Лагранжиан (теория поля)

Применение механики Лагранжа к теориям поля

Лагранжева теория поля — это формализм классической теории поля . Это теоретико-полевой аналог механики Лагранжа . Лагранжева механика используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы . Лагранжева теория поля применима к континуумам и полям , которые имеют бесконечное число степеней свободы.

Одной из причин разработки лагранжева формализма полей и, в более общем смысле, классической теории поля , является обеспечение четкого математического обоснования квантовой теории поля , которая печально известна формальными трудностями, которые делают ее неприемлемой как математическая теория. Представленные здесь лагранжианы идентичны своим квантовым эквивалентам, но, рассматривая поля как классические поля, а не квантованные, можно дать определения и получить решения со свойствами, совместимыми с традиционным формальным подходом к математике уравнений в частных производных . Это позволяет формулировать решения в пространствах с хорошо охарактеризованными свойствами, таких как пространства Соболева . Это позволяет предоставлять различные теоремы, начиная от доказательств существования и равномерной сходимости формальных рядов до общих положений теории потенциала . Кроме того, понимание и ясность достигаются за счет обобщений на римановы многообразия и расслоения , что позволяет четко различить геометрическую структуру и отделить ее от соответствующих уравнений движения. Более четкое представление о геометрической структуре, в свою очередь, позволило использовать для получения более глубокого понимания весьма абстрактные теоремы из геометрии, начиная от теоремы Черна-Гаусса-Бонне и теоремы Римана-Роха до теоремы об индексе Атьи-Зингера и теории Черна-Саймонса. .

Обзор

В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на римановом многообразии . Зависимые переменные заменяются значением поля в этой точке пространства-времени, так что уравнения движения получаются с помощью принципа действия , записанного как: ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$

действиефункционаломs ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

где скобки обозначают ; и s = { s ^α } обозначает набор из n независимых переменных системы, включая переменную времени, и индексируется α = 1, 2, 3, ..., n . Каллиграфический шрифт используется для обозначения плотности и является формой объема полевой функции, т.е. мерой области определения полевой функции. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

В математических формулировках лагранжиан принято выражать как функцию на расслоении , при этом уравнения Эйлера-Лагранжа можно интерпретировать как задание геодезических на расслоении. Учебник Абрахама и Марсдена ^[1] дал первое исчерпывающее описание классической механики в терминах современных геометрических идей, т. е. в терминах касательных многообразий , симплектических многообразий и контактной геометрии . Учебник Бликера ^[2] дал исчерпывающее изложение теорий поля в физике в терминах калибровочно-инвариантных расслоений. Такие составы были известны или предполагались задолго до этого. Йост ^[3] продолжает геометрическое изложение, разъясняя связь между гамильтоновой и лагранжевой формами, описывая спиновые многообразия из первых принципов и т. д. Текущие исследования сосредоточены на нежестких аффинных структурах (иногда называемых «квантовыми структурами»), в которых заменяются вхождения векторных пространств тензорными алгебрами . Это исследование мотивировано прорывным пониманием квантовых групп как аффинных алгебр Ли ( группы Ли в некотором смысле «жесткие», поскольку они определяются своей алгеброй Ли. При переформулировке на тензорной алгебре они становятся «гибкими», имея бесконечные степени свободы; см., например, алгебру Вирасоро .)

Определения

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенных координат заменяется плотностью лагранжа, функцией полей в системе и их производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат. В теории поля независимая переменная t заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на многообразии.

Часто «лагранжеву плотность» называют просто «лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля плотность лагранжиана примет вид: ^{[nb 1] [4]} ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Для многих скалярных полей

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

В математических формулировках под скалярными полями понимаются координаты на расслоении , а под производными поля — сечения струйного расслоения .

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

Вышеизложенное можно обобщить для векторных полей , тензорных полей и спинорных полей . В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, которые в качестве частных случаев включают скалярные и векторные поля.

