Теорема Нётер

Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами

Первая страница статьи Эмми Нётер «Invariante Variationsprobleme» (1918), где она доказала свою теорему

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия действия физической системы с консервативными силами имеет соответствующий закон сохранения . Это первая из двух теорем (см. вторую теорему Нётер ), опубликованных математиком Эмми Нётер в 1918 году. [ ^1] Действие физической системы — это интеграл по времени от функции Лагранжа , из которого поведение системы может быть определено с помощью принципа наименьшего действия . Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям физического пространства .

Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении . Она раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения. Она также заставила современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметриях физических систем. Обобщение формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно), она не применима к системам, которые не могут быть смоделированы только с помощью лагранжиана (например, системы с функцией диссипации Рэлея ). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями не обязательно должны иметь соответствующий закон сохранения. ^{[ необходима цитата ]}

Базовые иллюстрации и фон

В качестве иллюстрации, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть она инвариантна ), ее лагранжиан симметричен при непрерывном вращении: из этой симметрии теорема Нётер предписывает, что угловой момент системы должен сохраняться, как следствие ее законов движения. ^{[2] : 126} Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, кувыркающийся в пространстве, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Симметричны именно законы его движения.

Другой пример: если физический процесс приводит к одним и тем же результатам независимо от места и времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения линейного импульса и энергии в этой системе соответственно. ^{[3] : 23  [4] : 261}

Теорема Нётер важна как из-за понимания законов сохранения, которое она даёт, так и как практический вычислительный инструмент. Она позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, она позволяет исследователям рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами, чтобы описать физическую систему. ^{[2] : 127} В качестве иллюстрации предположим, что предложена физическая теория, которая сохраняет величину X. Исследователь может вычислить типы лагранжианов, которые сохраняют X посредством непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов предоставляют дополнительные критерии для понимания последствий и оценки пригодности новой теории.

Существует множество версий теоремы Нётер с различной степенью общности. Существуют естественные квантовые аналоги этой теоремы, выраженные в тождествах Уорда–Такахаши . Существуют также обобщения теоремы Нётер на суперпространства . ^[5]

Неформальная формулировка теоремы

Оставив в стороне все тонкие технические моменты, теорему Нётер можно сформулировать неформально:

Если система обладает свойством непрерывной симметрии, то существуют соответствующие величины, значения которых сохраняются во времени. ^[6]

Более сложная версия теоремы, касающаяся полей, гласит:

Каждой непрерывной симметрии , порождаемой локальными действиями, соответствует сохраняющийся ток и наоборот.

Слово «симметрия» в приведенном выше утверждении относится более точно к ковариантности формы, которую принимает физический закон по отношению к одномерной группе Ли преобразований, удовлетворяющих определенным техническим критериям. Закон сохранения физической величины обычно выражается в виде уравнения непрерывности .

Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности для вывода выражения для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современной терминологии сохраняющаяся величина называется зарядом Нётера , а поток, переносящий этот заряд, называется током Нётера . Ток Нётера определяется с точностью до соленоидального (бездивергентного) векторного поля.

В контексте гравитации формулировка Феликса Клейна теоремы Нётер для действия I предусматривает инварианты: ^[7]

Если интеграл I инвариантен относительно непрерывной группы G _ρ с ρ параметрами, то ρ линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений являются расходимостями.

Краткая иллюстрация и обзор концепции

График, иллюстрирующий теорему Нётер для координатной симметрии

Основную идею теоремы Нётер проще всего проиллюстрировать на примере системы с одной координатой и непрерывной симметрией (серые стрелки на схеме). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}$

Рассмотрим любую траекторию (жирную на диаграмме), которая удовлетворяет законам движения системы . То есть действие , управляющее этой системой, стационарно на этой траектории, т.е. не изменяется ни при каком локальном изменении траектории. В частности, оно не изменится при изменении, которое применяет поток симметрии на временном отрезке [ t ₀ , t ₁ ] и неподвижно вне этого отрезка. Чтобы сохранить непрерывность траектории, мы используем «буферные» периоды малого времени для постепенного перехода между отрезками. ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \tau }$

Общее изменение действия теперь включает изменения, вносимые каждым интервалом в игре. Части, где сама вариация исчезает, т.е. вне не приносят . Средняя часть также не изменяет действие, потому что ее преобразование является симметрией и, таким образом, сохраняет лагранжиан и действие . Единственными оставшимися частями являются «буферные» части. В этих областях и координата , и скорость изменяются, но изменяются на , а изменение координаты пренебрежимо мало по сравнению, так как временной промежуток буферизации мал (взятый до предела 0), поэтому . Таким образом, области вносят вклад в основном через их «наклон» . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle S=\int L}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle \delta q/\tau }$ ${\displaystyle \delta q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }$

