Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности или уравнение переноса — это уравнение , описывающее перенос некоторой величины. Оно особенно просто и эффективно, когда применяется к сохраняющейся величине , но его можно обобщить для применения к любой обширной величине . Поскольку масса , энергия , импульс , электрический заряд и другие естественные величины сохраняются при соответствующих им условиях, с помощью уравнений непрерывности можно описать множество физических явлений.

Уравнения непрерывности являются более сильной, локальной формой законов сохранения . Например, слабая версия закона сохранения энергии гласит, что энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, т. е. общее количество энергии во вселенной фиксировано. Это утверждение не исключает возможности того, что некоторое количество энергии может исчезнуть из одной точки, одновременно появляясь в другой точке. Более сильное утверждение заключается в том, что энергия локально сохраняется: энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, и она не может « телепортироваться » из одного места в другое — она может перемещаться только непрерывным потоком. Уравнение непрерывности является математическим способом выражения такого рода утверждений. Например, уравнение непрерывности для электрического заряда гласит, что количество электрического заряда в любом объеме пространства может изменяться только на величину электрического тока, текущего в этот объем или из него через его границы.

Уравнения непрерывности в более общем смысле могут включать термины «источник» и «стоковый», которые позволяют им описывать величины, которые часто, но не всегда, сохраняются, например, плотность молекулярных видов, которые могут быть созданы или уничтожены химическими реакциями. В повседневном примере есть уравнение непрерывности для числа живых людей; оно имеет «исходный член», чтобы учитывать рождение людей, и «стоковый член», чтобы учитывать умирающих людей.

Любое уравнение непрерывности можно выразить в «интегральной форме» (в терминах интеграла потока ), которая применима к любой конечной области, или в «дифференциальной форме» (в терминах оператора дивергенции ), которая применима в точке.

Уравнения непрерывности лежат в основе более конкретных уравнений переноса, таких как уравнение конвекции-диффузии , уравнение переноса Больцмана и уравнения Навье-Стокса .

Потоки, управляемые уравнениями непрерывности, можно визуализировать с помощью диаграммы Сэнки .

Общее уравнение

Определение потока

Уравнение непрерывности полезно, когда поток может быть определен. Чтобы определить поток, сначала должна быть величина $q$ , которая может течь или двигаться, например, масса , энергия , электрический заряд , импульс , число молекул и т. д. Пусть $ρ$ будет объемной плотностью этой величины, то есть количеством $q$ на единицу объема.

Способ, которым течет эта величина $q,$ описывается ее потоком. Поток $q$ — это векторное поле , которое мы обозначаем как j . Вот несколько примеров и свойств потока:

Размерность потока — это «количество $q,$ протекающее в единицу времени через единицу площади». Например, в уравнении непрерывности массы для текущей воды, если 1 грамм воды в секунду течет по трубе с площадью поперечного сечения 1 см ² , то средний поток массы $j$ внутри трубы равен (1 г/с)/см ² , и его направление — вдоль трубы в направлении, в котором течет вода. За пределами трубы, где нет воды, поток равен нулю.
Если существует поле скорости $u$ , которое описывает соответствующий поток, — другими словами, если вся величина $q$ в точке $x$ движется со скоростью $u (x),$ — то поток по определению равен плотности, умноженной на поле скорости:

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

Например, если в уравнении неразрывности массы текущей воды

u

— скорость воды в каждой точке, а

ρ

— плотность воды в каждой точке, то

j

будет потоком массы, также известным как расход материала .

В известном примере поток электрического заряда — это плотность электрического тока .

Если имеется воображаемая поверхность $S$ , то поверхностный интеграл потока по $S$ равен количеству $q$ , проходящему через поверхность $S$ за единицу времени:

$({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

в котором есть поверхностный интеграл .

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

(Обратите внимание, что концепция, которая здесь называется «потоком», в некоторой литературе также называется плотностью потока , в этом контексте «поток» обозначает поверхностный интеграл плотности потока. Подробности см. в основной статье о потоке .)

