Принцип стационарного действия

Вариационный принцип в физике

Принцип стационарного действия , также известный как принцип наименьшего действия , представляет собой вариационный принцип , который при применении к действию механической системы приводит к уравнениям движения этой системы. Принцип гласит, что траектории (т.е. решения уравнений движения) являются стационарными точками функционала действия системы . ^[1]

Термин «наименьшее действие» часто используется физиками ^{[1] , хотя этот принцип} не имеет общего требования минимальности . ^[2] Исторически этот принцип был известен как «наименьшее действие», и Фейнман принял это название вместо «принципа Гамильтона», когда адаптировал его для квантовой механики. ^[3]

Этот принцип можно использовать для вывода ньютоновских , лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения и даже общей теории относительности , а также классической электродинамики и квантовой теории поля . В этих случаях различные действия должны быть минимизированы или максимизированы. В теории относительности это действие Эйнштейна-Гильберта . Для квантовой теории поля это включает в себя формулировку интеграла по траекториям .

Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики. ^[4]

Этот принцип остается центральным в современной физике и математике , применяется в термодинамике , ^{[5] [6] [7]} механике жидкости , ^[8] теории относительности , квантовой механике , ^[9] физике элементарных частиц и теории струн ^[10] и находится в центре внимания современных математических исследований теории Морса . Принцип Мопертюи и принцип Гамильтона иллюстрируют принцип стационарного действия.

Ученые часто приписывают Пьеру Луи Мопертюи формулировку принципа наименьшего действия, поскольку он писал об этом в 1744 ^[11] и 1746 годах. ^[12]

Общее заявление

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, по которому проходит система (красный цвет), имеет стационарное действие ( δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы ( δq ). ^[13]

Обозначаемое действие физической системы определяется как интеграл лагранжиана L между двумя моментами времени t 1 _и t 2 _– технически это функционал от N обобщенных координат q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N ) , которые являются функциями времени и определяют конфигурацию системы: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

$${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{N}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ,t_{1},t_{2}]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t)dt}$$

производную по времениt

Математически принцип таков: ^{[14] [15]}

$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0,}$$

δдельтанебольшое^[13]

Путь, пройденный системой между моментами времени t ₁ и t ₂ и конфигурациями q ₁ и q ₂ , - это путь, для которого действие является стационарным (без изменений) первого порядка .

Стационарное действие не всегда является минимумом, несмотря на историческое название наименьшего действия. ^{[16] [1] : 19–6} Это принцип минимума для достаточно коротких конечных отрезков пути конечномерной системы. ^[2]

В приложениях утверждение и определение действия объединяются в « принцип Гамильтона », записанный в современной форме как: ^[17]

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0.}$$

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы во все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, прочерченной системой в терминах координат в конфигурационном пространстве , т.е. кривой q ( t ) , параметризованной временем (см. также параметрическое уравнение для этой концепции).

История

Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптике . В Древней Греции Евклид писал в своей «Катоптрике» , что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения . ^[18] Герой Александрийский позже показал, что этот путь был самой короткой длины и наименьшего времени. ^[19]

Основываясь на ранних работах Пьера Луи Мопертюи , Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа , определяющих версии принципа наименьшего действия , ^{[20] : 580} Уильям Роуэн Гамильтон и в тандеме Карл Густав Якоби разработали вариационную форму классической механики, известную как Гамильтон . – уравнение Якоби . ^{[21] : 201}

В 1915 году Дэвид Гильберт применил вариационный принцип для вывода уравнений общей теории относительности Альберта Эйнштейна . ^[22]

В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип можно использовать в квантовых вычислениях, обнаружив квантовомеханическую основу принципа квантовой интерференции амплитуд. ^[23] Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применили этот принцип в квантовой электродинамике. ^{[24] [25]}

Споры о возможных телеологических аспектах

Математическая эквивалентность дифференциальных уравнений движения и их интегральных аналогов имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения — это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или в один момент времени. Например, второй закон Ньютона

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

мгновеннаяFm,моментaклассических

Учитывая, что частица начинается в позиции x ₁ в момент времени t ₁ и заканчивается в позиции x ₂ в момент t ₂ , физическая траектория, соединяющая эти две конечные точки, является экстремумом интеграла действия.

