснованным. Этот вывод был оспорен Валентини ^[79], который утверждает, что вся совокупность таких возражений возникает из-за неспособности интерпретировать теорию де Бройля–Бома на ее собственных терминах.

По мнению Питера Р. Холланда , в более широком гамильтоновом контексте можно сформулировать теории, в которых частицы действительно воздействуют на волновую функцию. ^[80]

Производные

Теория де Бройля–Бома выводилась много раз и многими способами. Ниже приведены шесть выводов, все из которых очень разные и ведут к разным способам понимания и расширения этой теории.

• Уравнение Шредингера можно вывести , используя гипотезу Эйнштейна о световых квантах : и гипотезу де Бройля :. ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

Направляющее уравнение может быть получено аналогичным образом. Предположим, что плоская волна: . Обратите внимание, что . Предполагая, что для фактической скорости частицы имеем . Таким образом, мы имеем направляющее уравнение. ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ${\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)}$

Обратите внимание, что этот вывод не использует уравнение Шредингера.

• Сохранение плотности при эволюции во времени — еще один метод вывода. Это метод, который цитирует Белл. Именно этот метод обобщается на многие возможные альтернативные теории. Отправной точкой является уравнение непрерывности ^{[ необходимо разъяснение ]} для плотности . Это уравнение описывает поток вероятности вдоль тока. Мы берем поле скорости, связанное с этим током, как поле скорости, интегральные кривые которого дают движение частицы. ${\displaystyle -{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })}$ ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$
• Метод, применимый для частиц без спина, заключается в полярном разложении волновой функции и преобразовании уравнения Шредингера в два связанных уравнения: уравнение непрерывности сверху и уравнение Гамильтона-Якоби . Этот метод использовал Бом в 1952 году. Разложение и уравнения следующие:

Разложение: Обратите внимание, что соответствует плотности вероятности . ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.}$ ${\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$

Уравнение непрерывности: . ${\displaystyle -{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)}$

Уравнение Гамильтона–Якоби: ${\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].}$

Уравнение Гамильтона–Якоби — это уравнение, выведенное из ньютоновской системы с потенциалом и полем скоростей. Потенциал — это классический потенциал, который появляется в уравнении Шредингера, а другой термин, включающий в себя квантовый потенциал , термин, введенный Бомом. ${\displaystyle V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$ ${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R}$

Это приводит к рассмотрению квантовой теории как частиц, движущихся под действием классической силы, модифицированной квантовой силой. Однако, в отличие от стандартной ньютоновской механики , начальное поле скорости уже задано , что является признаком того, что это теория первого порядка, а не второго порядка. ${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

• Четвертый вывод был дан Дюрром и др. ^[14] В своем выводе они выводят поле скорости, требуя соответствующих свойств преобразования, заданных различными симметриями, которым удовлетворяет уравнение Шредингера, как только волновая функция соответствующим образом преобразована. Руководящее уравнение — это то, что возникает из этого анализа.
• Пятый вывод, данный Дюрром и др. ^[40] , подходит для обобщения на квантовую теорию поля и уравнение Дирака. Идея состоит в том, что поле скорости также можно понимать как дифференциальный оператор первого порядка, действующий на функции. Таким образом, если мы знаем, как он действует на функции, мы знаем, что это такое. Тогда, если задан оператор Гамильтона , уравнение, которому нужно удовлетворить для всех функций (с соответствующим оператором умножения ), равно , где — локальное эрмитово скалярное произведение на пространстве значений волновой функции. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle (v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Эта формулировка допускает стохастические теории, такие как создание и уничтожение частиц.

• Дальнейший вывод был дан Питером Р. Холландом, на котором он основывает свой учебник по квантовой физике «Квантовая теория движения» . ^[81] Он основан на трех основных постулатах и ​​дополнительном четвертом постулате, который связывает волновую функцию с вероятностями измерений:
  1. Физическая система состоит из распространяющейся в пространстве и времени волны и направляемой ею точечной частицы.
  2. Математически волна описывается решением волнового уравнения Шредингера. ${\displaystyle \psi }$
  3. Движение частицы описывается решением в зависимости от начального условия , с фазой . ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=[\nabla S(\mathbf {x} (t),t))]/m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t=0)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi }$
     Четвертый постулат является вспомогательным, но согласуется с первыми тремя:
  4. Вероятность обнаружить частицу в дифференциальном объеме в момент времени t равна . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} (t))}$ ${\displaystyle d^{3}x}$ ${\displaystyle |\psi (\mathbf {x} (t))|^{2}}$

История

Теория была исторически развита в 1920-х годах де Бройлем, которого в 1927 году убедили отказаться от нее в пользу тогдашней общепринятой копенгагенской интерпретации. Дэвид Бом, недовольный преобладающей ортодоксальностью, заново открыл теорию пилотной волны де Бройля в 1952 году. Предложения Бома тогда не были широко приняты, отчасти из-за причин, не связанных с их содержанием, таких как юношеские коммунистические связи Бома. ^[82] Теория де Бройля-Бома была широко признана неприемлемой теоретиками мейнстрима, в основном из-за ее явной нелокальности. По поводу этой теории Джон Стюарт Белл , автор теоремы Белла 1964 года , писал в 1982 году:

Бом явно показал, как в нерелятивистскую волновую механику можно действительно ввести параметры, с помощью которых недетерминированное описание можно преобразовать в детерминированное. Что еще важнее, по моему мнению, субъективность ортодоксальной версии, необходимая ссылка на «наблюдателя», может быть устранена. ...

Но почему же тогда Борн не рассказал мне об этой «пилотной волне»? Хотя бы для того, чтобы указать на то, что с ней не так? Почему фон Нейман не рассматривал ее? Что еще более необычно, почему люди продолжали приводить доказательства «невозможности» после 1952 года и даже совсем недавно, в 1978 году?... Почему картина пилотной волны игнорируется в учебниках? Не следует ли ее преподавать не как единственный путь, а как противоядие от преобладающего самодовольства? Чтобы показать нам, что неопределенность, субъективность и неопределенность навязываются нам не экспериментальными фактами, а преднамеренным теоретическим выбором? ^[83]

С 1990-х годов возобновился интерес к формулированию расширений теории де Бройля-Бома, пытаясь примирить ее со специальной теорией относительности и квантовой теорией поля , помимо других особенностей, таких как спин или искривленная пространственная геометрия. ^[84]

Теория де Бройля–Бома имеет историю различных формулировок и названий. В этом разделе каждому этапу дается название и основная ссылка.

Теория пилот-волны

Луи де Бройль представил свою теорию волны-пилота на Сольвеевской конференции 1927 года ^[85] после тесного сотрудничества со Шредингером, ^{[ требуется ссылка ]} который разработал волновое уравнение для теории де Бройля. ^{[ требуется разъяснение ]} В конце презентации Вольфганг Паули указал, что она несовместима с полуклассической техникой, которую Ферми ранее принял в случае неупругого рассеяния. Вопреки популярной легенде, де Бройль на самом деле дал правильное опровержение, что эта конкретная техника не может быть обобщена для целей Паули, хотя аудитория могла потеряться в технических деталях, а мягкая манера де Бройля оставила впечатление, что возражение Паули было обоснованным. В конечном итоге его все же убедили отказаться от этой теории, потому что он был «обескуражен критикой, которую [она] вызвала». ^[86] Теория де Бройля уже применима к множественным бесспиновым частицам, но не имеет адекватной теории измерения, поскольку в то время никто не понимал квантовую декогеренцию . Анализ презентации де Бройля дан в работе Bacciagaluppi et al. ^{[ необходимо разъяснение ] [87] [88]} Кроме того, в 1932 году Джон фон Нейман опубликовал статью, ^[89] которая, как широко считалось (и ошибочно, как показал Джеффри Баб ^[90] ), доказывала, что все теории со скрытыми переменными невозможны. Это решило судьбу теории де Бройля на следующие два десятилетия.

