Уравнение конвекции-диффузии

Комбинация уравнений диффузии и конвекции (адвекции)

Уравнение конвекции -диффузии представляет собой комбинацию уравнений диффузии и конвекции ( адвекции ) и описывает физические явления, при которых частицы, энергия или другие физические величины передаются внутри физической системы за счет двух процессов: диффузии и конвекции . В зависимости от контекста одно и то же уравнение можно назвать уравнением адвекции -диффузии , уравнением дрейфа - диффузии ^[1] или (общим) скалярным уравнением переноса . ^[2]

Уравнение

Общий

Шлейф загрязняющих веществ, движущийся в пористой среде посредством уравнения конвекции-диффузии (также называемого уравнением адвективно-диффузии) (временные отметки 1 день, 85 дней, 462 дня и 674 дня) с адвекцией в качестве основного механизма переноса.

Общее уравнение в консервативной форме имеет вид ^{[3] [4]} где $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla } \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R}$$

• c — интересующая переменная (концентрация веществ для массопереноса , температура для теплопереноса ),
• D - коэффициент диффузии (также называемый коэффициентом диффузии ), такой как коэффициент диффузии массы для движения частиц или коэффициент температуропроводности для переноса тепла,
• v — поле скорости , с которым движется величина. Это функция времени и пространства. Например, вадвекции c может быть концентрацией соли в реке, а затем v — скоростью потока воды как функция времени и местоположения. Другой пример: c может быть концентрацией маленьких пузырьков в спокойном озере, а затем v — скоростью пузырьков, поднимающихся к поверхности за счет плавучести (см. ниже), в зависимости от времени и местоположения пузыря. Для многофазных потоков и потоков в пористых средах v — (гипотетическая) приведенная скорость .
• R описывает источники или стоки количества c , т.е. создание или уничтожение количества. Например, для химического вида R > 0 означает, что химическая реакция создает больше видов, а R < 0 означает, что химическая реакция уничтожает вид. Для переноса тепла R > 0 может возникнуть, если тепловая энергия генерируется за счет трения .

Например, если c — концентрация молекулы, то R описывает, как молекула может быть создана или разрушена в результате химических реакций. R может быть функцией c и других параметров. Часто существует несколько величин, каждая из которых имеет свое уравнение конвекции-диффузии, где разрушение одной величины влечет за собой создание другой. Например, при горении метана происходит не только разрушение метана и кислорода, но также образование углекислого газа и водяного пара. Следовательно, хотя каждое из этих химических веществ имеет свое собственное уравнение конвекции-диффузии, они связаны друг с другом и должны решаться как система одновременных дифференциальных уравнений.

• ∇ представляет собой градиент , а ∇ ⋅ представляет собой дивергенцию . В этом уравнении ∇ c представляет собой градиент концентрации.

Понимание условий плотности тока

Уравнение конвекции-диффузии является частным примером уравнения сохранения. Уравнение сохранения имеет общий вид: где j _c — член плотности тока , связанный с интересующей переменной c . $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} _{c}=R}$$

В уравнении конвекции-диффузии плотность тока величины c представляет собой сумму двух слагаемых: $${\displaystyle \mathbf {j} _{c}=-D\mathbf {\nabla } c+\mathbf {v} c}$$

• Первый, — D ∇ c , описывает диффузию по закону Фика . Представьте, что c — это концентрация химического вещества. Когда концентрация где-то низкая по сравнению с окружающими областями (например, локальный минимум концентрации), вещество будет диффундировать из окружающей среды, поэтому концентрация увеличится. И наоборот, если концентрация высока по сравнению с окружающей средой (например, локальный максимум концентрации), то вещество будет диффундировать, и концентрация уменьшится. Чистая диффузия пропорциональна лапласиану (или второй производной ) концентрации, если коэффициент диффузии D является константой.
• Второй вклад vc описывает конвекцию ( или адвекцию). Например, в уравнении непрерывности присутствует только этот член плотности тока. Представьте себе, что вы стоите на берегу реки и каждую секунду измеряете соленость воды (количество соли). Выше по течению кто-то сбрасывает в реку ведро соли. Некоторое время спустя вы увидите, как соленость внезапно повышается, а затем падает, когда зона соленой воды проходит мимо. Таким образом, концентрация в данном месте может меняться из-за потока.

Общие упрощения

В обычной ситуации коэффициент диффузии постоянен, нет источников и стоков, а поле скорости описывает несжимаемый поток (т. е. имеет нулевую дивергенцию ). Тогда формула упрощается до: ^{[5] [6] [7]} $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

В этой форме уравнение конвекции-диффузии сочетает в себе как параболические , так и гиперболические уравнения в частных производных .

В этом случае уравнение можно представить в простой конвективной форме : $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c,}$$

где производная левой части является материальной производной переменной c . В невзаимодействующем материале D=0 (например, когда температура близка к абсолютному нулю , разбавленный газ имеет почти нулевой коэффициент диффузии ), следовательно, уравнение переноса представляет собой просто уравнение неразрывности: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

Используя преобразование Фурье как во временной, так и в пространственной области (то есть с интегральным ядром ), можно получить его характеристическое уравнение : которое дает общее решение: где – любая дифференцируемая скалярная функция . На этом основано измерение температуры вблизи бозе -эйнштейновского конденсата ^[8] времяпролетным методом . ^[9] ${\displaystyle e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$ $${\displaystyle j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$ ${\displaystyle f}$

Стационарная версия

Стационарное уравнение конвекции-диффузии описывает установившееся поведение конвективно-диффузионной системы. В устойчивом состоянии,∂ с/∂ т= 0 , поэтому уравнение, которое нужно решить, становится уравнением второго порядка: $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$

Одномерный случай

В одном измерении оператор пространственного градиента выглядит просто:

$${\displaystyle \nabla ={\frac {d}{dx}}}$$

поэтому уравнение, которое нужно решить, становится уравнением второго порядка с одной переменной: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

Которую можно один раз проинтегрировать в пространственную переменную x, чтобы получить:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

Если D не равно нулю, это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами по переменной c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$где коэффициенты: и: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$ $${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

На самом деле это уравнение имеет относительно простое аналитическое решение (см. ссылку выше на линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами ).

С другой стороны, в позициях x, где D=0, диффузионный член первого порядка исчезает, и решение становится просто соотношением:

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

Вывод

Уравнение конвекции-диффузии можно вывести простым способом ^[4] из уравнения непрерывности , которое утверждает, что скорость изменения скалярной величины в дифференциальном контрольном объеме определяется потоком и диффузией в эту часть и из нее. системы вместе с любым производством или потреблением внутри контрольного объема: где j — общий поток , а R — чистый объемный источник для c . В этой ситуации есть два источника потока. Во-первых, за счет диффузии возникает диффузионный поток . Обычно это аппроксимируется первым законом Фика : т. е. поток диффундирующего материала (относительно объемного движения) в любой части системы пропорционален локальному градиенту концентрации . Во-вторых, когда существует общая конвекция или поток, существует сопутствующий поток, называемый адвективным потоком : Полный поток (в стационарной системе координат) определяется суммой этих двух: Подключаем к уравнению неразрывности: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

Сложные явления смешивания

В общем, D , v и R могут меняться в зависимости от пространства и времени. В тех случаях, когда они также зависят от концентрации, уравнение становится нелинейным, что приводит к появлению многих характерных явлений смешивания, таких как конвекция Рэлея – Бенара, когда v зависит от температуры в формулировке теплопередачи, и формирование картины реакции-диффузии , когда R зависит от концентрации. в массообменной формулировке.

Скорость в ответ на силу

В некоторых случаях поле средней скорости v существует благодаря силе; например, уравнение может описывать поток ионов, растворенных в жидкости, при этом электрическое поле тянет ионы в определенном направлении (как при гель-электрофорезе ). В этой ситуации его обычно называют уравнением дрейфа-диффузии или уравнением Смолуховского ^[1] в честь Мариана Смолуховского , описавшего его в 1915 году ^[10] (не путать с уравнением Эйнштейна-Смолуховского или уравнением коагуляции Смолуховского ).

Обычно средняя скорость прямо пропорциональна приложенной силе, что дает уравнение: ^{[11] [12]} где F — сила, а ζ характеризует трение или вязкое сопротивление . (Обратное ζ ⁻¹ называется подвижностью .) $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\right)+R}$$

Вывод соотношения Эйнштейна

Когда сила связана с потенциальной энергией F = −∇ U (см. консервативную силу ), стационарное решение приведенного выше уравнения (т. е. 0 = R =∂ с/∂ т) равно: (при условии, что D и ζ постоянны). Другими словами, там больше частиц, у которых энергия ниже. Ожидается, что этот профиль концентрации будет соответствовать распределению Больцмана (точнее, мере Гиббса ). Из этого предположения можно доказать соотношение Эйнштейна : ^[12] $${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ $${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

Как стохастическое дифференциальное уравнение

Уравнение конвекции-диффузии (без источников и стоков, R = 0 ) можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение , описывающее случайное движение с коэффициентом диффузии D и смещением v . Например, уравнение может описывать броуновское движение отдельной частицы, где переменная c описывает распределение вероятности нахождения частицы в заданном положении в данный момент времени. Причина, по которой уравнение можно использовать таким образом, заключается в том, что нет математической разницы между распределением вероятностей отдельной частицы и профилем концентрации совокупности бесконечно многих частиц (пока частицы не взаимодействуют друг с другом).

Уравнение Ланжевена описывает адвекцию, диффузию и другие явления явно стохастическим образом. Одна из простейших форм уравнения Ланжевена — когда его «шумовой член» является гауссовым ; в этом случае уравнение Ланжевена в точности эквивалентно уравнению конвекции-диффузии. ^[12] Однако уравнение Ланжевена является более общим. ^[12]

Численное решение

Уравнение конвекции-диффузии лишь в редких случаях можно решить с помощью ручки и бумаги. Чаще всего для численной аппроксимации решения уравнения используются компьютеры, обычно с использованием метода конечных элементов . Подробнее и алгоритмы см.: Численное решение уравнения конвекции-диффузии .

Подобные уравнения в других контекстах

Уравнение конвекции-диффузии представляет собой относительно простое уравнение, описывающее потоки или, альтернативно, описывающее стохастически изменяющуюся систему. Следовательно, то же самое или подобное уравнение возникает во многих контекстах, не связанных с потоками в пространстве.

• Формально оно идентично уравнению Фоккера–Планка для скорости частицы.
• Оно тесно связано с уравнением Блэка – Шоулза и другими уравнениями финансовой математики. ^[13]
• Оно тесно связано с уравнениями Навье-Стокса , поскольку поток импульса в жидкости математически подобен потоку массы или энергии. Соответствие наиболее очевидно в случае несжимаемой ньютоновской жидкости, и в этом случае уравнение Навье – Стокса имеет вид: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

где M — импульс жидкости (на единицу объема) в каждой точке (равный плотности ρ , умноженной на скорость v ), μ — вязкость, P — давление жидкости, а f — любая другая массовая сила , например гравитация . В этом уравнении член в левой части описывает изменение импульса в данной точке; первый член справа описывает диффузию импульса за счет вязкости ; второй член справа описывает адвективный поток импульса; а последние два члена справа описывают внешние и внутренние силы, которые могут действовать как источники или поглотители импульса.

В физике полупроводников

Поскольку носители генерируются (зеленый: электроны и фиолетовый: дырки) из-за света, сияющего в центре собственного полупроводника, они диффундируют к двум концам. Электроны имеют более высокую константу диффузии, чем дырки, что приводит к меньшему количеству избыточных электронов в центре по сравнению с дырками.

В физике полупроводников это уравнение называется уравнением дрейфа-диффузии . Слово «дрейф» связано с дрейфовым током и скоростью дрейфа . Уравнение обычно записывается: ^[14] где $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n-n\mu _{n}\mathbf {E} \\{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\partial n}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\partial p}{\partial t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{aligned}}}$$

• n и p — концентрации (плотности) электронов и дырок соответственно,
• q > 0 – элементарный заряд ,
• J _n и J _p — электрические токи электронов и дырок соответственно,
• Дж _н/− qиДжей _п/дсоответствующие «токи частиц» электронов и дырок соответственно,
• R представляет собой генерацию носителей и рекомбинацию ( R > 0 для генерации электронно-дырочных пар, R < 0 для рекомбинации.)
• E —вектор электрического поля
• ${\displaystyle \mu _{n}}$и – подвижность электронов и дырок . ${\displaystyle \mu _{p}}$

Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением Эйнштейна , как указано выше: где k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура . Дрейфовый ток и диффузионный ток относятся отдельно к двум слагаемым в выражениях для J , а именно: $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\frac {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

Это уравнение можно решить вместе с уравнением Пуассона численно. ^[15]

Справа показан пример результатов решения уравнения дрейфовой диффузии. Когда свет падает на центр полупроводника, носители тока генерируются в середине и диффундируют к двум концам. В этой структуре решается уравнение дрейфа-диффузии, и на рисунке показано распределение электронной плотности. Виден градиент несущей от центра к двум концам.

Смотрите также

• Расширенная библиотека моделирования
• Уравнения сохранения
• Уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса.
• Уравнение Нернста – Планка
• Двойная диффузионная конвекция
• Естественная конвекция
• Уравнение Бакли – Леверетта
• Уравнение Бюргерса

Рекомендации

1. Чандрасекхар (1943). «Стохастические проблемы физики и астрономии». Преподобный Мод. Физ . 15 (1): 1. Бибкод : 1943РвМП...15....1С. doi : 10.1103/RevModPhys.15.1.См. уравнение (312)
2. Баукал; Герштейн; Ли, ред. (2001). Вычислительная гидродинамика при промышленном горении. ЦРК Пресс. п. 67. ИСБН 0-8493-2000-3– через Google Книги.
3. Стокер, Томас (2011). Введение в моделирование климата. Берлин: Шпрингер. п. 57. ИСБН 978-3-642-00772-9– через Google Книги.
4. Соколофски, Скотт А.; Йирка, Герхард Х. «Уравнение адвективной диффузии» (PDF) . Конспект лекций . Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2010 г. Проверено 18 апреля 2012 г.
5. Бежан А (2004). Конвекционная теплопередача .
6. Берд, Стюарт, Лайтфут (1960). Транспортные явления .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика .
8. Кеттерле, В.; Дерфи, Д.С.; Стампер-Курн, Д.М. (1 апреля 1999 г.). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv : cond-mat/9904034 .
9. Бжозовский, Томаш М; Мачинская, Мария; Завада, Михал; Захоровский, Ежи; Гавлик, Войцех (14 января 2002 г.). «Времяпролетное измерение температуры холодных атомов на малых расстояниях ловушки-зондового пучка». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 4 (1): 62–66. Бибкод : 2002JOptB...4...62B. дои : 10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN  1464-4266. S2CID  67796405.
10. Смолуховский, М. В. (1915). «Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung» (PDF) . Анна. Физ. 4. Фольге. 353 (48): 1103–1112. Бибкод : 1915АнП...353.1103С. дои : 10.1002/andp.19163532408.
11. «Уравнение диффузии Смолуховского» (PDF) .
12. Дои и Эдвардс (1988). Теория динамики полимеров. стр. 46–52. ISBN 978-0-19-852033-7– через Google Книги .
13. Арабас, С.; Фархат, А. (2020). «Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA для уравнений типа Блэка-Шоулза». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 373 : 112275. arXiv : 1607.01751 . дои : 10.1016/j.cam.2019.05.023. S2CID  128273138.
14. Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотодетектора с частично обедненным поглотителем (PDA)». Оптика Экспресс . 23 (16): 20402–20417. Бибкод : 2015OExpr..2320402H. дои : 10.1364/OE.23.020402. hdl : 11603/11470 . ПМИД  26367895.
15. Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотодетекторе». Журнал световых технологий . 32 (20): 3710–3720. Бибкод : 2014JLwT...32.3710H. CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . дои : 10.1109/JLT.2014.2315740. S2CID  9882873. 

дальнейшее чтение

• Сьюэлл, Гранвилл (1988). Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных . Академическая пресса. ISBN 0-12-637475-9.