Это изменяет лагранжиан на , который интегрируется в ${\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}}$ $${\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}$$

Эти последние члены, оцененные около конечных точек и , должны компенсировать друг друга, чтобы общее изменение действия было равно нулю, как и ожидалось, если траектория является решением. Это означает, что величина сохраняется, что является заключением теоремы Нётер. Например, если чистые переносы на константу являются симметрией, то сохраняющаяся величина становится просто , каноническим импульсом. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \Delta S}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),}$$ ${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}$

Более общие случаи следуют той же идее:

• Когда большее количество координат подвергается преобразованию симметрии , их эффекты складываются линейно в сохраняющуюся величину . ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}}$ ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$
• При наличии временных преобразований сегменты «буферизации» вносят вклад в два следующих члена : ${\displaystyle t\mapsto t+T}$ ${\displaystyle \Delta S}$

  $${\displaystyle \Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),}$$

  Первый член обусловлен растяжением во временном измерении сегмента "буферизации" (что изменяет размер области интегрирования), а второй - его "наклоном", как и в случае образца. Вместе они добавляют слагаемое к сохраняющейся величине. ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$
• Наконец, когда вместо траектории рассматриваются целые поля , аргумент заменяется ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle \psi (q_{r},t)}$
  • интервал с ограниченной областью -домена , ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (q_{r},t)}$
  • конечные точки и с границей области, ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \partial U}$
  • и его вклад в интерпретируется как поток сохраняющегося тока , который строится аналогично предыдущему определению сохраняющейся величины. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$
  Теперь нулевой вклад «буферизации» в интерпретируется как исчезновение общего потока тока через . В этом смысле он сохраняется: сколько «втекает», столько же «вытекает». ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$ ${\displaystyle \partial U}$

Исторический контекст

Закон сохранения гласит, что некоторая величина X в математическом описании эволюции системы остается постоянной на протяжении всего ее движения – это инвариант . Математически скорость изменения X (ее производной по времени ) равна нулю,

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

Говорят, что такие величины сохраняются; их часто называют константами движения (хотя само движение не обязательно должно быть вовлечено, достаточно эволюции во времени). Например, если энергия системы сохраняется, ее энергия инвариантна во все времена, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в его решении. Помимо понимания природы системы, которое такие константы движения дают, они являются полезным вычислительным инструментом; например, приближенное решение можно скорректировать, найдя ближайшее состояние, которое удовлетворяет подходящим законам сохранения.

Самыми ранними открытыми константами движения были импульс и кинетическая энергия , которые были предложены в 17 веке Рене Декартом и Готфридом Лейбницем на основе экспериментов по столкновению и уточнены последующими исследователями. Исаак Ньютон был первым, кто сформулировал сохранение импульса в его современной форме и показал, что это является следствием законов движения Ньютона . Согласно общей теории относительности , законы сохранения импульса, энергии и момента импульса являются точно верными глобально только тогда, когда они выражены в терминах суммы тензора энергии-импульса (негравитационного напряжения-энергии) и псевдотензора энергии-импульса Ландау-Лифшица (гравитационного напряжения-энергии). Локальное сохранение негравитационного импульса и энергии в свободно падающей системе отсчета выражается обращением в нуль ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса . Другой важной сохраняющейся величиной, обнаруженной при изучении небесной механики астрономических тел, является вектор Лапласа–Рунге–Ленца .

В конце 18-го и начале 19-го веков физики разработали более систематические методы обнаружения инвариантов. Крупный прогресс произошел в 1788 году с разработкой механики Лагранжа , которая связана с принципом наименьшего действия . В этом подходе состояние системы может быть описано любым типом обобщенных координат q ; законы движения не обязательно должны быть выражены в декартовой системе координат , как это было принято в ньютоновской механике. Действие определяется как временной интеграл I функции, известной как лагранжиан  L

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,}$

где точка над q обозначает скорость изменения координат q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.}$

Принцип Гамильтона гласит, что физический путь q ( t ) — фактически пройденный системой — это путь, для которого бесконечно малые изменения этого пути не вызывают никаких изменений в I , по крайней мере до первого порядка. Этот принцип приводит к уравнениям Эйлера–Лагранжа ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.}$

Таким образом, если одна из координат, скажем q _k , не появляется в лагранжиане, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

где импульс

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

сохраняется на протяжении всего движения (на физическом пути).