Например, если существуют вещественнозначные скалярные поля , , то многообразием полей является . Если поле является действительным векторным полем , то многообразие полей изоморфно . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Действие

Интеграл по времени от лагранжиана называется действием , обозначаемым S . В теории поля иногда делают различие между лагранжианом L , интегралом по времени которого является действие

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$

плотность Лагранжапространству-времени ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

Пространственный объемный интеграл лагранжианской плотности является лагранжианом; в 3D,

$${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

Действие часто называют « функционалом действия », поскольку оно является функцией полей (и их производных).

Форма объёма

При наличии гравитации или при использовании общих криволинейных координат плотность лагранжиана будет включать коэффициент . Это обеспечивает инвариантность действия относительно общих преобразований координат. В математической литературе пространство-время рассматривается как риманово многообразие , и тогда интеграл становится формой объема. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Здесь – произведение клина , а – квадратный корень из определителя метрического тензора на . Для плоского пространства-времени (например, пространства-времени Минковского ) единица объема равна единице, т.е. поэтому ее обычно опускают при обсуждении теории поля в плоском пространстве-времени. Аналогичным образом, использование символов клинового произведения не дает дополнительного понимания по сравнению с обычным понятием объема в многомерном исчислении, поэтому от них также отказываются. В некоторых старых учебниках, например, Ландау и Лифшица, используется форма объема, поскольку знак минус подходит для метрических тензоров с сигнатурой (+---) или (-+++) (поскольку определитель в любом случае отрицательный). . При обсуждении теории поля на общих римановых многообразиях форму объема обычно записывают в сокращенных обозначениях где – звезда Ходжа . То есть, ${\displaystyle \wedge }$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle *(1)}$ ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

Нередко приведенные выше обозначения считаются совершенно излишними, и

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

Уравнения Эйлера–Лагранжа

Уравнения Эйлера–Лагранжа описывают геодезический поток поля как функцию времени. Принимая вариацию по , получаем ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Решая относительно граничных условий , получаем уравнения Эйлера–Лагранжа :

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

Примеры

Большое разнообразие физических систем было сформулировано в терминах лагранжиана над полями. Ниже приведена выборка некоторых из наиболее распространенных из них, встречающихся в учебниках физики по теории поля.

Ньютоновская гравитация

Лагранжева плотность для ньютоновской гравитации равна:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

Φгравитационный потенциалρG^3-1-2гравитационная постоянная^-3ρ^-3 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Этот лагранжиан можно записать в виде , учитывая кинетический член, а взаимодействие - потенциальный член. См. также теорию гравитации Нордстрема, чтобы узнать, как ее можно изменить, чтобы справиться с изменениями с течением времени. Эта форма повторяется в следующем примере скалярной теории поля. ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ ${\displaystyle V=\rho \Phi }$

Вариация интеграла по Φ равна:

$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

После интегрирования по частям, отбрасывания полного интеграла и деления на δ Φ формула принимает вид:

$${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

$${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

закон Гаусса для гравитации

Скалярная теория поля

Лагранжиан скалярного поля, движущегося в потенциале, можно записать как ${\displaystyle V(\phi )}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$

потенциал мексиканской шляпыполями Хиггса ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Сигма-модель Лагранжиана

Сигма -модель описывает движение скалярной точечной частицы, вынужденной двигаться на римановом многообразии , таком как круг или сфера. Он обобщает случай скалярных и векторных полей, то есть полей, вынужденных двигаться на плоском многообразии. Лагранжиан обычно записывается в одной из трех эквивалентных форм:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$

. ${\displaystyle \mathrm {d} }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$

метрикойлокальные координатыкоординатной карте ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$

$${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$

группа Ли SU(N)симметрическим пространствомформа Убийстваформы Маурера – Картана ${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

В общем, сигма-модели демонстрируют топологические солитонные решения. Самым известным и хорошо изученным из них является Скирмион , служащий моделью нуклона , выдержавшей испытание временем.

