Уравнение Клейна – Гордона

Релятивистское волновое уравнение в квантовой механике

Уравнение Клейна-Гордона ( уравнение Клейна-Фока-Гордона или иногда уравнение Клейна-Гордона-Фока ) — релятивистское волновое уравнение , родственное уравнению Шредингера . Оно второго порядка в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантно . Это квантованная версия релятивистского соотношения энергии и импульса . Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле — поле , квантами которого являются бесспиновые частицы. Его теоретическая значимость аналогична значению уравнения Дирака . ^[1] Электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярной электродинамики , но поскольку обычные бесспиновые частицы, такие как пионы , нестабильны и также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в гамильтониане ) [ ^2], практическая полезность ограничена. ${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме оно выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени. ^[3] Решения имеют две компоненты, отражающие степень свободы заряда в теории относительности. ^{[3] [4]} Он допускает сохраняющуюся величину, но она не является положительно определенной. Поэтому волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности . Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд , а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда . Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака для каждой из четырех его компонент является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Уравнение Клейна-Гордона не составляет основу последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории . Не существует известной такой теории для ^частиц любого ^{спина .} Для полного примирения квантовой механики со специальной теорией относительности необходима квантовая теория поля , в которой уравнение Клейна-Гордона вновь возникает как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей. ^{[nb 1]} В квантовой теории поля по-прежнему играют роль решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений. Они нужны для построения гильбертова пространства ( пространства Фока ) и выражения квантовых полей с помощью полных наборов (охватывающих наборов гильбертова пространства) волновых функций.

Заявление

Уравнение Клейна–Гордона можно записать по-разному. Само уравнение обычно относится к форме позиционного пространства, где его можно записать через разделенные компоненты пространства и времени или путем объединения их в четырехвектор . Путем преобразования Фурье поля в пространство импульсов решение обычно записывается в терминах суперпозиции плоских волн , энергия и импульс которых подчиняются закону дисперсии энергии-импульса из специальной теории относительности . Здесь уравнение Клейна-Гордона дано для обоих двух общих соглашений о метрических сигнатурах . ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

Здесь – волновой оператор , – оператор Лапласа . Скорость света и постоянная Планка часто запутывают уравнения, поэтому их часто выражают в натуральных единицах, где . ${\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c=\hbar =1}$

В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна-Гордона допускает два значения ω для каждого k : одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. В нестационарном случае уравнение Клейна – Гордона принимает вид

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

что формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона . Уравнение Клейна-Гордона также можно представить в виде: ^[5]

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mu }{\hat {p}}_{\mu }\psi =m^{2}c^{2}\psi }$

где оператор импульса имеет вид: . ${\textstyle {\hat {p}}^{\mu }=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\mathrm {i} \hbar \left\{{\frac {\partial }{\partial (ct)}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}=\{{\frac {E}{c}},\mathbf {p} \}}$

Решение для свободных частиц

Здесь уравнение Клейна-Гордона в натуральных единицах с метрической сигнатурой решается преобразованием Фурье. Вставка преобразования Фурье ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$

$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$

ортогональности

$${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$

на оболочке

$${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$

${\displaystyle C(p)}$

$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$

${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ ${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$

Обычно это принимают за общее решение уравнения Клейна – Гордона. Обратите внимание, что, поскольку исходное преобразование Фурье содержало только лоренц-инвариантные величины , последнее выражение также является лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна – Гордона. Если не требуется лоренц-инвариантность, можно включить -фактор в коэффициенты и . ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle A(p)}$ ${\displaystyle B(p)}$

История

Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна ^[6] и Уолтера Гордона ^[7] , которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Владимир Фок также открыл уравнение независимо в 1926 году, немного позже работы Кляйн, ^[8] в том смысле, что статья Кляйна была получена 28 апреля 1926 года, статья Фока была получена 30 июля 1926 года, а статья Гордона 29 сентября 1926 года. Другие авторы делали аналогичные заявления в в том же году Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль . Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака , уравнение Клейна-Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы , такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса представляет собой частицу с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица , описываемая уравнением Клейна-Гордона. Необходимы дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.

Уравнение Клейна-Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение можно найти в его записных книжках конца 1925 года, и он, судя по всему, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неправильно предсказывает тонкую структуру атома водорода, включая переоценку общей величины картины расщепления в несколько раз.4 н/2 п - 1для n -го энергетического уровня. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстановить, если квантовое число орбитального момента l заменить квантовым числом полного углового момента j . ^[9] В январе 1926 года Шредингер вместо этого представил для публикации свое уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает боровские уровни энергии водорода без тонкой структуры .

В 1926 году, вскоре после введения уравнения Шрёдингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей , где силы зависели от скорости , и самостоятельно вывел это уравнение. И Кляйн, и Фок использовали метод Калуцы и Кляйна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна-Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Квантуя это, мы получаем нерелятивистское уравнение Шрёдингера для свободной частицы:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

— оператор импульса ( ∇ — оператор del ), а

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

является энергетическим оператором .

Уравнение Шредингера страдает тем, что не является релятивистски инвариантным , а это означает, что оно несовместимо со специальной теорией относительности .

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

Тогда простое добавление квантово-механических операторов для импульса и энергии дает уравнение

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

Квадратный корень дифференциального оператора можно определить с помощью преобразований Фурье , но из-за асимметрии производных по пространству и времени Дирак счел невозможным включить внешние электромагнитные поля релятивистски-инвариантным способом. Поэтому он искал другое уравнение, которое можно было бы модифицировать, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. также Введение в нелокальные уравнения).

Вместо этого Кляйн и Гордон начали с квадрата вышеуказанного тождества, т.е.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

что при квантовании дает

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

что упрощается до

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Перестановка условий дает результат

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Поскольку из этого уравнения исключены все ссылки на мнимые числа, его можно применять как к полям с действительными значениями , так и к полям с комплексными значениями .

Переписав первые два члена, используя обратную метрику Минковского diag(− c ² , 1, 1, 1) , и явно записав соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получаем

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

Таким образом, уравнение Клейна–Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает аббревиатуру в виде

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

и

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Этот оператор называется волновым оператором .

Сегодня эта форма интерпретируется как уравнение релятивистского поля для частиц со спином -0. ^[3] Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это распространяется на частицы любого спина из-за уравнений Баргмана-Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна-Гордона, ^[10] что делает это уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна–Гордона в потенциале

Уравнение Клейна–Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале следующим образом ^[11] ${\displaystyle V(\psi )}$

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

Тогда уравнение Клейна-Гордона имеет место . ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

Другой распространенный выбор потенциала, который возникает во взаимодействующих теориях, - это потенциал реального скалярного поля. ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

сектор Хиггса

Чистый сектор бозона Хиггса Стандартной модели моделируется полем Клейна–Гордона с потенциалом, обозначенным в этом разделе. Стандартная модель представляет собой калибровочную теорию, поэтому, хотя поле тривиально преобразуется под действием группы Лоренца, оно преобразуется как -значный вектор под действием части калибровочной группы. Поэтому, хотя это векторное поле , его все еще называют скалярным полем, поскольку скаляр описывает его преобразование (формально, представление) в группе Лоренца. Это также обсуждается ниже в разделе скалярной хромодинамики. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$

Поле Хиггса моделируется потенциальным

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$,

которое можно рассматривать как обобщение потенциала , но оно имеет важное отличие: оно имеет круг минимумов. Это наблюдение является важным в теории спонтанного нарушения симметрии Стандартной модели. ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Сохраняемый ток U(1)

Уравнение Клейна–Гордона (и действие) для комплексного поля допускает симметрию. То есть при преобразованиях ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

уравнение Клейна – Гордона инвариантно, как и действие (см. ниже). По теореме Нётер для полей, соответствующих этой симметрии, существует ток, определяемый как ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

которое удовлетворяет уравнению сохранения. Форму сохраняющегося тока можно получить систематически, применяя теорему Нётер к симметрии . Мы не будем здесь этого делать, а просто проверим, что этот ток сохраняется. ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Из уравнения Клейна-Гордона для комплексного поля массы , записанного в ковариантной записи и в основном с сигнатурой, ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

и его комплексно-сопряженный

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

Умножая слева соответственно на и (и опуская для краткости явную зависимость), ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

Вычитая первое из второго, получаем

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

или в индексной записи,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

Применяя это к производной тока, находим ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

Эта симметрия является глобальной симметрией, но ее также можно оценить для создания локальной или калибровочной симметрии: см. Ниже скалярную КЭД. Название калибровочной симметрии несколько вводит в заблуждение: на самом деле это избыточность, тогда как глобальная симметрия — это настоящая симметрия. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Лагранжева формулировка

Уравнение Клейна–Гордона также может быть получено вариационным методом, возникающим как уравнение Эйлера–Лагранжа действия

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

В натуральных единицах, с сигнатурой преимущественно минус , действия принимают простую форму.

Действие Клейна – Гордона для реального скалярного поля.

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)}$

для реального скалярного поля массы и ${\displaystyle m}$

Действие Клейна – Гордона для комплексного скалярного поля.

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

для комплексного скалярного поля массы . ${\displaystyle M}$

Применяя формулу для тензора энергии-импульса к плотности лагранжа (величине внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. Это

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

и в натуральных единицах,

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

Интегрируя временную составляющую T ⁰⁰ по всему пространству, можно показать, что решения в виде плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не относится к уравнению Дирака и его тензору энергии-импульса. ^[3]

Тензор энергии напряжения представляет собой набор сохраняющихся токов, соответствующих инвариантности уравнения Клейна – Гордона относительно сдвигов пространства-времени . Следовательно, каждый компонент сохраняется (это справедливо только на оболочке , то есть когда выполняются уравнения Клейна – Гордона). Отсюда следует, что интеграл по пространству является сохраняющейся величиной для каждого . Они имеют физическую интерпретацию полной энергии для и полного импульса для с . ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle T^{0\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =i}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Принятие нерелятивистского предела ( v ≪ c ) классического поля Клейна – Гордона ψ ( x , t ) начинается с анзаца, учитывающего член энергии колебательной массы покоя ,

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

Определение кинетической энергии в нерелятивистском пределе и, следовательно, ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ ${\displaystyle v=p/m\ll c}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

Применение этого дает нерелятивистский предел второй производной по времени , ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

Подстановка в свободное уравнение Клейна–Гордона дает ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -m^{2}\psi }$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

что (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

Это классическое поле Шрёдингера .

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна – Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе v ≪ c операторы рождения и уничтожения разделяются и ведут себя как независимые квантовые поля Шрёдингера .

Скалярная электродинамика

Существует способ заставить сложное поле Клейна – Гордона взаимодействовать с электромагнетизмом калибровочно -инвариантным способом. Мы можем заменить (частную) производную калибровочно-ковариантной производной. При локальном калибровочном преобразовании поля преобразуются как ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

где - функция пространства-времени, что делает ее локальной трансформацией, а не константой во всем пространстве-времени, которая была бы глобальной трансформацией. Тонкий момент заключается в том, что глобальные преобразования могут возникать как локальные, когда функция принимается в качестве постоянной функции. ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

Хорошо сформулированная теория должна быть инвариантной относительно таких преобразований. Именно это означает, что уравнения движения и действия (см. ниже) инвариантны. Чтобы добиться этого, обычные производные должны быть заменены калибровочно-ковариантными производными , определяемыми как ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

где 4-потенциал или калибровочное поле при калибровочном преобразовании преобразуется как ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$.

С помощью этих определений ковариантная производная преобразуется как

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

Таким образом, в натуральных единицах уравнение Клейна – Гордона принимает вид

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

Поскольку некалиброванная симметрия присутствует только в комплексной теории Клейна-Гордона, эта связь и продвижение к калибровочной симметрии совместимы только с комплексной теорией Клейна-Гордона, а не с настоящей теорией Клейна-Гордона. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

В натуральных единицах и в основном с минусовой сигнатурой мы имеем

Скалярное действие КЭД

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}}$

где известен как тензор Максвелла, напряженность поля или кривизна в зависимости от точки зрения. ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Эту теорию часто называют скалярной квантовой электродинамикой или скалярной КЭД, хотя все аспекты, которые мы здесь обсуждали, являются классическими.

Скалярная хромодинамика

Это можно распространить на неабелеву калибровочную теорию с калибровочной группой , где мы связываем скалярное действие Клейна – Гордона с лагранжианом Янга – Миллса . Здесь поле фактически векторнозначное, но все же описывается как скалярное поле: скаляр описывает его преобразование при преобразованиях пространства-времени , но не его преобразование под действием калибровочной группы. ${\displaystyle G}$

Для конкретности мы полагаем , что это особая унитарная группа для некоторых . При калибровочном преобразовании , которое можно описать как функцию, скалярное поле преобразуется как вектор ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$.

Ковариантная производная

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

где калибровочное поле или связь преобразуются как

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

Это поле можно рассматривать как поле с матричным значением, которое действует в векторном пространстве . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Наконец, определяя напряженность или кривизну хромомагнитного поля,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

мы можем определить действие.

Скалярное действие КХД

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi }$

Кляйн-Гордон об искривленном пространстве-времени

В общую теорию относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными производными , и уравнение Клейна-Гордона становится (в сигнатуре в основном плюсами ) ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

где g ^αβ — инверсия метрического тензора , который является гравитационным потенциальным полем, g — определитель метрического тензора, ∇ _µ — ковариантная производная , а Γ ^σ _µν — символ Кристоффеля , который представляет собой поле гравитационных сил .

С натуральными единицами это становится

Уравнение Клейна–Гордона об искривленном пространстве-времени для реального скалярного поля

${\displaystyle \nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0}$

Это также допускает формулировку действия на пространственно-временном (лоренцевом) многообразии . Используя абстрактную индексную нотацию и в основном плюсовую подпись, это ${\displaystyle M}$

Действие Клейна – Гордона на искривленном пространстве-времени для реального скалярного поля

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)}$

или

Действие Клейна – Гордона на искривленное пространство-время для комплексного скалярного поля

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)}$

Смотрите также

• Квантовая теория поля
• Квартическое взаимодействие
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Дирака (спин 1/2)
• Действие прока (вращение 1)
• Уравнение Рариты – Швингера (спин 3/2)
• Скалярная теория поля
• Уравнение Синус – Гордон

Примечания

1. Стивен Вайнберг высказывает мнение по этому поводу. Он вообще исключает рассмотрение релятивистской волновой механики в своем в остальном полном введении в современные приложения квантовой механики, объясняя: «Мне кажется, что то, как это обычно представляется в книгах по квантовой механике, глубоко вводит в заблуждение». (Из предисловия к «Лекциям по квантовой механике» , где говорится об трактовке уравнения Дирака в его первоначальном виде.)
   Другие, как это делает Уолтер Грейнер в своей серии статей по теоретической физике, дают полное описание исторического развития и взглядов на релятивистскую квантовую механику. прежде чем они доберутся до современной интерпретации, на том основании, что с педагогической точки зрения крайне желательно или даже необходимо пойти длинным путем.

Примечания

1. Гросс 1993.
2. Грейнер и Мюллер 1994.
3. Greiner 2000, гл. 1.
4. Фешбах и Вилларс 1958.
5. Грейнер, Уолтер (29 июня 2013 г.). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-03425-5.
6. О. Кляйн, З.С. ф. Физ. 37 895 г. 1926 г.
7. В. Гордон, Z. Phys., 40 (1926–1927), стр. 117–133.
8. В. Фок, З.С. ф. Физ.39, 226, 1926 г.
9. См. Ицыксон, К.; Зубер, Ж.-Б. (1985). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл. стр. 73–74. ISBN 0-07-032071-3.уравнение 2.87 идентично уравнению. 2.86, за исключением того, что здесь используется j вместо l .
10. Вайнберг 2002, гл. 5.
11. Тонг, Дэвид (2006). «Лекции по квантовой теории поля, лекция 1, раздел 1.1.1» . Проверено 16 января 2012 г.
12. Фуллинг, SA (1996). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Издательство Кембриджского университета. п. 117. ИСБН 0-07-066353-Х.

Рекомендации

• Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание . Пергамон Пресс . ISBN 0-08-020437-6.
• Фешбах, Х.; Вилларс, Ф. (1958). «Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2». Обзоры современной физики . 30 (1): 24–45. Бибкод : 1958RvMP...30...24F. doi : 10.1103/RevModPhys.30.24.
• Гордон, Уолтер (1926). «Комптонэффект на теорию Шредингера». Zeitschrift für Physik . 40 (1–2): 117. Бибкод : 1926ZPhy...40..117G. дои : 10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
• Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 3-5406-74578.
• Грейнер, В.; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3540580805.
• Гросс, Ф. (1993). Релятивистская квантовая механика и теория поля (1-е изд.). Вайли-ВЧ . ISBN 978-0471591139.
• Кляйн, О. (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
• Сакураи, Джей-Джей (1967). Продвинутая квантовая механика . Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-06710-2.
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том. I. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55001-7.

Внешние ссылки

• «Уравнение Клейна – Гордона», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Клейна-Гордона». Математический мир .
• Линейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Введение в нелокальные уравнения.