Таким образом, отсутствие игнорируемой координаты q _k в лагранжиане подразумевает, что лагранжиан не подвержен изменениям или преобразованиям q _k ; лагранжиан инвариантен и, как говорят, проявляет симметрию относительно таких преобразований. Это исходная идея, обобщенная в теореме Нётер.

Несколько альтернативных методов поиска сохраняющихся величин были разработаны в 19 веке, особенно Уильямом Роуэном Гамильтоном . Например, он разработал теорию канонических преобразований , которая позволяла изменять координаты так, что некоторые координаты исчезали из лагранжиана, как указано выше, что приводило к сохраняющимся каноническим импульсам. Другим подходом, и, возможно, наиболее эффективным для поиска сохраняющихся величин, является уравнение Гамильтона–Якоби .

Работа Эмми Нётер над теоремой об инвариантности началась в 1915 году, когда она помогала Феликсу Клейну и Дэвиду Гильберту в их работе, связанной с общей теорией относительности Альберта Эйнштейна ^{[8] : 31} К марту 1918 года у неё было большинство ключевых идей для статьи, которая была опубликована позднее в том же году. ^{[9] : 81}

Математическое выражение

Простая форма с использованием возмущений

Суть теоремы Нётер заключается в обобщении понятия пренебрежимых координат.

Можно предположить, что лагранжиан L, определенный выше, инвариантен относительно малых возмущений (искривлений) временной переменной t и обобщенных координат q . Можно записать

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

где возмущения δt и δ q оба малы, но переменны. Для общности предположим, что существует (скажем) N таких преобразований симметрии действия, т.е. преобразований, оставляющих действие неизменным; помеченных индексом r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Тогда результирующее возмущение можно записать в виде линейной суммы отдельных типов возмущений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

где ε _r — бесконечно малые параметрические коэффициенты, соответствующие каждому:

• генератор T _r временной эволюции , и
• генератор Q _r обобщенных координат.

Для трансляций Q _r — константа с единицами длины ; для вращений — это выражение, линейное относительно компонентов q , а параметры составляют угол .

Используя эти определения, Нётер показала, что N величин

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

сохраняются ( константы движения ).

Примеры

I. Инвариантность во времени

Для иллюстрации рассмотрим лагранжиан, который не зависит от времени, т.е. который инвариантен (симметричен) относительно изменений t → t + δ t , без каких-либо изменений в координатах q . В этом случае N  = 1, T  = 1 и Q  = 0; соответствующая сохраняющаяся величина — полная энергия H ^{[10] : 401}

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

II. Трансляционная инвариантность

Рассмотрим лагранжиан, который не зависит от («игнорируемой», как выше) координаты q _k ; поэтому он инвариантен (симметричен) относительно изменений q _k → q _k + δq _k . В этом случае N  = 1, T  = 0 и Q _k  = 1; сохраняющаяся величина — это соответствующий линейный импульс p _k ^{[10] : 403–404}

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

В специальной и общей теории относительности эти два закона сохранения могут быть выражены либо глобально (как это сделано выше), либо локально в виде уравнения непрерывности. Глобальные версии могут быть объединены в один глобальный закон сохранения: сохранение 4-вектора энергии-импульса. Локальные версии сохранения энергии и импульса (в любой точке пространства-времени) также могут быть объединены в сохранение величины, определяемой локально в точке пространства-времени: тензора энергии-импульса ^{[11] : 592} (это будет выведено в следующем разделе).

III. Вращательная инвариантность

Сохранение момента импульса L = r × p аналогично его линейному аналогу импульса. ^{[10] : 404–405} Предполагается, что симметрия лагранжиана вращательная, т. е. что лагранжиан не зависит от абсолютной ориентации физической системы в пространстве. Для конкретности предположим, что лагранжиан не меняется при малых поворотах на угол δθ вокруг оси n ; такой поворот преобразует декартовы координаты по уравнению

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Поскольку время не преобразуется, T = 0, а N = 1. Принимая δθ в качестве параметра ε и декартовы координаты r в качестве обобщенных координат q , соответствующие переменные Q задаются как

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Тогда теорема Нётер утверждает, что сохраняется следующая величина:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

Другими словами, сохраняется компонента момента импульса L вдоль оси n . А если n произвольно, т. е. если система нечувствительна к любому вращению, то сохраняется каждая компонента L ; короче говоря, сохраняется момент импульса .