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Рассмотрим точечную частицу, заряженную частицу, взаимодействующую с электромагнитным полем . Условия взаимодействия

$${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$

^-3-2 ${\displaystyle \mathbf {j} }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Варьируя это по φ , получаем

$${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

закон Гаусса

Варьируя вместо этого по , получаем ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

закону Ампера

Используя тензорную запись , мы можем всё это записать более компактно. На самом деле этот термин является внутренним продуктом двух четырехвекторов . Мы упаковываем плотность заряда в текущий 4-вектор, а потенциал — в потенциальный 4-вектор. Эти два новых вектора ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$

$${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$

$${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$

электромагнитный тензор ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$

$${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$

метрику Минковского

$${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$

тензор Леви-Чивита

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

принципу эквивалентности^{[5] [6]}

Электромагнетизм и уравнения Янга – Миллса.

Используя дифференциальные формы , электромагнитное действие S в вакууме на (псевдо-)риманово многообразие можно записать (используя натуральные единицы , c = ε ₀ = 1 ) как ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$

AJFзвезды Ходжа

$${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$

F = d A

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

Fточная форма

Поле A можно понимать как аффинную связность на U(1 ) -расслоении . То есть классическую электродинамику, все ее эффекты и уравнения можно полностью понять в терминах расслоения кругов в пространстве-времени Минковского .

Уравнения Янга – Миллса можно записать точно в той же форме, что и выше, заменив группу Ли U (1) электромагнетизма произвольной группой Ли. В Стандартной модели так принято считать, хотя общий случай представляет общий интерес. Во всех случаях нет необходимости выполнять какое-либо квантование. Хотя уравнения Янга–Миллса исторически уходят корнями в квантовую теорию поля, приведенные выше уравнения являются чисто классическими. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

Функционал Черна – Саймонса

Аналогично предыдущему, можно рассматривать действие в одном измерении меньше, т.е. в условиях геометрии контакта . Это дает функционал Черна – Саймонса . Это написано как

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

Теория Черна-Саймонса была глубоко изучена в физике как игрушечная модель для широкого спектра геометрических явлений, которые можно было бы ожидать найти в теории великого объединения .

Лагранжиан Гинзбурга–Ландау

Плотность лагранжиана для теории Гинзбурга–Ландау сочетает в себе лагранжиан для скалярной теории поля с лагранжианом для действия Янга–Миллса . Это можно записать так: ^[7]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$

сечениерасслоениясверхпроводникеполю Хиггсапотенциал «шляпы сомбреро»полем Янга – Миллса–Лагранжауравнения Янга–Миллса ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$

$${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$

оператор звезды Ходжауравнениями Янга–Миллса–Хиггсатеории Зайберга-Виттена ${\displaystyle {\star }}$

Дирак Лагранжиан

Плотность лагранжиана для поля Дирака равна: ^[8]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$

спинор Диракасопряженный по Диракуобозначение Фейнмана с косой чертойВейляалгебры пространства-времени Клиффорда^[3]; спиновой структуры ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

Квантовый электродинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для КЭД объединяет лагранжиан для поля Дирака вместе с лагранжианом для электродинамики калибровочно-инвариантным способом. Это:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$

электромагнитный тензорDкалибровочная ковариантная производнаяобозначение Фейнманаэлектромагнитный четырехпотенциалспиноров Вейляалгебры Клиффорда^[3][2] ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ ${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$ ${\displaystyle A_{\sigma }}$

Квантовый хромодинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики сочетает в себе лагранжиан для одного или нескольких массивных спиноров Дирака с лагранжианом для действия Янга – Миллса , которое описывает динамику калибровочного поля; объединенный лагранжиан является калибровочным инвариантом. Это можно записать так: ^[9]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$

D — калибровочная ковариантная производнаяnкварковтензор напряженности глюонного поля^{[2] [3]} ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

Эйнштейн гравитация

Плотность Лагранжа для общей теории относительности при наличии полей материи равна

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$

космологическая постояннаяскаляр кривизнытензор Риччи,метрическим тензоромтензор Риччитензор Римана,дельтой Кронекерадействие Эйнштейна – Гильбертаприливной силысимволов Кристоффеляметрическую связькручениемкак таковогогеодезическимпрямой линии ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