Интегральная форма

Интегральная форма уравнения непрерывности гласит:

Количество $q$ в регионе увеличивается, когда дополнительный $q$ течет внутрь через поверхность региона, и уменьшается, когда он течет наружу;
Количество $q$ в регионе увеличивается, когда внутри региона создается новый $q , и уменьшается, когда$ $q$ уничтожается;
Помимо этих двух процессов, нет другого способа изменить величину $q$ в регионе.

Математически интегральная форма уравнения неразрывности, выражающая скорость увеличения $q$ в объеме $V,$ имеет вид:

${\frac {dq}{dt}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

В интегральной форме уравнения непрерывности $S$ — это любая замкнутая поверхность , которая полностью охватывает объем $V$ , как любая из поверхностей слева. $S$ не может быть поверхностью с границами, как те, что справа. (Поверхности синие, границы красные.)

где

$S$ — любая воображаемая замкнутая поверхность , охватывающая объем $V$ ,
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ обозначает поверхностный интеграл по этой замкнутой поверхности,
$q$ — общее количество количества в объеме $V$ ,
$j$ — поток $q$ ,
$t$ - время,
$Σ$ — это чистая скорость, с которой $q$ генерируется внутри объема $V$ за единицу времени. Когда $q$ генерируется, это называется источником q , и это делает $Σ$ более положительным. Когда $q$ разрушается, это называется стоком q $,$ и это делает $Σ$ более отрицательным. Этот термин иногда записывается как или общее изменение q от его генерации или разрушения внутри контрольного объема $.$ $dq/dt|_{\text{gen}}$

В простом примере $V$ может быть зданием, а $q$ может быть числом людей в здании. Поверхность $S$ будет состоять из стен, дверей, крыши и фундамента здания. Тогда уравнение непрерывности гласит, что число людей в здании увеличивается, когда люди входят в здание (внутренний поток через поверхность), уменьшается, когда люди выходят из здания (исходящий поток через поверхность), увеличивается, когда кто-то в здании рожает (источник, $Σ > 0$ ), и уменьшается, когда кто-то в здании умирает (сток, $Σ < 0$ ).

Дифференциальная форма

По теореме о дивергенции общее уравнение непрерывности можно также записать в «дифференциальной форме»:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

где

$\nabla\cdot$ — дивергенция ,
$ρ$ — плотность количества $q$ (т.е. количество $q$ на единицу объема),
$j$ — плотность потока $q$ (т.е. j = ρ v , где v — векторное поле, описывающее движение величины $q$ ),
$t$ - время,
$σ$ — это генерация $q$ на единицу объема за единицу времени. Термины, которые генерируют $q$ (т. е. $σ > 0$ ) или удаляют $q$ (т. е. $σ < 0$ ), называются «источниками» и «стоками» соответственно.

Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная от столь простого, как уравнение непрерывности объема, до столь сложного, как уравнения Навье–Стокса . Это уравнение также обобщает уравнение адвекции . Другие уравнения в физике, такие как закон Гаусса для электрического поля и закон Гаусса для гравитации , имеют схожую математическую форму с уравнением непрерывности, но обычно не называются термином «уравнение непрерывности», поскольку $j$ в этих случаях не представляет собой поток реальной физической величины.

В случае, если $q$ является сохраняющейся величиной , которая не может быть создана или уничтожена (например, энергия ), $σ = 0$ и уравнения становятся следующими: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Электромагнетизм

В электромагнитной теории уравнение непрерывности является эмпирическим законом, выражающим (локальное) сохранение заряда . Математически это автоматическое следствие уравнений Максвелла , хотя сохранение заряда более фундаментально, чем уравнения Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока J $($ в амперах на квадратный метр) равна отрицательной скорости изменения плотности заряда $ρ$ (в кулонах на кубический метр), $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Согласованность с уравнениями Максвелла

Одно из уравнений Максвелла , закон Ампера (с поправкой Максвелла) , гласит, что $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Взяв дивергенцию обеих сторон (дивергенция и частная производная по времени коммутируют), получаем, но дивергенция ротора равна нулю, так что $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

Но закон Гаусса (еще одно уравнение Максвелла) утверждает, что можно подставить в предыдущее уравнение, чтобы получить уравнение непрерывности $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

Ток — это движение заряда. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд движется из дифференциального объема (т. е. дивергенция плотности тока положительна), то количество заряда внутри этого объема будет уменьшаться, поэтому скорость изменения плотности заряда отрицательна. Таким образом, уравнение непрерывности равнозначно сохранению заряда.