Версия теории поля

Хотя сама по себе версия теоремы Нётер полезна, она является частным случаем общей версии, выведенной в 1915 году. Чтобы дать представление об общей теореме, теперь приводится версия теоремы Нётер для непрерывных полей в четырехмерном пространстве-времени . Поскольку проблемы теории поля более распространены в современной физике, чем проблемы механики , эта версия теории поля является наиболее часто используемой (или наиболее часто реализуемой) версией теоремы Нётер.

Пусть есть набор дифференцируемых полей, определенных по всему пространству и времени; например, температура будет представлять такое поле, будучи числом, определенным в каждом месте и времени. Принцип наименьшего действия может быть применен к таким полям, но действие теперь является интегралом по пространству и времени ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(теорему можно обобщить на случай, когда лагранжиан зависит от с точностью до n- ^й производной, а также сформулировать с использованием струйных расслоений ).

Непрерывное преобразование полей можно записать в бесконечно малом виде как ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

где в общем случае функция, которая может зависеть как от , так и от . Условием для генерации физической симметрии является то, что действие остается инвариантным. Это, безусловно, будет верно, если плотность лагранжиана остается инвариантной, но это также будет верно, если лагранжиан изменяется на дивергенцию, ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

поскольку интеграл дивергенции становится граничным членом согласно теореме о дивергенции . Система, описываемая заданным действием, может иметь несколько независимых симметрий этого типа, индексированных так что наиболее общее преобразование симметрии будет записано как ${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

с последствиями

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

Для таких систем теорема Нётер утверждает, что существуют сохраняющиеся плотности тока. ${\displaystyle N}$

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(где под скалярным произведением понимается сокращение индексов полей , а не индекса или индекса). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle r}$

В таких случаях закон сохранения выражается в четырехмерном виде.

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

что выражает идею о том, что количество сохраняющейся величины внутри сферы не может измениться, если часть ее не вытечет из сферы. Например, электрический заряд сохраняется; количество заряда внутри сферы не может измениться, если часть заряда не покинет сферу.

Для иллюстрации рассмотрим физическую систему полей, которая ведет себя одинаково при переносах во времени и пространстве, как было рассмотрено выше; другими словами, является постоянной в своем третьем аргументе. В этом случае N  = 4, по одному для каждого измерения пространства и времени. Бесконечно малый перенос в пространстве ( обозначая дельту Кронекера ), влияет на поля как : то есть, перемаркировка координат эквивалентна оставлению координат на месте при переносе самого поля, что в свою очередь эквивалентно преобразованию поля путем замены его значения в каждой точке на значение в точке «позади» него, на которое будет отображено рассматриваемое бесконечно малое смещение. Поскольку это бесконечно мало, мы можем записать это преобразование как ${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .}$

Плотность Лагранжа преобразуется таким же образом, поэтому ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

и, таким образом, теорема Нётер соответствует ^{[11] : 592} закону сохранения для тензора энергии-импульса T _μ ^ν , где мы использовали вместо . А именно, используя выражение, данное ранее, и собирая четыре сохраняющихся тока (по одному для каждого ) в тензор , теорема Нётер дает ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

с

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0}$

(мы переименовали как на промежуточном этапе, чтобы избежать конфликта). (Однако полученный таким образом может отличаться от симметричного тензора, используемого в качестве исходного члена в общей теории относительности; см. Канонический тензор энергии-импульса .) ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T}$

Сохранение электрического заряда , напротив, может быть выведено путем рассмотрения Ψ линейным по полям φ, а не по производным. ^{[11] : 593–594} В квантовой механике амплитуда вероятности ψ ( x ) нахождения частицы в точке x является комплексным полем φ , поскольку она приписывает комплексное число каждой точке пространства и времени. Сама амплитуда вероятности физически неизмерима; только вероятность p = | ψ | ² может быть выведена из набора измерений. Следовательно, система инвариантна относительно преобразований поля ψ и его комплексно-сопряженного поля ψ ^{* ,} которые оставляют | ψ | ² неизменным, например,

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$

комплексное вращение. В пределе, когда фаза θ становится бесконечно малой, δθ , ее можно принять за параметр ε , тогда как Ψ равны iψ и − iψ * соответственно. Конкретным примером является уравнение Клейна–Гордона , релятивистски правильная версия уравнения Шредингера для бесспиновых частиц, имеющее плотность лагранжиана

${\displaystyle L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

В этом случае теорема Нётер утверждает, что сохраняющийся (∂ ⋅  j  = 0) ток равен

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

которая, будучи умноженной на заряд этого вида частиц, равна плотности электрического тока, обусловленной этим типом частиц. Эта «калибровочная инвариантность» была впервые отмечена Германом Вейлем и является одним из прототипов калибровочных симметрий физики.

Производные

Одна независимая переменная

Рассмотрим простейший случай, систему с одной независимой переменной, временем. Предположим, что зависимые переменные q таковы, что интеграл действия

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

инвариантен относительно кратких бесконечно малых изменений в зависимых переменных. Другими словами, они удовлетворяют уравнениям Эйлера–Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

И предположим, что интеграл инвариантен относительно непрерывной симметрии. Математически такая симметрия представлена ​​как поток φ , который действует на переменные следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

где ε — действительная переменная, указывающая величину потока, а T — действительная константа (которая может быть равна нулю), указывающая, насколько поток сдвигает время.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

Интеграл действия течет к

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

которую можно рассматривать как функцию ε . Вычисляя производную при ε = 0 и используя правило Лейбница , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что уравнения Эйлера–Лагранжа подразумевают

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

Снова используя уравнения Эйлера–Лагранжа получаем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

Из чего можно увидеть, что

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

является константой движения, т.е. это сохраняющаяся величина. Поскольку φ[ q , 0] = q , то получаем и поэтому сохраняющаяся величина упрощается до ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

Чтобы избежать чрезмерного усложнения формул, этот вывод предполагал, что поток не меняется с течением времени. Тот же результат можно получить и в более общем случае.

Теоретико-полевой вывод

Теорема Нётер может быть также выведена для тензорных полей , где индекс A пробегает различные компоненты различных тензорных полей. Эти полевые величины являются функциями, определенными в четырехмерном пространстве, точки которого обозначены координатами x ^μ , где индекс μ пробегает время ( μ  = 0) и три пространственных измерения ( μ  = 1, 2, 3). Эти четыре координаты являются независимыми переменными; а значения полей в каждом событии являются зависимыми переменными. При бесконечно малом преобразовании изменение координат записывается как ${\displaystyle \varphi ^{A}}$

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

тогда как преобразование переменных поля выражается как

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

Согласно этому определению, изменения поля являются результатом двух факторов: внутренних изменений самого поля и изменений координат, поскольку преобразованное поле α ^A зависит от преобразованных координат ξ ^μ . Чтобы выделить внутренние изменения, изменение поля в одной точке x ^μ можно определить ${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

При изменении координат граница области пространства-времени, по которой интегрируется лагранжиан, также изменяется; исходная граница и ее преобразованная версия обозначаются как Ω и Ω' соответственно.

Теорема Нётер начинается с предположения, что определенное преобразование координат и переменных поля не изменяет действие , которое определяется как интеграл плотности Лагранжа по заданной области пространства-времени. Выражаясь математически, это предположение можно записать как

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

где запятая в нижнем индексе указывает на частную производную по координате(ам), следующей за запятой, например

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

Поскольку ξ является фиктивной переменной интегрирования, а изменение границы Ω по предположению бесконечно мало, два интеграла можно объединить, используя четырехмерную версию теоремы о расходимости, в следующую форму:

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

Разность лагранжианов можно записать в первом порядке по бесконечно малым вариациям как

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

Однако, поскольку вариации определяются в той же точке, как описано выше, вариация и производная могут быть выполнены в обратном порядке; они коммутируют

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

Используя уравнения поля Эйлера–Лагранжа

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

Разницу в лагранжианах можно аккуратно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, изменение действия можно записать как

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

Поскольку это справедливо для любой области Ω, подынтегральное выражение должно быть равно нулю.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

Для любой комбинации различных преобразований симметрии возмущение можно записать

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

где — производная Ли в направлении X ^μ . Когда — скаляр или , ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

Эти уравнения подразумевают, что изменение поля, взятое в одной точке, равно

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

Дифференцируя указанную выше дивергенцию по ε при ε  = 0 и меняя знак, получаем закон сохранения

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

где сохраняющийся ток равен

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

Вывод коллектора/пучка волокон

Предположим, что у нас есть n- мерное ориентированное риманово многообразие M и целевое многообразие T. Пусть — конфигурационное пространство гладких функций из M в T. ( В более общем случае у нас могут быть гладкие сечения расслоения волокон над M. ) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Примерами такой буквы «М» в физике являются:

• В классической механике в гамильтоновой формулировке M — одномерное многообразие , представляющее время, а целевое пространство — кокасательное расслоение пространства обобщенных положений. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• В теории поля M — это пространственно - временное многообразие, а целевое пространство — это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если имеется m действительных скалярных полей , , то целевое многообразие — это . Если поле является действительным векторным полем, то целевое многообразие изоморфно . ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Теперь предположим, что есть функционал

${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

называется действием . (Оно принимает значения в , а не в ; это по физическим причинам и не имеет значения для данного доказательства.) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Чтобы получить обычную версию теоремы Нётер, нам нужны дополнительные ограничения на действие . Мы предполагаем, что это интеграл по M от функции ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

называется плотностью Лагранжа , зависящей от , ее производной и положения. Другими словами, для в ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

Предположим, что нам даны граничные условия , т. е. спецификация значения на границе , если M компактно , или некоторый предел на при x, стремящемся к ∞. Тогда подпространство из состоит из функций, таких , что все функциональные производные от at равны нулю, то есть: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}$

и удовлетворяющее заданным граничным условиям, является подпространством решений на оболочке . (См. принцип стационарного действия ) ${\displaystyle \varphi }$

Теперь предположим, что у нас есть бесконечно малое преобразование на , порожденное функциональным выводом , Q, такое, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

для всех компактных подмногообразий N или, другими словами,

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

для всех x , где мы устанавливаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}$

Если это выполняется на оболочке и вне оболочки , мы говорим, что Q генерирует симметрию вне оболочки. Если это выполняется только на оболочке , мы говорим, что Q генерирует симметрию на оболочке. Тогда мы говорим, что Q является генератором группы Ли симметрии с одним параметром .

Теперь для любого N , в силу теоремы Эйлера–Лагранжа , на оболочке (и только на оболочке), мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

Поскольку это верно для любого N , мы имеем

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}$

Но это уравнение непрерывности тока, определяемое как: ^[12] ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

который называется током Нётер, связанным с симметрией . Уравнение непрерывности говорит нам, что если мы проинтегрируем этот ток по пространственно-подобному срезу, мы получим сохраняющуюся величину, называемую зарядом Нётер (конечно, при условии, что если M некомпактно, токи достаточно быстро спадают на бесконечности).

Комментарии

Теорема Нётер — это теорема о оболочках : она основана на использовании уравнений движения — классического пути. Она отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. Предполагая отсутствие граничных членов в действии, теорема Нётер подразумевает, что

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.}$

Квантовыми аналогами теоремы Нётер, включающими значения ожиданий (например, ), также исследующими внеоболочечные величины, являются тождества Уорда–Такахаши . ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$

Обобщение на алгебры Ли

Предположим, что у нас есть два вывода симметрии Q ₁ и Q ₂ . Тогда [ Q ₁ ,  Q ₂ ] также является выводом симметрии. Давайте посмотрим на это явно. Скажем и $${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$ $${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

Тогда, где f ₁₂  =  Q ₁ [ f ₂ ^μ ] −  Q ₂ [ f ₁ ^μ ]. Итак, $${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$ $${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$

Это показывает, что мы можем естественным образом распространить теорему Нётер на более крупные алгебры Ли.

Обобщение доказательства

Это применимо к любому локальному выводу симметрии Q, удовлетворяющему QS  ≈ 0, а также к более общим локальным функциональным дифференцируемым действиям, включая те, где лагранжиан зависит от высших производных полей. Пусть ε — любая произвольная гладкая функция многообразия пространства-времени (или времени), такая, что замыкание ее носителя не пересекается с границей. ε  — тестовая функция . Тогда, из-за вариационного принципа (который, кстати, не применим к границе), распределение вывода q, сгенерированное q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )], удовлетворяет q [ ε ][ S ] ≈ 0 для любого  ε , или, более компактно, q ( x )[ S ] ≈ 0 для всех x не на границе (но помните, что q ( x ) является сокращением для распределения вывода , а не вывода, параметризованного x в общем случае). Это обобщение теоремы Нётер.

Чтобы увидеть, как обобщение связано с версией, приведенной выше, предположим, что действие — это пространственно-временной интеграл лагранжиана, который зависит только от и его первых производных. Также предположим ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}$

для всех . ${\displaystyle \varepsilon }$

В более общем случае, если лагранжиан зависит от высших производных, то

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}$

Примеры

Пример 1: Сохранение энергии

Рассматривая конкретный случай ньютоновской частицы массой m , координатой x , движущейся под действием потенциала V , координированного временем t . Действие , S , равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Первый член в скобках — это кинетическая энергия частицы, а второй — ее потенциальная энергия . Рассмотрим генератор временных сдвигов Q = d / dt . Другими словами, . Координата x имеет явную зависимость от времени, а V — нет; следовательно: ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$

${\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}$

так что мы можем установить

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$

Правая часть — это энергия, и теорема Нётер утверждает это (то есть принцип сохранения энергии является следствием инвариантности относительно временных сдвигов). ${\displaystyle dj/dt=0}$

В более общем случае, если лагранжиан не зависит явно от времени, величина

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$

(называемый гамильтонианом ) сохраняется.

Пример 2: Сохранение центра импульса

Продолжая рассматривать одномерное время, пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}$

для ньютоновских частиц, где потенциал зависит только попарно от относительного смещения. ${\displaystyle N}$

Для рассмотрим генератор преобразований Галилея (т.е. изменение системы отсчета). Другими словами, ${\displaystyle {\vec {Q}}}$

${\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.}$

И

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

Это имеет вид, поэтому мы можем установить ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}$

где — полный импульс, M — полная масса, а — центр масс. Теорема Нётер гласит: ${\displaystyle {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$

Пример 3: Конформное преобразование

Оба примера 1 и 2 относятся к одномерному многообразию (времени). Пример, включающий пространство-время, представляет собой конформное преобразование безмассового действительного скалярного поля с квартикальным потенциалом в (3 + 1)-пространстве- времени Минковского .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

Для Q рассмотрим генератор масштабирования пространства-времени. Другими словами,

${\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

Второй член в правой части обусловлен «конформным весом» . И ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}$

Это имеет форму

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

(где мы выполнили изменение фиктивных индексов), поэтому установите

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}$

Теорема Нётер утверждает это (что можно явно проверить, подставив уравнения Эйлера–Лагранжа в левую часть). ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

Если попытаться найти аналог этого уравнения Уорда–Такахаши , то можно столкнуться с проблемой из-за аномалий .

Приложения

Применение теоремы Нётер позволяет физикам получить мощное понимание любой общей теории в физике, просто анализируя различные преобразования, которые сделали бы форму задействованных законов инвариантной. Например:

• Инвариантность изолированной системы относительно пространственного перемещения (другими словами, то, что законы физики одинаковы во всех точках пространства) дает закон сохранения линейного импульса (который гласит, что полный линейный импульс изолированной системы постоянен).
• Инвариантность изолированной системы относительно временного преобразования (т.е. то, что законы физики одинаковы во все моменты времени) дает закон сохранения энергии (который гласит, что полная энергия изолированной системы постоянна).
• Инвариантность изолированной системы относительно вращения (т.е. то, что законы физики одинаковы относительно всех угловых ориентаций в пространстве) дает закон сохранения момента импульса (который гласит, что полный момент импульса изолированной системы постоянен).
• Инвариантность изолированной системы относительно лоренцевских усилений (т. е. то, что законы физики одинаковы по отношению ко всем инерциальным системам отсчета) приводит к теореме о центре масс (которая гласит, что центр масс изолированной системы движется с постоянной скоростью).

В квантовой теории поля аналог теоремы Нётер, тождество Уорда–Такахаши , приводит к дополнительным законам сохранения, таким как сохранение электрического заряда из инвариантности относительно изменения фазового множителя комплексного поля заряженной частицы и связанной с ним калибровки электрического потенциала и векторного потенциала .

Заряд Нётер также используется при вычислении энтропии стационарных чёрных дыр . ^[13]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Закон сохранения
• Заряд (физика)
• Симметрия калибровок
• Калибровочная симметрия (математика)
• Инвариант (физика)
• Голдстоуновский бозон
• Симметрия (физика)

Ссылки

1. Нётер, Э. (1918). «Проблема инвариантных вариаций». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Математически-физический класс. 1918 : 235–257.
2. Хосе, Хорхе В.; Салетан, Юджин Дж. (1998). Классическая динамика: современный подход. Кембридж [Англия]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC  857769535.
3. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Аналитическая механика. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57327-0. OCLC  37903527.
4. Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-534-40896-1. OCLC  759172774.
5. De Azcárraga, Ja; Lukierski, J.; Vindel, P. (1986-07-01). «Суперполя и канонические методы в суперпространстве». Modern Physics Letters A. 01 ( 4): 293–302. Bibcode : 1986MPLA....1..293D. doi : 10.1142/S0217732386000385. ISSN  0217-7323.
6. Томпсон, У. Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательным симметриям для физических систем. Т. 1. Wiley. С. 5. ISBN 0-471-55264-X.
7. Нина Байерс (1998) «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». В трудах симпозиума по наследию Эмми Нётер, состоявшегося 2–4 декабря 1996 года в Университете Бар-Илан, Израиль, Приложение B.
8. Дик, Огюст (1981). Эмми Нётер 1882–1935. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-1-4684-0535-4. ISBN 978-1-4684-0537-8.
9. Роу, Дэвид Э. (2021). Эмми Нётер – выдающийся математик. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-63810-8. ISBN 978-3-030-63809-2.
10. Ланцош, К. (1970). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-65067-7.
11. Goldstein, Herbert (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
12. Майкл Э. Пескин; Дэниел В. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля. Basic Books. стр. 18. ISBN 0-201-50397-2.
13. Айер, Вивек; Вальд, Роберт М. (15 октября 1995 г.). «Сравнение методов заряда Нётер и Евклида для вычисления энтропии стационарных чёрных дыр». Physical Review D. 52 ( 8): 4430–4439. arXiv : gr-qc/9503052 . Bibcode : 1995PhRvD..52.4430I. doi : 10.1103/PhysRevD.52.4430. PMID  10019667. S2CID  2588285.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)

Дальнейшее чтение

• Бадин, Гуалтьеро; Крисциани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка динамики жидкости и геофизической жидкости – механика, симметрии и законы сохранения . Springer. стр. 218. Bibcode : 2018vffg.book.....B. doi : 10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID  125902566.
• Джонсон, Тристан (2016). «Теорема Нётер: симметрия и сохранение». Диссертации с отличием . Union College . Получено 28 августа 2020 г.
• Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: Инвариантность и законы сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.Электронная копия.
• Мозер, Сет (21 апреля 2020 г.). «Понимание теоремы Нётер с помощью визуализации лагранжиана». Physics Capstone Projects : 1–12 . Получено 28 августа 2020 г. .
• Olver, Peter (1993). Applications of Lie groups to Differential Labs . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 107 (2nd ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95000-1.
• Сарданашвили, Г. (2016). Теоремы Нётер. Приложения в механике и теории поля . Springer-Verlag . ISBN 978-94-6239-171-0.

Внешние ссылки

• Эмми Нётер (1918). «Invariante Variationsprobleme» (на немецком языке).
• Эмми Нётер (1971). «Инвариантные вариационные задачи». Теория переноса и статистическая физика . 1 (3). Перевод Морта Тавела: 186–207. arXiv : physics/0503066 . Bibcode :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.(Оригинал в Gott. Nachr. 1918: 235–257)
• Байерс, Нина (1998). «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». arXiv : physics/9807044 .
• Баез, Джон (2002). «Теорема Нётер в двух словах». math.ucr.edu . Получено 28 августа 2020 г. .
• Владимир Куэста; Мерсед Монтесинос; Хосе Давид Вергара (2007). "Калибровочная инвариантность принципа действия для калибровочных систем с неканоническими симплектическими структурами". Physical Review D. 76 ( 2): 025025. Bibcode : 2007PhRvD..76b5025C. doi : 10.1103/PhysRevD.76.025025.
• Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M. (2004). «Симметрии и законы сохранения: Следствия теоремы Нётер». American Journal of Physics . 72 (4): 428–35. Bibcode : 2004AmJPh..72..428H. doi : 10.1119/1.1591764.
• Леоне, Рафаэль (11 апреля 2018 г.). «О чудесности теорем Нётер, 100 лет спустя, и редукция Рауса». arXiv : 1804.01714 [physics.hist-ph].
• Теорема Нётер на MathPages.
• Merced Montesinos; Ernesto Flores (2006). "Симметричный тензор энергии-импульса в теориях Максвелла, Янга–Миллса и Прока, полученный с использованием только теоремы Нётер" (PDF) . Revista Mexicana de Física . 52 (1): 29–36. arXiv : hep-th/0602190 . Bibcode :2006RMxF...52...29M. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2014-11-12 .
• Нойеншвандер, Дуайт Э. (2010). Замечательная теорема Эмми Нётер . Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-9694-1.
• Куигг, Крис (9 июля 2019 г.). «Коллоквиум: столетие теоремы Нётер». arXiv : 1902.01989 [physics.hist-ph].
• Сарданашвили (2009). «Калибровочные законы сохранения в общем случае. Суперпотенциал». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 6 (6): 1047–1056. arXiv : 0906.1732 . Bibcode :2009arXiv0906.1732S. doi :10.1142/S0219887809003862.