В 1926 году Эрвин Маделунг разработал гидродинамическую версию уравнения Шредингера , которая ошибочно ^{[ требуется ссылка ]} рассматривается как основа для вывода плотности тока теории де Бройля–Бома. ^[91] Уравнения Маделунга , являясь квантовыми уравнениями Эйлера (гидродинамики) , философски отличаются от механики де Бройля–Бома ^[92] и являются основой стохастической интерпретации квантовой механики.

Питер Р. Холланд указал, что ранее в 1927 году Эйнштейн фактически представил препринт с аналогичным предложением, но, не убедившись, отозвал его до публикации. ^[93] По словам Холланда, неспособность оценить ключевые моменты теории де Бройля-Бома привела к путанице, ключевым моментом которой является то, что «траектории многочастичной квантовой системы коррелируют не потому, что частицы оказывают друг на друга прямую силу ( à la Кулон), а потому, что на все действует сущность — математически описываемая волновой функцией или ее функциями — которая лежит за их пределами». ^[94] Эта сущность — квантовый потенциал .

После публикации популярного учебника по квантовой механике, который полностью придерживался копенгагенской ортодоксальности, Бом был убежден Эйнштейном критически взглянуть на теорему фон Неймана. Результатом стала «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых переменных» I и II» [Бом 1952]. Это было независимое возникновение теории волны-пилота, и расширение ее для включения последовательной теории измерения и для ответа на критику Паули, на которую де Бройль должным образом не отреагировал; она считается детерминированной (хотя Бом намекал в оригинальных статьях, что в ней должны быть нарушения, подобно тому, как броуновское движение нарушает ньютоновскую механику). Этот этап известен как теория де Бройля–Бома в работе Белла [Белл 1987] и является основой для «Квантовой теории движения» [Холланд 1993].

Этот этап применим к нескольким частицам и является детерминированным.

Теория де Бройля–Бома является примером теории скрытых переменных . Первоначально Бом надеялся, что скрытые переменные могут обеспечить локальное , причинное , объективное описание, которое разрешит или устранит многие парадоксы квантовой механики, такие как кот Шредингера , проблема измерения и коллапс волновой функции. Однако теорема Белла усложняет эту надежду, поскольку она показывает, что не может быть локальной теории скрытых переменных, которая была бы совместима с предсказаниями квантовой механики. Интерпретация Бома является причинной , но не локальной .

Статья Бома была в значительной степени проигнорирована или раскритикована другими физиками. Альберт Эйнштейн , который предложил Бому поискать реалистическую альтернативу преобладающему Копенгагенскому подходу , не считал интерпретацию Бома удовлетворительным ответом на вопрос квантовой нелокальности, называя ее «слишком дешевой» ^[95] , в то время как Вернер Гейзенберг считал ее «излишней „идеологической надстройкой“». ^[96] Вольфганг Паули , которого де Бройль не убедил в 1927 году, признался Бому следующим образом:

Я только что получил ваше длинное письмо от 20 ноября, и я также более тщательно изучил детали вашей статьи. Я больше не вижу возможности какого-либо логического противоречия, пока ваши результаты полностью согласуются с результатами обычной волновой механики и пока не будет предоставлено никаких средств для измерения значений ваших скрытых параметров как в измерительном аппарате, так и в системе наблюдения [sic]. Насколько все обстоит сейчас, ваши «дополнительные волново-механические предсказания» все еще являются чеком, который не может быть обналичен. ^[97]

Впоследствии он описал теорию Бома как «искусственную метафизику». ^[98]

По словам физика Макса Дрездена , когда теория Бома была представлена ​​в Институте перспективных исследований в Принстоне, многие возражения были ad hominem , и основное внимание уделялось симпатиям Бома к коммунистам, примером чего является его отказ давать показания в Комиссии по расследованию антиамериканской деятельности Палаты представителей . ^[99]

В 1979 году Крис Филиппидис, Крис Дьюдни и Бэзил Хайли первыми выполнили численные вычисления на основе квантового потенциала для вывода ансамблей траекторий частиц. ^{[100] [101]} Их работа возобновила интерес физиков к интерпретации квантовой физики Бома. ^[102]

В конце концов Джон Белл начал защищать эту теорию. В «Выразимое и невыразимое в квантовой механике» [Белл 1987] несколько статей ссылаются на теории скрытых переменных (включая теорию Бома).

Некоторые назвали траектории модели Бома, которые возникли бы в результате определенных экспериментальных установок, «сюрреалистичными». ^{[103] [104]} Еще в 2016 году физик-математик Шелдон Голдштейн сказал о теории Бома: «Было время, когда о ней даже нельзя было говорить, потому что она была еретической. Вероятно, для карьеры физика работа над Бомом все еще остается поцелуем смерти, но, возможно, это меняется». ^[60]

Бохмовская механика

Механика Бома — это та же теория, но с акцентом на понятии тока, которое определяется на основе гипотезы квантового равновесия , что вероятность следует правилу Борна. ^{[ требуется ссылка ]} Термин «механика Бома» также часто используется для включения большинства дальнейших расширений за пределами бесспиновой версии Бома. ^{[ требуется ссылка ]} В то время как теория де Бройля–Бома имеет лагранжианы и уравнения Гамильтона-Якоби в качестве основного фокуса и фона, с иконкой квантового потенциала , механика Бома рассматривает уравнение непрерывности как первичное и имеет руководящее уравнение в качестве его иконки. Они математически эквивалентны в той мере, в какой применяется формулировка Гамильтона-Якоби, т. е. бесспиновые частицы.

Вся нерелятивистская квантовая механика может быть полностью учтена в этой теории. Недавние исследования использовали этот формализм для вычисления эволюции квантовых систем многих тел, со значительным увеличением скорости по сравнению с другими квантовыми методами. ^[105]

Причинная интерпретация и онтологическая интерпретация

Бом развил свои оригинальные идеи, назвав их Каузальной интерпретацией . Позже он почувствовал, что каузальная интерпретация звучит слишком похоже на детерминистскую и предпочел назвать свою теорию Онтологической интерпретацией . Основной источник — «Неразделенная Вселенная» (Бом, Хайли, 1993).

Этот этап охватывает работу Бома и в сотрудничестве с Жаном-Пьером Вижье и Бэзилом Хайли. Бом ясно дает понять, что эта теория недетерминирована (работа с Хайли включает стохастическую теорию). Таким образом, эта теория, строго говоря, не является формулировкой теории де Бройля–Бома, но она заслуживает упоминания здесь, поскольку термин «интерпретация Бома» неоднозначен между этой теорией и теорией де Бройля–Бома.

В 1996 году философ науки Артур Файн дал глубокий анализ возможных интерпретаций модели Бома 1952 года. ^[106]

Уильям Симпсон предложил гилеморфную интерпретацию бомовской механики, в которой космос является аристотелевской субстанцией, состоящей из материальных частиц и субстанциальной формы. Волновой функции отводится диспозиционная роль в хореографии траекторий частиц. ^[107]

Гидродинамические квантовые аналоги

Эксперименты по гидродинамическим аналогам квантовой механики, начинающиеся с работы Коудера и Форта (2006) ^{[108] [109],} подразумевали демонстрацию того, что макроскопические классические пилотные волны могут демонстрировать характеристики, которые ранее считались ограниченными квантовой областью. Гидродинамические аналоги пилотных волн, как утверждалось, дублируют эксперимент с двумя щелями, туннелирование, квантованные орбиты и многочисленные другие квантовые явления, которые привели к возрождению интереса к теориям пилотных волн. ^{[110] [111] [112]} Аналоги сравнивались с волной Фарадея . ^[113] Эти результаты были оспорены: эксперименты не смогли воспроизвести аспекты экспериментов с двумя щелями. ^{[114] [115]} Высокоточные измерения в случае туннелирования указывают на иное происхождение непредсказуемого пересечения: вместо неопределенности начального положения или шума окружающей среды, по-видимому, задействованы взаимодействия на барьере. ^[116]

Другой классический аналог был зарегистрирован в поверхностных гравитационных волнах. ^[117]

Сюрреалистические траектории

В 1992 году Энглерт, Скалли, Сассман и Вальтер предложили эксперименты, которые показали бы, что частицы выбирают пути, отличные от траекторий Бома. ^[103] Они описали траектории Бома как «сюрреалистические»; их предложение позже было названо ESSW по фамилиям авторов. ^[123] В 2016 году Малер и др. проверили предсказания ESSW. Однако они предполагают, что сюрреалистический эффект является следствием нелокальности, присущей теории Бома. ^{[123] [124]}

Смотрите также

• Уравнения Маделунга
• Локальная теория скрытых переменных
• Теория сверхтекучего вакуума
• Аналоги жидкости в квантовой механике
• Вероятность тока

Примечания

1. Также известна как теория волны-пилота , механика Бома , интерпретация Бома и причинная интерпретация .

Ссылки

1. Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах "скрытых переменных" I". Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode :1952PhRv...85..166B. doi :10.1103/PhysRev.85.166. В отличие от обычной интерпретации, эта альтернативная интерпретация позволяет нам рассматривать каждую индивидуальную систему как находящуюся в точно определяемом состоянии, изменения которого со временем определяются определенными законами, аналогичными (но не идентичными) классическим уравнениям движения. Квантово-механические вероятности рассматриваются (как и их аналоги в классической статистической механике) только как практическая необходимость, а не как неотъемлемое отсутствие полной определенности в свойствах материи на квантовом уровне.
2. Публикации Д. Бома в 1952 и 1953 годах и Ж.-П. Вижье в 1954 году, цитируемые в Энтони Валентини; Ганс Вестман (2005). "Динамическое происхождение квантовых вероятностей". Proc. R. Soc. A. 461 ( 2053): 253–272. arXiv : quant-ph/0403034 . Bibcode : 2005RSPSA.461..253V. CiteSeerX 10.1.1.252.849 . doi : 10.1098/rspa.2004.1394. S2CID  6589887. стр. 254.
3. Кочиш, Саша; Браверман, Борис; Равец, Сильвен; Стивенс, Мартин Дж.; Мирин, Ричард П.; Шальм, Л. Кристер; Стейнберг, Эфраим М. (3 июня 2011 г.). «Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре». Science . 332 (6034): 1170–1173. Bibcode :2011Sci...332.1170K. doi :10.1126/science.1202218. ISSN  0036-8075. PMID  21636767. S2CID  27351467.
4. Цайлингер, Антон (1 марта 1999 г.). «Эксперимент и основы квантовой физики». Reviews of Modern Physics . 71 (2): S288–S297. doi :10.1103/RevModPhys.71.S288. ISSN  0034-6861.
5. Пассон, Оливер (1 ноября 2004 г.). «Как преподавать квантовую механику». European Journal of Physics . 25 (6): 765–769. arXiv : quant-ph/0404128 . doi : 10.1088/0143-0807/25/6/008. ISSN  0143-0807.
6. Бом, Дэвид (1957). Причинность и случайность в современной физике . Рутледж и Кеган Пол и Д. Ван Ностранд. ISBN 978-0-8122-1002-6.
7. Д. Бом и Б. Хайли: Неразделенная вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , стр. 37.
8. HR Brown, C. Dewdney и G. Horton: «Частицы Бома и их обнаружение в свете нейтронной интерферометрии», Foundations of Physics , 1995, том 25, номер 2, стр. 329–347.
9. Дж. Анандан, «Проблема квантовых измерений и возможная роль гравитационного поля», Foundations of Physics , март 1999 г., том 29, выпуск 3, стр. 333–348.
10. Бом, Дэвид; Хайли, Бэзил Дж. (1995). Неразделенная вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории. Routledge. стр. 24. ISBN 978-0-415-12185-9.
11. Холланд, Питер Р. (26 января 1995 г.). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройля-Бома. Cambridge University Press. стр. 26. ISBN 978-0-521-48543-2.
12. Холланд, П. (2001). "Гамильтонова теория волн и частиц в квантовой механике II: теория Гамильтона-Якоби и обратная реакция частиц" (PDF) . Nuovo Cimento B . 116 (10): 1143–1172. Bibcode :2001NCimB.116.1143H. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2011 г. . Получено 1 августа 2011 г. .
13. Bohm, David (15 января 1952 г.). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых» переменных. I». Physical Review . 85 (2): 166–179. doi :10.1103/PhysRev.85.166. ISSN  0031-899X.
14. Дюрр, Д.; Голдштейн, С.; Занги, Н. (1992). «Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности». Журнал статистической физики . 67 (5–6): 843–907. arXiv : quant-ph/0308039 . Bibcode :1992JSP....67..843D. doi :10.1007/BF01049004. S2CID  15749334.
15. Towler, MD; Russell, NJ; Valentini, A. (2012). "Временные шкалы для динамической релаксации к правилу Борна". Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 468 (2140): 990. arXiv : 1103.1589 . Bibcode :2012RSPSA.468..990T. doi :10.1098/rspa.2011.0598. S2CID  119178440.. Видеозапись изменения электронной плотности в двумерном ящике в ходе этого процесса доступна здесь. Архивировано 3 марта 2016 г. на Wayback Machine .
16. Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Занги, Нино (2003). «Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности». Журнал статистической физики . 67 (5–6): 843–907. arXiv : quant-ph/0308039 . Bibcode :1992JSP....67..843D. doi :10.1007/BF01049004. S2CID  15749334.
17. Пассон, Оливер (2006). «То, что вы всегда хотели знать о бомовской механике, но боялись спросить». Физика и философия . 3 (2006). arXiv : quant-ph/0611032 . Bibcode :2006quant.ph.11032P. doi :10.17877/DE290R-14213. hdl :2003/23108. S2CID  45526627.
18. Николич, Х. (2004). «Траектории бомовских частиц в релятивистской бозонной квантовой теории поля». Foundations of Physics Letters . 17 (4): 363–380. arXiv : quant-ph/0208185 . Bibcode : 2004FoPhL..17..363N. CiteSeerX 10.1.1.253.838 . doi : 10.1023/B:FOPL.0000035670.31755.0a. S2CID  1927035. 
19. Николич, Х. (2005). «Траектории бомовских частиц в релятивистской фермионной квантовой теории поля». Foundations of Physics Letters . 18 (2): 123–138. arXiv : quant-ph/0302152 . Bibcode : 2005FoPhL..18..123N. doi : 10.1007/s10702-005-3957-3. S2CID  15304186.
20. Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Мюнх-Берндль, К.; Занги, Н. (1999). «Модели гиперповерхности Бома–Дирака». Physical Review A. 60 ( 4): 2729–2736. arXiv : quant-ph/9801070 . Bibcode : 1999PhRvA..60.2729D. doi : 10.1103/physreva.60.2729. S2CID  52562586.
21. Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Норсен, Трэвис; Струйве, Уорд; Занги, Нино (2014). «Можно ли сделать бомовскую механику релятивистской?». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 470 (2162): 20130699. arXiv : 1307.1714 . Bibcode : 2013RSPSA.47030699D. doi : 10.1098/rspa.2013.0699. PMC 3896068. PMID  24511259 . 
22. Ghose, Partha (1996). "Релятивистская квантовая механика бозонов со спином 0 и спином 1". Foundations of Physics . 26 (11): 1441–1455. Bibcode : 1996FoPh...26.1441G. doi : 10.1007/BF02272366. S2CID  121129680.
23. Cufaro Petroni, Nicola; Vigier, Jean-Pierre (2001). «Замечания о наблюдаемом сверхсветовом распространении света». Foundations of Physics Letters . 14 (4): 395–400. doi :10.1023/A:1012321402475. S2CID  120131595., там же: раздел 3. Выводы , стр. 399.
24. Ghose, Partha; Majumdar, AS; Guhab, S.; Sau, J. (2001). "Бомовские траектории для фотонов" (PDF) . Physics Letters A. 290 ( 5–6): 205–213. arXiv : quant-ph/0102071 . Bibcode : 2001PhLA..290..205G. doi : 10.1016/s0375-9601(01)00677-6. S2CID  54650214.
25. Саша Кочиш, Сильвен Равец, Борис Браверман, Кристер Шальм, Эфраим М. Штейнберг: «Наблюдение траекторий одиночного фотона с использованием слабых измерений». Архивировано 26 июня 2011 г. на 19-м конгрессе Австралийского института физики (AIP) Wayback Machine , 2010 г.
26. Кочиш, Саша; Браверман, Борис; Равец, Сильвен; Стивенс, Мартин Дж.; Мирин, Ричард П.; Шалм, Л. Кристер; Стейнберг, Эфраим М. (2011). «Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре». Science . 332 (6034): 1170–1173. Bibcode :2011Sci...332.1170K. doi :10.1126/science.1202218. PMID  21636767. S2CID  27351467.
27. Фанкхаузер Йоханнес, Дюрр Патрик (2021). «Как (не) понимать слабые измерения скорости». Исследования по истории и философии науки Часть A. 85 : 16–29. arXiv : 2309.10395 . Bibcode : 2021SHPSA..85...16F. doi : 10.1016/j.shpsa.2020.12.002 . ISSN  0039-3681. PMID  33966771.
28. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2002). «Релятивистски инвариантное расширение теории квантовой механики де Бройля-Бома». Журнал физики A: Mathematical and General . 35 (47): 10117–10127. arXiv : quant-ph/0202104 . Bibcode : 2002JPhA...3510117D. doi : 10.1088/0305-4470/35/47/311. S2CID  37082933.
29. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2004). «Релятивистски ковариантная версия квантовой теории поля Бома для скалярного поля». Журнал физики A: Mathematical and General . 37 (49): 11935–11943. arXiv : quant-ph/0407089 . Bibcode : 2004JPhA...3711935H. doi : 10.1088/0305-4470/37/49/011. S2CID  119468313.
30. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2010). «Релятивистская интерпретация скрытых переменных для массивного векторного поля на основе потоков энергии-импульса». Основы физики . 40 (6): 658–678. Bibcode :2010FoPh...40..658H. doi :10.1007/s10701-010-9456-9. S2CID  123511987.
31. Николич, Хрвое (2005). «Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация». Foundations of Physics Letters . 18 (6): 549–561. arXiv : quant-ph/0406173 . Bibcode : 2005FoPhL..18..549N. CiteSeerX 10.1.1.252.6803 . doi : 10.1007/s10702-005-1128-1. S2CID  14006204. 
32. Nikolic, H (2010). "QFT как пилот-волновая теория создания и уничтожения частиц". International Journal of Modern Physics . 25 (7): 1477–1505. arXiv : 0904.2287 . Bibcode : 2010IJMPA..25.1477N. doi : 10.1142/s0217751x10047889. S2CID  18468330.
33. Николич, Х. (2009). «Время в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике». International Journal of Quantum Information . 7 (3): 595–602. arXiv : 0811.1905 . Bibcode : 2008arXiv0811.1905N. doi : 10.1142/s021974990900516x. S2CID  17294178.
34. Николич, Х. (2011). «Создание нелокальной реальности, совместимой с теорией относительности». Int. J. Quantum Inf . 9 (2011): 367–377. arXiv : 1002.3226 . Bibcode :2010arXiv1002.3226N. doi :10.1142/S0219749911007344. S2CID  56513936.
35. Хрвое Николич: «Бомовская механика в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля и теории струн», 2007 Journal of Physics : Conf. Ser. 67 012035.
36. Sutherland, Roderick (2015). «Лагранжево описание для корпускулярных интерпретаций квантовой механики — случай запутанных многих частиц». Foundations of Physics . 47 (2): 174–207. arXiv : 1509.02442 . Bibcode : 2017FoPh...47..174S. doi : 10.1007/s10701-016-0043-6. S2CID  118366293.
37. Пенья, Луис де ла; Четто, Ана Мария; Вальдес-Эрнандес, Андреа (2014). Возникающий квант: физика, лежащая в основе квантовой механики. п. 95. дои : 10.1007/978-3-319-07893-9. ISBN 978-3-319-07893-9.
38. Грёссинг, Г.; Фусси, С.; Меса Паскасио, Дж.; Швабль, Х. (2012). «Объяснение эффектов интерференции в эксперименте с двумя щелями: классические траектории плюс баллистическая диффузия, вызванная флуктуациями нулевой точки». Annals of Physics . 327 (2): 421–437. arXiv : 1106.5994 . Bibcode :2012AnPhy.327..421G. doi :10.1016/j.aop.2011.11.010. S2CID  117642446.
39. Грёссинг, Г.; Фусси, С.; Меса Паскасио, Дж.; Швабль, Х. (2012). «Квант как эмерджентная система». Journal of Physics: Conference Series . 361 (1): 012008. arXiv : 1205.3393 . Bibcode : 2012JPhCS.361a2008G. doi : 10.1088/1742-6596/361/1/012008. S2CID  119307454.
40. Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Тумулка, Родерих; Занги, Нино (2004). "Бомовская механика и квантовая теория поля". Physical Review Letters . 93 (9): 090402. arXiv : quant-ph/0303156 . Bibcode : 2004PhRvL..93i0402D. CiteSeerX 10.1.1.8.8444 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.090402. PMID  15447078. S2CID  8720296. 
41. Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Тумулка, Родерих; Занги, Нино (2005). «Теории квантового поля типа Белла». Журнал физики A: Математический и общий . 38 (4): R1. arXiv : quant-ph/0407116 . Bibcode : 2005JPhA...38R...1D. doi : 10.1088/0305-4470/38/4/R01. S2CID  15547226.
42. Дюрр, Д.; Голдштейн, С.; Тейлор, Дж.; Тумулка, Р.; Занги, Н. (2007). «Квантовая механика в многосвязных пространствах». J. Phys. A. 40 ( 12): 2997–3031. arXiv : quant-ph/0506173 . Bibcode : 2007JPhA...40.2997D. doi : 10.1088/1751-8113/40/12/s08. S2CID  119410880.
43. Fabbri, Luca (2022). "формулировка полей Дирака де Бройля-Бома". Foundations of Physics . 52 (6): 116. arXiv : 2207.05755 . Bibcode : 2022FoPh...52..116F. doi : 10.1007/s10701-022-00641-2. S2CID  250491612.
44. Fabbri, Luca (2023). "Теория Дирака в гидродинамической форме". Основы физики . 53 (3): 54. arXiv : 2303.17461 . Bibcode : 2023FoPh...53...54F. doi : 10.1007/s10701-023-00695-w. S2CID  257833858.
45. FR Benard Guedes, NJ Popławski (2024). "Общерелятивистский корпускулярно-волновой дуализм с кручением". Classical and Quantum Gravity . 41 (6): 065011. arXiv : 2211.03234 . doi : 10.1088/1361-6382/ad1fcb.
46. SK Wong (1972). «Уравнения движения Гейзенберга для волнового уравнения спина 1/2 в общей теории относительности». Международный журнал теоретической физики . 5 (4): 221–230. doi :10.1007/BF00670477.
47. Валентини, Энтони (2013). «Скрытые переменные в современной космологии». Философия космологии. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Получено 23 декабря 2016 г. – через YouTube.
48. См. например, Детлеф Дюрр, Шелдон Голдштейн, Нино Занги: Бомовская механика и квантовое равновесие , Стохастические процессы, физика и геометрия II. World Scientific, 1995, стр. 5
49. Валентини, А (1991). «Локальность сигнала, неопределенность и субквантовая H-теорема. II». Physics Letters A. 158 ( 1–2): 1–8. Bibcode :1991PhLA..158....1V. doi :10.1016/0375-9601(91)90330-b.
50. Валентини, Энтони (2009). «За пределами кванта». Physics World . 22 (11): 32–37. arXiv : 1001.2758 . Bibcode : 2009PhyW...22k..32V. doi : 10.1088/2058-7058/22/11/36. ISSN  0953-8585. S2CID  86861670.
51. Массер, Джордж (18 ноября 2013 г.). «Космологические данные намекают на уровень физики, лежащей в основе квантовой механики». blogs.scientificamerican.com . Scientific American . Получено 5 декабря 2016 г. .
52. Bell, John S. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33495-2.
53. Альберт, ДЗ, 1992, Квантовая механика и опыт, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
54. Даумер, М.; Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Занги, Н. (1997). «Наивный реализм в отношении операторов». Erkenntnis . 45 (2–3): 379–397. arXiv : quant-ph/9601013 . Bibcode : 1996quant.ph..1013D. doi : 10.1007/BF00276801.
55. Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Занги, Нино (2003). «Квантовое равновесие и роль операторов как наблюдаемых в квантовой теории». Журнал статистической физики . 116 (1–4): 959. arXiv : quant-ph/0308038 . Bibcode : 2004JSP...116..959D. CiteSeerX 10.1.1.252.1653 . doi : 10.1023/B:JOSS.0000037234.80916.d0. S2CID  123303. 
56. Хайман, Росс; Колдуэлл, Шейн А; Далтон, Эдвард (2004). «Бомовская механика с дискретными операторами». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (44): L547. arXiv : quant-ph/0401008 . Bibcode : 2004JPhA...37L.547H. doi : 10.1088/0305-4470/37/44/L02. S2CID  6073288.
57. Дэвид Бом, Бэзил Хайли: Неразделенная Вселенная: Онтологическая интерпретация квантовой теории , издание опубликовано в электронной библиотеке Taylor & Francis 2009 (первое издание Routledge, 1993), ISBN 0-203-98038-7 , стр. 2. 