В частности, фиксация конечного состояния интерпретировалась как придание принципу действия телеологического характера , который исторически вызывал споры. Однако, согласно Вольфгангу Юрграу  [де] и Стэнли Мандельштаму , телеологический подход... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которыми они де-факто не обладают ^[26] . Кроме того, некоторые критики утверждают, что эта кажущаяся телеология возникает из-за способ, в котором был задан вопрос. Определяя некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот «обратный» вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение.

Смотрите также

• Действие (физика)
• Формулировка интеграла по траектории
• Квантовый принцип действия Швингера
• Путь наименьшего сопротивления
• Аналитическая механика
• Вариационное исчисление
• гамильтонова механика
• Лагранжева механика
• бритва Оккама
• Вариационный принцип

Примечания и ссылки

1. Лекции Фейнмана по физике Vol. II гл. 19: Принцип наименьшего действия
2. Стеле, Филип М. (1993). «Принцип наименьшего действия». В Паркер, СП (ред.). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 670. ИСБН 0-07-051400-3.
3. Мур, Томас А. (1 апреля 2004 г.). «Получение максимального действия из наименьшего действия: предложение». Американский журнал физики . 72 (4): 522–527. Бибкод : 2004AmJPh..72..522M. дои : 10.1119/1.1646133. ISSN  0002-9505.
4. Ричард Фейнман , Характер физического закона .
5. Гарсиа-Моралес, Владимир; Пеллисер, Хулио; Мансанарес, Хосе А. (2008). «Термодинамика, основанная на принципе наименьшего сокращенного действия: производство энтропии в сети связанных осцилляторов». Анналы физики . 323 (8): 1844–58. arXiv : cond-mat/0602186 . Бибкод : 2008AnPhy.323.1844G. дои : 10.1016/j.aop.2008.04.007. S2CID  118464686.
6. Гей-Бальмаз, Франсуа; Ёсимура, Хироаки (2018). «От лагранжевой механики к неравновесной термодинамике: вариационная перспектива». Энтропия . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Бибкод : 2018Entrp..21....8G. дои : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. ПМЦ 7514189 . ПМИД  33266724. 
7. Био, Морис Энтони (1975). «Принцип виртуальной диссипации и уравнения Лагранжа в нелинейной необратимой термодинамике». Бюллетень класса наук . 61 (1): 6–30. дои : 10.3406/barb.1975.57878. ISSN  0001-4141.
8. Грей, Крис (2009). «Принцип наименьшего действия». Схоларпедия . 4 (12): 8291. Бибкод : 2009SchpJ...4.8291G. doi : 10.4249/scholarpedia.8291 .
9. Фейнман, Ричард Филлипс (1942), Принцип наименьшего действия в квантовой механике (диссертация), Bibcode : 1942PhDT.........5F
10. «Принцип наименьшего действия - damtp» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 октября 2015 г. Проверено 18 июля 2016 г.
11. PLM де Мопертюи, Соглашение о различиях в природе, которое обеспечивает несовместимое право. (1744) Память. Как. наук. Париж р. 417. (перевод на английский)
12. PLM де Мопертюи, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de метафизики. (1746) Память. Ак. Берлин, с. 267.(английский перевод)
13. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. п. 474. ИСБН 978-0-679-77631-4.
14. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
15. Аналитическая механика, Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
16. Гудман, Бернард (1993). "Действие". В Паркер, СП (ред.). Энциклопедия физики МакГроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 22. ISBN 0-07-051400-3.
17. Классическая механика, TWB Kibble, Европейская серия по физике, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0 
18. Хельцбергер, Макс (1966). «Оптика от Евклида до Гюйгенса». Прикладная оптика . 5 (9): 1383–93. Бибкод : 1966ApOpt...5.1383H. дои : 10.1364/AO.5.001383. PMID  20057555. В катоптрике утверждается закон отражения, а именно, что входящие и исходящие лучи образуют одинаковый угол с нормалью к поверхности.
19. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167–68. ISBN 0-19-501496-0.
20. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 167–168. ISBN 0-19-501496-0.
21. Накане, Мичиё и Крейг Г. Фрейзер. «Ранняя история динамики Гамильтона-Якоби 1834–1837». Центавр 44.3-4 (2002): 161-227.
22. Мехра, Джагдиш (1987). «Эйнштейн, Гильберт и теория гравитации». В Мехре, Джагдиш (ред.). Концепция физика о природе (Переиздание). Дордрехт: Рейдель. ISBN 978-90-277-2536-3.
23. Дирак, Поль AM (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 (1): 64–72.
24. Р. Фейнман, Квантовая механика и интегралы по траекториям, McGraw-Hill (1965), ISBN 0-07-020650-3 
25. Дж. С. Швингер, Квантовая кинематика и динамика, В. А. Бенджамин (1970), ISBN 0-7382-0303-3 
26. Штёльцнер, Майкл (1994). «Принципы действия и телеология». В Х. Атманспехере; Дж. Дж. Даленорт (ред.). Внутри против снаружи . Спрингеровская серия по синергетике. Том. 63. Берлин: Шпрингер. стр. 33–62. дои : 10.1007/978-3-642-48647-0_3. ISBN 978-3-642-48649-4.

дальнейшее чтение

Аннотированную библиографию см. у Эдвина Ф. Тейлора, который, среди прочего, перечисляет следующие книги.

• Корнелиус Ланцос , Вариационные принципы механики (Dover Publications, Нью-Йорк, 1986). ISBN 0-486-65067-7 . Ссылка , наиболее цитируемая всеми, кто исследует эту область. 
• Л. Д. Ландау , Е. М. Лифшиц , Механика, Курс теоретической физики (Butterworth-Heinenann, 1976), 3-е изд., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0 . Начинается с принципа наименьшего действия. 
• Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в Физической энциклопедии Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), том 2, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC  35269891, страницы 840–842. 
• Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом , Структура и интерпретация классической механики (MIT Press, 2001). Начинает с принципа наименьшего действия, использует современные математические обозначения и проверяет ясность и последовательность процедур, программируя их на компьютерном языке.
• Дэйр А. Уэллс, Лагранжева динамика, серия обзоров Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , 350-страничный подробный «очерк» предмета. 
• Роберт Вайнсток, Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2 . Старый, но полезный метод, формализм которого тщательно определен перед использованием в физике и технике. 
• Вольфганг Юрграу и Стэнли Мандельштам , Вариационные принципы динамики и квантовой теории (Dover Publications, 1979). Хорошая трактовка, которая не избегает философских последствий теории и восхваляет фейнмановскую трактовку квантовой механики, которая сводится к принципу наименьшего действия в пределе большой массы.

Внешние ссылки

• Страница Эдвина Ф. Тейлора
• Интерактивное объяснение принципа наименьшего действия
• Интерактивный апплет для построения траекторий по принципу наименьшего действия.
• Георгиев, Георгий Йорданов (2012). «Количественная мера, механизм и аттрактор самоорганизации в сетевых сложных системах». Самоорганизующиеся системы . Конспекты лекций по информатике. Том. 7166. стр. 90–5. дои : 10.1007/978-3-642-28583-7_9. ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID  377417.
• Георгиев, Георгий; Георгиев, Искрен (2002). «Наименьшее действие и метрика организованной системы». Открытые системы и информационная динамика . 9 (4): 371–380. arXiv : 1004.3518 . дои : 10.1023/а: 1021858318296. S2CID  43644348.
• Терехович, Владислав (2018). «Метафизика принципа наименьшего действия». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 62 : 189–201. arXiv : 1511.03429 . Бибкод :2018ШПМП..62..189Т. дои :10.1016/j.shpsb.2017.09.004. S2CID  85528641.
• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 19: Принцип наименьшего действия