Лагранжиан общей теории относительности также можно записать в форме, которая делает его явно похожим на уравнения Янга–Миллса. Это называется принципом действия Эйнштейна-Янга-Миллса. Для этого следует отметить, что большая часть дифференциальной геометрии работает «прекрасно» на расслоениях с аффинной связностью и произвольной группой Ли. Затем, подставив SO(3,1) для этой группы симметрии, т.е. для полей системы координат , можно получить приведенные выше уравнения. ^{[2] [3]}

Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера–Лагранжа и принимая в качестве поля метрический тензор, получаем уравнения поля Эйнштейна ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$

${\displaystyle T_{\mu \nu }}$тензор энергии-импульса

$${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$

Якобиана^[5]формы объёма ${\displaystyle g}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Электромагнетизм в общей теории относительности

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна – Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан — это именно лагранжиан материи . Лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане более общей (возможно, искривленной) метрикой . Мы можем сгенерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии ЭМ поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$

$${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$

$${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$

$${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$

$${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$

$${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$

ковариантная производнаязаряженной черной дыре Рейсснера – Нордстреманатуральных единицахQ^[5] ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle j^{\mu }=0}$

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Один из возможных способов объединения электромагнитного и гравитационного лагранжианов (с использованием пятого измерения) дается теорией Калуцы-Клейна . ^[2] Фактически, строится аффинное расслоение, как и для уравнений Янга–Миллса, приведенных ранее, а затем рассматривается действие отдельно на 4-мерной и 1-мерной частях. Такие факторизации , такие как тот факт, что 7-сфера может быть записана как произведение 4-сферы и 3-сферы или что 11-сфера является продуктом 4-сферы и 7-сферы, объясняются во многом из-за первоначального волнения по поводу того, что была найдена теория всего . К сожалению, 7-сфера оказалась недостаточно большой, чтобы вместить всю Стандартную модель , что разбило эти надежды.

Дополнительные примеры

• Лагранжиан модели БФ , сокращение от «Фоновое поле», описывает систему с тривиальной динамикой, если она записана на плоском пространственно-временном многообразии. В топологически нетривиальном пространстве-времени система будет иметь нетривиальные классические решения, которые можно интерпретировать как солитоны или инстантоны . Существует множество расширений, составляющих основу топологических теорий поля .

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Ковариантная классическая теория поля
• Уравнение Эйлера–Лагранжа
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Обобщенные координаты
• гамильтонова механика
• Гамильтонова теория поля
• Кинетический срок
• Лагранжевы и эйлеровы координаты
• Лагранжева механика
• точка Лагранжа
• Лагранжева система
• Теорема Нётер
• Функция Онзагера – Махлупа
• Принцип наименьшего действия
• Скалярная теория поля

Примечания

1. Сокращать все производные и координаты лагранжевой плотности следующим образом — это стандартное злоупотребление обозначениями:
   $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })}$$
   см. четырехградиентный . μ — это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому будет присутствовать строго только одна производная или координата . В общем, все пространственные и временные производные появятся в лагранжевой плотности, например в декартовых координатах лагранжева плотность имеет полный вид:
   $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$$
   Здесь мы пишем то же самое, но используя ∇ для обозначения всех пространственных производных как вектора.

Цитаты

1. Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден, (1967) «Основы механики»
2. Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Аддисон-Уэсли
3. Юрген Йост, (1995) «Риманова геометрия и геометрический анализ», Springer
4. Мандл, Ф.; Шоу, Г. (2010). «Лагранжева теория поля». Квантовая теория поля (2-е изд.). Уайли. п. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
5. Zee, Энтони (2013). Коротко о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 344–390. ISBN 9780691145587.
6. Кэхилл, Кевин (2013). Физическая математика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107005211.
7. Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга – Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (Третье изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
8. Ицыксон-Зубер, экв. 3-152
9. Клод Итиксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля»