В физике , особенно в релятивистской квантовой механике (РКМ) и ее приложениях к физике элементарных частиц , релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях , сравнимых со скоростью света . В контексте квантовой теории поля (КТП) уравнения определяют динамику квантовых полей . Решения уравнений, обычно обозначаемые как ψ или Ψ ( греческий psi ), называются « волновыми функциями » в контексте RQM и « полями » в контексте QFT. Сами уравнения называются «волновыми уравнениями» или «уравнениями поля», потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из лагранжевой плотности и теоретико-полевых уравнений Эйлера – Лагранжа ( предысторию см. в классической теории поля ).
В картине Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шрёдингера ;
В более общем плане – современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, – это теория групп Лоренца , в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца . [1]
Неудача классической механики применительно к молекулярным , атомным , ядерным системам и более мелким системам вызвала необходимость в новой механике: квантовой механике . Математическая формулировка была разработана Де Бройлем , Бором , Шрёдингером , Паули , Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична формулировке классической механики. Уравнение Шредингера и картина Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел , а поскольку приведенная постоянная Планка ħ , квант действия , стремится к нулю. Это принцип соответствия . На тот момент специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга в том виде, в котором они первоначально предлагались, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света , или когда число частиц каждого типа изменения (это происходит при реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц , аннигиляции , создания материи , образования пар и так далее).
Многие физики-теоретики искали описание квантово-механических систем, которое могло бы объяснить релятивистские эффекты; с конца 1920-х до середины 1940-х годов. [2] Первая основа релятивистской квантовой механики , то есть специальной теории относительности, применяемой совместно с квантовой механикой, была найдена всеми теми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна-Гордона :
вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистское соотношение энергия-импульс :
Решениями ( 1 ) являются скалярные поля . Уравнение КГ нежелательно из-за его предсказания отрицательных энергий и вероятностей в результате квадратичного характера ( 2 ) – неизбежного в релятивистской теории. Первоначально это уравнение было предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам только для того, чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называется уравнением Шредингера ) все еще имеет значение. Тем не менее, – ( 1 ) применимо к бозонам со спином 0 . [3]
Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкую структуру спектрального ряда водорода . Загадочным основным свойством было вращение . Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнение Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитных полях , но это было феноменологически . Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейля для безмассового спин-1/2фермионы. Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он добился дальнейшего применения уравнения ( 2 ) к электрону – путем различных манипуляций он факторизовал уравнение к виду:
и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после добавления операторов энергии и импульса. Впервые это ввело новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистское волновое уравнение и объяснило тонкую структуру водорода. Решениями ( 3А ) являются многокомпонентные спинорные поля , и каждая компонента удовлетворяет ( 1 ). Замечательным результатом спинорных решений является то, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина — античастицу ; в данном случае электрон и позитрон . Теперь известно, что уравнение Дирака применимо ко всем массивным спиновым1/2 фермионы . В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, тогда как в безмассовом случае получается уравнение Вейля.
Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно справедливо только для спин-1/2фермионы, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, что вызвало в то время споры (в частности, не всех физиков устраивало «море Дирака » состояний с отрицательной энергией).
Стала ясна естественная задача: обобщить уравнение Дирака на частицы любого спина ; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно, из-за спинорного формализма, введенного Дираком в его уравнение, а также недавних на тот момент разработок спинорного исчисления Ван дер Вардена в 1929 году), и в идеале с решениями с положительной энергией. [2]
Эта проблема была введена и решена Майораной в 1932 году путем отклонения от Дирака. Майорана считал один «корень» ( 3А ):
где ψ — теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, несводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы устранить неопределенность в знаке. Матрицы α и β являются бесконечномерными матрицами, связанными с бесконечно малыми преобразованиями Лоренца . Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B удовлетворял уравнению ( 2 ), вместо этого он восстановил уравнение, используя лоренц-инвариантное действие , посредством принципа наименьшего действия и применения теории групп Лоренца . [4] [5]
Майорана сделал и другие важные работы, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различных размерностей (5, 6 и 16). Позднее они были предвосхищены (более сложным образом) де Бройлем (1934), а Даффином, Кеммером и Петио (около 1938–1939) (см. « Алгебра Даффина – Кеммера – Петио» ) . Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новыми математическими инструментами в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнеру потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году. [2]
Дирак в 1936 году, а также Фирц и Паули в 1939 году построили уравнения из неприводимых спиноров A и B , симметричных по всем индексам, для массивной частицы со спином n + ½ для целого числа n ( значение пунктирных индексов см. в обозначениях Ван дер Вардена). ):
где p — импульс как ковариантный спинорный оператор. При n = 0 уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а A и B вместе преобразуются в исходный спинор Дирака . Исключение A или B показывает, что A и B удовлетворяют ( 1 ). [2] Прямой вывод уравнений Дирака-Паули-Фирца с использованием операторов Баргмана-Вигнера приведен в [6] .
В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на частицах со спином 3/2 и вывели уравнение Рариты-Швингера , включая лагранжиан для его генерации, а позже обобщили уравнения, аналогичные спину n + ½ для целого числа n . В 1945 году Паули предложил Бхабхе статью Майораны 1932 года , который вернулся к общим идеям, введенным Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили совершенно общую систему уравнений, заменив массовые члены в ( 3A ) и ( 3B ) произвольной константой. , при соблюдении ряда условий, которым должны подчиняться волновые функции. [7]
Наконец, в 1948 году (тот же год, когда была сформулирована формулировка Фейнмана для интеграла по траекториям) Баргманн и Вигнер сформулировали общее уравнение для массивных частиц, которые могли иметь любой спин, рассмотрев уравнение Дирака с полностью симметричным спинором с конечными компонентами. и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана-Вигнера . [2] [8] В начале 1960-х годов Х. Йоосом и Стивеном Вайнбергом была сделана переформулировка уравнений Баргмана-Вигнера - уравнение Йоса- Вайнберга . Различные теоретики в это время проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином. [1] [9] [10]
Релятивистское описание спиновых частиц было сложной проблемой в квантовой теории. Это все еще остается областью современных исследований, поскольку проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют. [5]
Следующие уравнения имеют решения, удовлетворяющие принципу суперпозиции , то есть волновые функции аддитивны .
Повсюду используются стандартные обозначения тензорных индексов и косой черты Фейнмана , включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексированных величин. Волновые функции обозначаются ψ , а ∂ µ — компоненты четырехградиентного оператора .
В матричных уравнениях матрицы Паули обозначаются σ µ , в которых µ = 0, 1, 2, 3 , где σ 0 — единичная матрица размера 2 × 2 :
Гамма - матрицы обозначаются γ µ , в которых µ снова = 0, 1, 2, 3 , и существует несколько представлений для выбора. Матрица γ0 не обязательно является единичной матрицей размера 4 ×4 . Выражение
Обратите внимание, что такие термины, как скаляр « mc » , умножают единичную матрицу соответствующего измерения , распространенные размеры — 2 × 2 или 4 × 4 , и обычно для простоты их не пишут.
Уравнение Даффина -Кеммера-Петио представляет собой альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:
Начните со стандартной 4-векторной специальной теории относительности (СТО).
Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :
Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:
Последнее уравнение представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.
Применительно к скалярному полю Лоренца получается уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.
Уравнение Шрёдингера — это предельный случай низкой скорости ( v << c ) уравнения Клейна–Гордона .
Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю вместо скалярного поля Лоренца , тогда получается уравнение Прока (в калибровке Лоренца ):
Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла (в калибровке Лоренца )
При правильном ортохронном преобразовании Лоренца x → Λ x в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ j σ спина j с z-компонентой спина σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : [12] [13]
Неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел ( A , B ) . Из них можно построить все остальные представления, используя различные стандартные методы, например, взяв тензорные произведения и прямые суммы . В частности, само пространство-время представляет собой 4-векторное представление (1/2,1/2) так что Λ ∈ D' (1/2, 1/2) . Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются под действием (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) представление. В общем, пространство представления ( A , B ) имеет подпространства , которые под подгруппой пространственных вращений SO(3) преобразуются неприводимо, как объекты спина j , где каждое допустимое значение:
Представления D ( j , 0) и D (0, j ) могут каждое отдельно представлять частицы спина j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.
Существуют уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.