Если существуют магнитные монополи , то должно существовать и уравнение непрерывности для монопольных токов; см. статью о монополях для получения информации об основах и двойственности между электрическими и магнитными токами.

Динамика жидкости

В гидродинамике уравнение неразрывности утверждает, что скорость, с которой масса входит в систему, равна скорости, с которой масса покидает систему, плюс накопление массы внутри системы. ^[1]^[2] Дифференциальная форма уравнения неразрывности имеет вид: ^[1] где ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

$ρ$ — плотность жидкости,
$t$ - время,
$u$ — векторное поле скорости потока .

Производную по времени можно понимать как накопление (или потерю) массы в системе, в то время как член дивергенции представляет собой разницу между потоком внутрь и потоком наружу. В этом контексте это уравнение также является одним из уравнений Эйлера (гидродинамика) . Уравнения Навье–Стокса образуют векторное уравнение непрерывности, описывающее сохранение линейного импульса .

Если жидкость несжимаема (объемная скорость деформации равна нулю), уравнение непрерывности массы упрощается до уравнения непрерывности объема: ^[3] , что означает, что расхождение поля скорости везде равно нулю. Физически это эквивалентно утверждению, что локальная скорость расширения объема равна нулю, поэтому поток воды через сужающуюся трубу будет регулироваться исключительно за счет увеличения своей скорости, поскольку вода в значительной степени несжимаема. $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$

Компьютерное зрение

В компьютерном зрении оптический поток — это модель видимого движения объектов в визуальной сцене. При условии, что яркость движущегося объекта не изменилась между двумя кадрами изображения, можно вывести уравнение оптического потока как: ^{[ необходима цитата ]} где ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$

$t$ - время,
$x, y$ координаты на изображении,
$I$ — интенсивность изображения в точке с координатами $(x, y)$ и во время $t$ ,
$V$ — вектор скорости оптического потокав координатах изображения $($ $x$ $,$ $y$ $)$ и времени $t$ $(V_{x},V_{y})$

Энергия и тепло

Закон сохранения энергии гласит, что энергия не может быть создана или уничтожена. (Ниже приведены нюансы, связанные с общей теорией относительности.) Поэтому существует уравнение непрерывности для потока энергии: где ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$

$u$ , локальная плотность энергии (энергия на единицу объема),
$q$ , поток энергии (передача энергии на единицу площади поперечного сечения за единицу времени) как вектор,

Важным практическим примером является поток тепла . Когда тепло течет внутри твердого тела, уравнение непрерывности можно объединить с законом Фурье (поток тепла пропорционален градиенту температуры), чтобы получить уравнение теплопроводности . Уравнение потока тепла также может иметь исходные члены: Хотя энергия не может быть создана или уничтожена, тепло может быть создано из других типов энергии, например, посредством трения или джоулева нагрева .

Распределение вероятностей

Если есть величина, которая непрерывно движется в соответствии со стохастическим (случайным) процессом, как местоположение одной растворенной молекулы с броуновским движением , то существует уравнение непрерывности для ее распределения вероятностей . Поток в этом случае представляет собой вероятность на единицу площади за единицу времени того, что частица проходит через поверхность. Согласно уравнению непрерывности, отрицательная дивергенция этого потока равна скорости изменения плотности вероятности . Уравнение непрерывности отражает тот факт, что молекула всегда находится где-то — интеграл ее распределения вероятностей всегда равен 1 — и что она движется непрерывным движением (без телепортации ).

Квантовая механика

Квантовая механика — это еще одна область, где есть уравнение непрерывности, связанное с сохранением вероятности . Термины в уравнении требуют следующих определений и немного менее очевидны, чем другие примеры выше, поэтому они изложены здесь:

Волновая функция Ψ $для$ отдельной частицы в пространстве положений (а не в пространстве импульсов ), то есть функция положения $r$ и времени $t$ , $Ψ = Ψ(r, t)$ .
Функция плотности вероятности имеет вид $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
Вероятность нахождения частицы в пределах $V$ в момент времени $t$ обозначается и определяется как $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
Вероятностный ток (поток вероятности) равен $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

С этими определениями уравнение непрерывности выглядит следующим образом: $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

Любая форма может быть процитирована. Интуитивно, приведенные выше величины указывают, что это представляет собой поток вероятности. Вероятность нахождения частицы в некоторой позиции $r$ и времени $t$ течет как жидкость ; отсюда термин поток вероятности , векторное поле . Сама частица не течет детерминированно в этом векторном поле .

Согласованность с уравнением Шредингера

Зависимое от времени уравнение Шредингера и его $комплексно$ -сопряженное уравнение ( $i \to - i$ везде) соответственно: ^[4] где $U$ — потенциальная функция . Частная производная ρ по $t$ равна: ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

Умножаем уравнение Шредингера на $Ψ*,$ затем решаем относительно $Ψ* .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠∂Ψ/∂ т⁠$ , и аналогично умножаем комплексно-сопряженное уравнение Шредингера на $Ψ,$ а затем решаем относительно $Ψ ⁠ \partialΨ* / \partial т ⁠$ ; ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

подставляя в производную по времени от $ρ$ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

Операторы Лапласа ( $\nabla$ $2$ ) в приведенном выше результате предполагают, что правая часть представляет собой дивергенцию $j$ , а обратный порядок членов подразумевает, что это в целом отрицательное значение j $:$ поэтому уравнение непрерывности имеет вид: ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

Интегральная форма такая же, как и для общего уравнения.

Полупроводник

Полный ток в полупроводнике состоит из дрейфового тока и диффузионного тока как электронов в зоне проводимости, так и дырок в валентной зоне.

Общая форма для электронов в одномерном пространстве: где: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

n — локальная концентрация электронов
$\mu _{n}$ это подвижность электронов
E — электрическое поле в области обеднения
D _n — коэффициент диффузии электронов.
G _n — скорость генерации электронов
R _n — скорость рекомбинации электронов

Аналогично для отверстий: где: ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$

p — локальная концентрация дырок
$\mu _{p}$ это мобильность дырок
E — электрическое поле в области обеднения
D _p — коэффициент диффузии дырок
G _p — скорость образования дырок
R _p — скорость рекомбинации дырок

Вывод

В этом разделе представлен вывод уравнения выше для электронов. Аналогичный вывод можно найти для уравнения для дырок.

Рассмотрим тот факт, что число электронов сохраняется в объеме полупроводникового материала с площадью поперечного сечения A и длиной dx вдоль оси x . Точнее, можно сказать: ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

Математически это равенство можно записать так: Здесь J обозначает плотность тока (направление которого по соглашению против электронного потока), обусловленного электронным потоком внутри рассматриваемого объема полупроводника. Ее также называют плотностью электронного тока. ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$

Полная плотность электронного тока представляет собой сумму плотностей дрейфового тока и диффузионного тока: $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

Поэтому у нас есть ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

Применение правила произведения приводит к окончательному выражению: ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

Решение

Ключом к решению этих уравнений в реальных устройствах является выбор по возможности областей, в которых большинство механизмов незначительны, чтобы уравнения сводились к гораздо более простой форме.

Релятивистская версия

Специальная теория относительности

Обозначения и инструменты специальной теории относительности , особенно 4-векторы и 4-градиенты , предлагают удобный способ записи любого уравнения непрерывности.

Плотность величины $ρ$ и ее ток $j$ можно объединить в 4-вектор, называемый 4-током : где $c$ — скорость света . 4- дивергенция этого тока равна: где $\partial$ $μ$ — 4-градиент , а $μ$ — индекс , обозначающий размерность пространства-времени . Тогда уравнение непрерывности имеет вид: в обычном случае, когда нет ни источников, ни стоков, то есть для идеально сохраняющихся величин, таких как энергия или заряд. Это уравнение непрерывности явно («очевидно») инвариантно относительно Лоренца . $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

Примерами уравнений непрерывности, часто записываемых в этой форме, являются сохранение электрического заряда , где $J$ — электрический 4-ток ; и сохранение энергии-импульса , где $T$ — тензор энергии-напряжения . $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$

Общая теория относительности

В общей теории относительности , где пространство-время искривлено, уравнение непрерывности (в дифференциальной форме) для энергии, заряда или других сохраняющихся величин включает ковариантную дивергенцию вместо обычной дивергенции.

Например, тензор энергии-импульса является тензорным полем второго порядка , содержащим плотности энергии-импульса, потоки энергии-импульса и напряжения сдвига, распределения массы-энергии. Дифференциальная форма сохранения энергии-импульса в общей теории относительности утверждает, что ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю: ${T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.$

Это важное ограничение на форму, которую уравнения поля Эйнштейна принимают в общей теории относительности . ^[5]

Однако обычная дивергенция тензора энергии-импульса не обязательно обращается в нуль: ^[6] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

Правая часть строго равна нулю только для плоской геометрии.

Вследствие этого интегральную форму уравнения непрерывности трудно определить, и она не обязательно верна для области, в которой пространство-время существенно искривлено (например, вокруг черной дыры или по всей Вселенной). ^[7]

Физика элементарных частиц

Кварки и глюоны имеют цветовой заряд , который всегда сохраняется, как и электрический заряд, и для таких токов цветового заряда существует уравнение непрерывности (явные выражения для токов приведены в тензоре напряженности глюонного поля ).

В физике элементарных частиц существует множество других величин, которые часто или всегда сохраняются: барионное число (пропорциональное числу кварков за вычетом числа антикварков), число электронов, число мю, число тау , изоспин и другие. ^[8] Каждому из них соответствует уравнение непрерывности, возможно, включающее члены источник/сток.

Теорема Нётер

Одной из причин, по которой уравнения сохранения часто встречаются в физике, является теорема Нётер . Она гласит, что всякий раз, когда законы физики имеют непрерывную симметрию , существует уравнение непрерывности для некоторой сохраняющейся физической величины. Вот три наиболее известных примера:

Законы физики инвариантны относительно временного сдвига — например, законы физики сегодня такие же, как и вчера. Эта симметрия приводит к уравнению непрерывности для сохранения энергии .
Законы физики инвариантны относительно перемещения в пространстве — например, ракета в космическом пространстве не подвергается воздействию различных сил или потенциалов, если она перемещается в любом заданном направлении (например, x, y, z), что приводит к сохранению трех компонентов импульса — закона сохранения импульса .
Законы физики инвариантны относительно ориентации — например, плавая в открытом космосе, вы не можете измерить, «какой путь вверх»; законы физики одинаковы независимо от того, как вы ориентированы. Эта симметрия приводит к уравнению непрерывности для сохранения момента импульса .

Смотрите также

Ссылки

^ ab Pedlosky, Joseph (1987). Геофизическая гидродинамика. Springer . С. 10–13. ISBN 978-0-387-96387-7.
^ Клэнси, Л.Дж. (1975), Аэродинамика , Раздел 3.3, Pitman Publishing Limited, Лондон
^ Филдинг, Сюзанна. «Основы динамики жидкости» (PDF) . Университет Дарема . Получено 22 декабря 2019 г. .
^ Для этого вывода см., например, McMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
^ D. McMahon (2006). Относительность Демистифицирована . McGraw Hill (США). ISBN 0-07-145545-0.
^ CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ Майкл Вайс; Джон Баез. «Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?» . Получено 25.04.2014 .
^ CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.

Дальнейшее чтение

Лэмб, Х. (2006) [1932]. Гидродинамика (6-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
Гриффитс, DJ (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education Inc. ISBN 81-7758-293-3.
Грант, И.С.; Филлипс, В.Р. (2008). Электромагнетизм . Серия физики Манчестера (2-е изд.). ISBN 978-0-471-92712-9.
Уилер, JA; Мизнер, C.; Торн, KS (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.