58. "Хотя проверяемые предсказания бомовской механики изоморфны стандартной копенгагенской квантовой механике, ее скрытые переменные, лежащие в ее основе, должны быть, в принципе, ненаблюдаемыми. Если бы кто-то мог их наблюдать, он мог бы воспользоваться этим и подать сигнал быстрее света, что — согласно специальной теории относительности — приводит к физическим временным парадоксам". J. Kofler и A. Zeiliinger, "Quantum Information and Randomness", European Review (2010), Vol. 18, No. 4, 469–480.
59. Малер, Д. Х.; Розема, Л.; Фишер, К.; Вермейден, Л.; Реш, К. Дж.; Вайсман, Х. М.; Стейнберг, А. (2016). «Экспериментальные нелокальные и сюрреалистические бомовские траектории». Sci Adv . 2 (2): e1501466. doi :10.1126/science.1501466. PMC 4788483. PMID  26989784 . 
60. Анил Анантасвами: Квантовая странность может в конце концов скрывать упорядоченную реальность, newscientist.com, 19 февраля 2016 г.
61. Гольшани, М. и О. Ахаван. «Бомовское предсказание об эксперименте с двумя двойными щелями и его несоответствие стандартной квантовой механике». Журнал физики A: Mathematical and General 34.25 (2001): 5259.
62. Брида, Г.; Кальеро, Э.; Фальцетта, Г.; Дженовезе, М.; Граменья, М.; Новеро, К. (2002). «Первая экспериментальная проверка теории де Бройля-Бома против стандартной квантовой механики». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 35 (22): 4751. arXiv : quant-ph/0206196 . Bibcode : 2002JPhB...35.4751B. doi : 10.1088/0953-4075/35/22/316. S2CID  250773374.
63. Struyve, W.; De Baere, W. (2001). "Комментарии к некоторым недавно предложенным экспериментам, которые должны отличать бомовскую механику от квантовой механики". Квантовая теория: Пересмотр основ . Vaxjo: Vaxjo University Press. стр. 355. arXiv : quant-ph/0108038 . Bibcode : 2001quant.ph..8038S.
64. Брида, Г.; Кальеро, Э.; Дженовезе, М.; Граменья, М. (28 сентября 2004 г.). «Ответ на комментарий к экспериментальной реализации первой проверки теории де Бройля–Бома». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 37 (18): 3781–3783. doi :10.1088/0953-4075/37/18/N02. ISSN  0953-4075.
65. Белл Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Physics Physique Fizika . 1 (3): 195. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
66. Эйнштейн; Подольский; Розен (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Phys. Rev. 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
67. Белл, стр. 115.
68. Модлин, Т. (1994). Квантовая нелокальность и относительность: метафизические намеки современной физики . Кембридж, Массачусетс: Блэквелл. ISBN 978-0-631-18609-0.
69. Allori, V.; Dürr, D.; Goldstein, S.; Zanghi, N. (2002). «Семь шагов к классическому миру». Journal of Optics B. 4 ( 4): 482–488. arXiv : quant-ph/0112005 . Bibcode : 2002JOptB...4S.482A. doi : 10.1088/1464-4266/4/4/344. S2CID  45059773.
70. Уайетт, Роберт (11 октября 2007 г.). «Краткая история моей жизни и моей карьеры в квантовом распространении». Журнал физической химии A . 111 (41): 10171–10185. Bibcode :2007JPCA..11110171.. doi :10.1021/jp079540+. PMID  17927265 . Получено 18 марта 2023 г. .
71. "Bittner Group Webpage". k2.chem.uh.edu . 10 марта 2021 г. Архивировано из оригинала 5 августа 2021 г. Получено 10 июля 2024 г.
72. Валентини, Энтони; Вестман, Ганс (2012). «Объединение Бома и Эверетта: аксиоматика для автономной квантовой механики». arXiv : 1208.5632 [quant-ph].
73. Браун, Харви Р .; Уоллес, Дэвид (2005). «Решение проблемы измерения: де Бройль–Бом проигрывает Эверетту» (PDF) . Основы физики . 35 (4): 517–540. arXiv : quant-ph/0403094 . Bibcode : 2005FoPh...35..517B. doi : 10.1007/s10701-004-2009-3. S2CID  412240.Аннотация: «Квантовая теория де Бройля и Бома решает проблему измерения, но гипотетические корпускулы не играют никакой роли в аргументации. Решение находит более естественное пристанище в интерпретации Эверетта».
74. Дэниел Деннетт (2000). С небольшой помощью моих друзей. В D. Ross, A. Brook, and D. Thompson (Eds.), Dennett's Philosophy: a complex assessment. MIT Press/Bradford, ISBN 0-262-68117-X . 
75. Дойч, Дэвид (1996). «Комментарий к Локвуду». Британский журнал философии науки . 47 (2): 222–228. doi :10.1093/bjps/47.2.222.
76. Дюрр, Детлеф; Лазаровичи, Джастин (2022). Понимание квантовой механики: мир в соответствии с современными квантовыми основами . Springer. ISBN 978-3-030-40067-5.
77. См. раздел VI диссертации Эверетта «Теория универсальной волновой функции», стр. 3–140 в книге Брайса Селигмана ДеВитта , Р. Нила Грэма, « Многомировая интерпретация квантовой механики» , Принстонская серия по физике, Princeton University Press (1973), ISBN 0-691-08131-X . 
78. Каллендер, Крейг . Аргумент избыточности против бомовской механики (отчет). Архивировано из оригинала 12 июня 2010 г. Получено 23 ноября 2009 г.
79. Валентини, Энтони (2010). «Теория волны-пилота Де Бройля-Бома: множество миров в отрицании?». В Saunders, Simon; Barrett, Jon; Kent, Adrian (ред.). Множество миров? Эверетт, квантовая теория и реальность . Том 2010. Oxford University Press. стр. 476–509. arXiv : 0811.0810 . Bibcode :2008arXiv0811.0810V. doi :10.1093/acprof:oso/9780199560561.003.0019. ISBN 978-0-19-956056-1.
80. Холланд, Питер (2001). "Гамильтонова теория волн и частиц в квантовой механике I, II" (PDF) . Nuovo Cimento B. 116 : 1043, 1143. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2011 г. Получено 17 июля 2011 г.
81. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 году, переведено в цифровую печать в 2004 году), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 66 и далее. 
82. Ф. Дэвид Пит, Бесконечный потенциал: жизнь и времена Дэвида Бома (1997), стр. 133. Джеймс Т. Кушинг, Квантовая механика: историческая случайность и копенгагенская гегемония (1994) обсуждает «гегемонию копенгагенской интерпретации квантовой механики» над теориями, подобными бомовской механике, как пример того, как принятие научных теорий может определяться социальными аспектами.
83. Белл, Дж. С. (1 октября 1982 г.). «О невозможной пилотной волне». Foundations of Physics . 12 (10): 989–999. Bibcode : 1982FoPh...12..989B. doi : 10.1007/BF01889272. ISSN  1572-9516. S2CID  120592799.
84. Дэвид Бом и Базиль Дж. Хайли, «Неразделенная Вселенная – Онтологическая интерпретация квантовой теории» появилась после смерти Бома, в 1993 году; рецензирована Шелдоном Голдштейном в Physics Today (1994). Дж. Кушинг, А. Файн, С. Голдштейн (ред.), «Бомовская механика и квантовая теория – оценка» (1996).
85. Сольвеевская конференция, 1928, Электроны и фотоны: отчеты и обсуждения Cinquieme Conseil de Physique tenu a Bruxelles du 24 или 29 октября 1927 г. под руководством Международного института физики Solvay
86. Луи Бройль, в предисловии к книге Дэвида Бома «Причинность и случайность в современной физике» (1957). px
87. Баччагалуппи, Г. и Валентини, А., «Квантовая теория на перепутье: переосмысление Сольвеевской конференции 1927 года»
88. См. краткое изложение Таулера, М., «Теория волны-пилота, метафизика Бома и основы квантовой механики». Архивировано 22 марта 2016 г. на Wayback Machine.
89. фон Нейман, Дж. 1932 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
90. Баб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана «отсутствие скрытых переменных»: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Bibcode :2010FoPh...40.1333B. doi :10.1007/s10701-010-9480-9. S2CID  118595119.
91. Маделунг, Э. (1927). «Квантовая теория в гидродинамической форме». З. Физ. 40 (3–4): 322–326. Бибкод : 1927ZPhy...40..322M. дои : 10.1007/BF01400372. S2CID  121537534.
92. Цеков, Румен (2012). «Механика Бома против квантовой гидродинамики Маделунга». Annuaire de l'Université de Sofia : 112–119. arXiv : 0904.0723 . Бибкод : 2012AUSFP..SE..112T. дои : 10.13140/RG.2.1.3663.8245. S2CID  59399059.
93. Холланд, Питер (2005). «Что не так с интерпретацией квантовой механики Эйнштейна 1927 года со скрытыми переменными?». Основы физики . 35 (2): 177–196. arXiv : quant-ph/0401017 . Bibcode :2005FoPh...35..177H. doi :10.1007/s10701-004-1940-7. S2CID  119426936.
94. Холланд, Питер (2005). «Что не так с интерпретацией квантовой механики Эйнштейна 1927 года со скрытыми переменными?». Основы физики . 35 (2): 177–196. arXiv : quant-ph/0401017 . Bibcode :2005FoPh...35..177H. doi :10.1007/s10701-004-1940-7. S2CID  119426936.
95. (Письмо Эйнштейна Максу Борну от 12 мая 1952 г., в «Письмах Борна–Эйнштейна» , Macmillan, 1971, стр. 192.
96. Вернер Гейзенберг, Физика и философия (1958), стр. 133.
97. Паули Бёму, 3 декабря 1951 г., в книге Вольфганга Паули «Научная переписка» , том IV – часть I, [ред. Карла фон Мейенна] (Берлин, 1996 г.), стр. 436–441.
98. Паули, В. (1953). «Замечания о проблемах с кэшами параметров в количественной механике и в теории летного пилота». В книге А. Джорджа (ред.), Луи де Бройля — врача и мыслителя (стр. 33–42). Париж: Издания Альбина Мишеля.
99. Ф. Дэвид Пит, Бесконечный потенциал: жизнь и времена Дэвида Бома (1997), стр. 133.
100. Заявление о том, что они были на самом деле первыми в: BJ Hiley: Nonlocality in microsystems , в: Joseph S. King, Karl H. Pribram (eds.): Scale in Conscious Experience: Is the Brain Too Important to be Left to Specialists to Study?, Psychology Press, 1995, стр. 318 и далее, стр. 319, где приводится ссылка на: Philippidis, C.; Dewdney, C.; Hiley, BJ (2007). "Quantum interference and the quantum potential". Il Nuovo Cimento B. 52 ( 1): 15. Bibcode : 1979NCimB..52...15P. doi : 10.1007/BF02743566. S2CID  53575967.
101. Оливал Фрейре-младший : Преемственность и изменение: схема развития идей Дэвида Бома по квантовой механике , в: Десио Краузе, Антонио Видейра (ред.): Бразильские исследования по философии и истории науки , Бостонские исследования по философии науки, Springer, ISBN 978-90-481-9421-6 , стр. 291–300, там же стр. 296–297 
102. Оливал Фрейре-младший: История без конца: споры о квантовой физике 1950–1970 гг. , Наука и образование, т. 12, стр. 573–586, 2003 г., стр. 576 Архивировано 10 марта 2014 г. в Wayback Machine
103. Энглерт, Бертольд-Георг; Скалли, Мэриан О.; Зюссманн, Георг; Вальтер, Герберт (1 декабря 1992 г.). «Сюрреалистические траектории Бома». Zeitschrift für Naturforschung A. 47 (12): 1175–1186. дои : 10.1515/zna-1992-1201 . ISSN  1865-7109.
104. Хайли, Б. Дж.; Э. Каллаган, Р.; Марони, О. (2000). «Квантовые траектории, реальные, сюрреалистичные или приближение к более глубокому процессу?». arXiv : quant-ph/0010020 .
105. Лардер и др. (2019) Быстрая неадиабатическая динамика многочастичных квантовых систем https://doi.org/10.1126/sciadv.aaw1634
106. А. Файн: «Об интерпретации бомовской механики», в: JT Cushing, A. Fine, S. Goldstein (ред.): Бомовская механика и квантовая теория: оценка , Springer, 1996, стр. 231−250.
107. Симпсон, В. М. Р. (2021). «Космический гилеморфизм: онтология квантовой механики с мощным потенциалом». Европейский журнал философии науки . 11 (28): 28. doi :10.1007/s13194-020-00342-5. ISSN  1879-4912. PMC 7831748. PMID 33520035  . 
108. Couder, Yves; Fort, Emmanuel (2006). «Дифракция и интерференция отдельных частиц в макроскопическом масштабе» (PDF) . Phys. Rev. Lett . 97 (15): 154101. Bibcode :2006PhRvL..97o4101C. doi :10.1103/PhysRevLett.97.154101. PMID  17155330.
109. Хардести, Ларри (12 сентября 2014 г.). «Механика жидкости предлагает альтернативу квантовой ортодоксии». news.mit.edu . Получено 7 декабря 2016 г.
110. Буш, Джон ВМ (2015). "Новая волна теории пилот-волны" (PDF) . Physics Today . 68 (8): 47. Bibcode :2015PhT....68h..47B. doi :10.1063/PT.3.2882. hdl : 1721.1/110524 . S2CID  17882118. Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2016 года . Получено 7 декабря 2016 года .
111. Буш, Джон ВМ (2015). «Гидродинамика пилот-волн». Annual Review of Fluid Mechanics . 47 (1): 269–292. Bibcode : 2015AnRFM..47..269B. doi : 10.1146/annurev-fluid-010814-014506. hdl : 1721.1/89790 .
112. Вулховер, Натали (24 июня 2014 г.). «Тесты жидкости намекают на конкретную квантовую реальность». Журнал Quanta . Получено 28 ноября 2016 г.
113. Джон В. М. Буш: «Квантовая механика в широком смысле». Архивировано 15 декабря 2017 г. на Wayback Machine .
114. Андерсен, Андерс; Мадсен, Якоб; Райхельт, Кристиан; Розенлунд Аль, Соня; Лаутруп, Бенни; Эллегаард, Клайв; Левинсен, Могенс Т.; Бор, Томас (6 июля 2015 г.). "Двухщелевой эксперимент с частицами, управляемыми одиночной волной, и его связь с квантовой механикой". Physical Review E. 92 ( 1): 013006. doi :10.1103/PhysRevE.92.013006. ISSN  1539-3755. PMID  26274269.
115. Wolchover, Natalie (11 октября 2018 г.). «Знаменитый эксперимент обрекает альтернативу квантовой странности». Журнал Quanta . Получено 17 октября 2018 г. Капли масла, направляемые «пилотными волнами», не смогли воспроизвести результаты квантового эксперимента с двумя щелями
116. Тадрист, Луик; Жиле, Тристан; Шлагхек, Питер; Буш, Джон WM (9 июля 2020 г.). «Предсказуемость в гидродинамической пилот-волновой системе: разрешение туннелирования шагохода». Physical Review E. 102 ( 1): 013104. doi :10.1103/PhysRevE.102.013104. ISSN  2470-0045. PMID  32795022.
117. Розенман, Георгий Гари; Бондарь, Денис И; Шлейх, Вольфганг П; Шемер, Лев; Арье, Ади А (10 марта 2023 г.). «Наблюдение траекторий Бома и квантовых потенциалов классических волн». Physica Scripta . 98 (4). IOP Publishing Ltd: 044004. doi : 10.1088/1402-4896/acb408 .
118. Буш, Джон ВМ (2015). «Гидродинамика пилот-волн» (PDF) . Annual Review of Fluid Mechanics . 47 (1): 269–292. Bibcode :2015AnRFM..47..269B. doi :10.1146/annurev-fluid-010814-014506. hdl : 1721.1/89790 .
119. Де Бройль, Луи (1956). «Предварительная причинно-следственная интерпретация и нелинейная механическая волнообразная обработка: (теория двойного решения)». Готье-Виллар .
120. де Бройль, Луи (1987). «Интерпретация квантовой механики с помощью теории двойных решений» (PDF) . Annales de la Fondation . 12 (4): 399–421. ISSN  0182-4295.
121. де ла Пенья, Луис; Четто, AM (1996). Квантовая кость: Введение в стохастическую электродинамику. Springer. doi :10.1007/978-94-015-8723-5. ISBN 978-90-481-4646-8.
122. Haisch, Bernard; Rueda, Alfonso (2000). «О связи между инерционным эффектом, вызванным полем нулевой точки, и формулой Эйнштейна-де Бройля». Physics Letters A. 268 ( 4–6): 224–227. arXiv : gr-qc/9906084 . Bibcode : 2000PhLA..268..224H. CiteSeerX 10.1.1.339.2104 . doi : 10.1016/S0375-9601(00)00186-9. S2CID  2030449. 
123. Малер, Дилан Х.; Розема, Ли; Фишер, Кент; Вермейден, Лидия; Реш, Кевин Дж.; Уайзман, Говард М.; Стейнберг, Эфраим (5 февраля 2016 г.). «Экспериментальные нелокальные и сюрреалистические бомовские траектории». Science Advances . 2 (2). doi :10.1126/sciadv.1501466. hdl : 10072/100637 . ISSN  2375-2548.
124. Фальк, Дэн (16 мая 2016 г.). «Новая поддержка альтернативной квантовой точки зрения». Журнал Quanta .

Источники

• Альберт, Дэвид З. (май 1994 г.). «Альтернатива квантовой механике Бома». Scientific American . 270 (5): 58–67. Bibcode : 1994SciAm.270e..58A. doi : 10.1038/scientificamerican0594-58.
• Barbosa, GD; N. Pinto-Neto (2004). "Бомовская интерпретация для некоммутативной скалярной теории поля и квантовой механики". Physical Review D. 69 ( 6): 065014. arXiv : hep-th/0304105 . Bibcode : 2004PhRvD..69f5014B. doi : 10.1103/PhysRevD.69.065014. S2CID  119525006.
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых переменных» I». Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode : 1952PhRv...85..166B. doi : 10.1103/PhysRev.85.166.(полный текст)
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых переменных», II». Physical Review . 85 (2): 180–193. Bibcode :1952PhRv...85..180B. doi :10.1103/PhysRev.85.180.(полный текст)
• Бом, Дэвид (1990). «Новая теория взаимоотношений разума и материи» (PDF) . Философская психология . 3 (2): 271–286. doi :10.1080/09515089008573004. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. . Получено 26 февраля 2013 г. .
• Бом, Дэвид; Б. Дж. Хайли (1993). Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории . Лондон: Routledge. ISBN 978-0-415-12185-9.
• Дюрр, Детлеф; Шелдон Голдштейн; Родерих Тумулка; Нино Занги (декабрь 2004 г.). "Бомовская механика" (PDF) . Physical Review Letters . 93 (9): 090402. arXiv : quant-ph/0303156 . Bibcode : 2004PhRvL..93i0402D. CiteSeerX  10.1.1.8.8444 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.090402. ISSN  0031-9007. PMID  15447078. S2CID  8720296.
• Голдштейн, Шелдон (2001). «Бомовская механика». Стэнфордская энциклопедия философии .
• Холл, Майкл Дж. У. (2004). «Неполнота интерпретаций квантовой механики на основе траекторий». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (40): 9549–9556. arXiv : quant-ph/0406054 . Bibcode : 2004JPhA...37.9549H. CiteSeerX  10.1.1.252.5757 . doi : 10.1088/0305-4470/37/40/015. S2CID  15196269.(Демонстрирует неполноту интерпретации Бома перед лицом фрактальных, нигде не дифференцируемых волновых функций.)
• Холланд, Питер Р. (1993). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройля–Бома . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-48543-2.
• Николич, Х. (2005). «Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация». Foundations of Physics Letters . 18 (6): 549–561. arXiv : quant-ph/0406173 . Bibcode : 2005FoPhL..18..549N. CiteSeerX  10.1.1.252.6803 . doi : 10.1007/s10702-005-1128-1. S2CID  14006204.
• Пассон, Оливер (2004). «Почему не каждый физик — бомовец?». arXiv : quant-ph/0412119 .
• Sanz, AS; F. Borondo (2007). «Бомовский взгляд на квантовую декогеренцию». European Physical Journal D. 44 ( 2): 319–326. arXiv : quant-ph/0310096 . Bibcode : 2007EPJD...44..319S. doi : 10.1140/epjd/e2007-00191-8. S2CID  18449109.
• Sanz, AS (2005). «Бомовский подход к квантовым фракталам». Journal of Physics A: Mathematical and General . 38 (26): 6037–6049. arXiv : quant-ph/0412050 . Bibcode :2005JPhA...38.6037S. doi :10.1088/0305-4470/38/26/013. S2CID  17633797.(Описывает бомовское решение дилеммы, создаваемой недифференцируемыми волновыми функциями.)
• Сильверман, Марк П. (1993). И все же оно движется: странные системы и тонкие вопросы физики . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44631-0.
• Стритер, Рэй Ф. (2003). «Бомовская механика — это „безнадежное дело“». Архивировано из оригинала 13 июня 2006 г. Получено 25 июня 2006 г.
• Valentini, Antony ; Hans Westman (2005). "Dynamical Origin of Quantum Probabilities". Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 461 (2053): 253–272. arXiv : quant-ph/0403034 . Bibcode :2005RSPSA.461..253V. CiteSeerX  10.1.1.252.849 . doi :10.1098/rspa.2004.1394. S2CID  6589887.
• Бомовская механика на arxiv.org

Дальнейшее чтение

• Джон С. Белл : Выразимое и невыразимое в квантовой механике: Сборник статей по квантовой философии , Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-81862-1 
• Дэвид Бом , Бэзил Хайли : Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Routledge Chapman & Hall, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• Детлеф Дюрр, Шелдон Гольдштейн, Нино Занги: квантовая физика без квантовой философии , Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30690-7 
• Детлеф Дюрр, Стефан Тойфель: Бомовская механика: физика и математика квантовой теории , Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89343-1 
• Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 

Внешние ссылки

• «Pilot-Wave Hydrodynamics» Архивировано 18 марта 2021 г. в Wayback Machine Bush, JWM, Annual Review of Fluid Mechanics , 2015 г.
• «Бомовская механика» (Стэнфордская энциклопедия философии)
• О'Дауд, Мэтт (30 ноября 2016 г.). «Теория волны-пилота и квантовый реализм». PBS Space Time . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. – через YouTube.
• «Видеоролики с ответами на часто задаваемые вопросы о бомовской механике» – на YouTube.
• «Bohmian-Mechanics.net», домашняя страница международной исследовательской сети по бомовской механике, созданной Д. Дюрром, С. Гольдштейном и Н. Занги.
• Рабочая группа по бомовской механике в Университете Людвига-Максимилиана в Мюнхене (Д. Дюрр)
• Группа механики Бома в Университете Инсбрука (Г. Грюбль) Архивировано 25 ноября 2014 г. на Wayback Machine
• «Пилотные волны, бомовская метафизика и основы квантовой механики». Архивировано 10 апреля 2016 г. в Wayback Machine , курс лекций по теории де Бройля-Бома Майка Таулера , Кембриджский университет.
• «Направления 21-го века в теории де Бройля-Бома и далее», международная конференция по теории де Бройля-Бома, август 2010 г. Сайт содержит слайды всех докладов – новейшие передовые исследования deBB.
• «Наблюдение траекторий одиночного фотона с использованием слабых измерений»
• «Бомовские траектории больше не являются «скрытыми переменными»»
• Общество Дэвида Бома
• Теория де Бройля–Бома вдохновила на визуализацию атомных орбиталей.