Инстантон

Солитоны в евклидовом пространстве-времени

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ инстантона BPST на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона BPST A с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля с центром вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля инстантона BPST с центром z на компактификации S ⁴ R ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST является классическим инстантонным решением уравнений Янга –Миллса на R ⁴ .

Инстантон (или псевдочастица ^{[1] [2] [3]} ) — понятие, появляющееся в теоретической и математической физике . Инстантон — это классическое решение уравнений движения с конечным, ненулевым действием , либо в квантовой механике , либо в квантовой теории поля . Точнее, это решение уравнений движения классической теории поля в евклидовом пространстве-времени . ^[4]

В таких квантовых теориях решения уравнений движения можно рассматривать как критические точки действия . Критические точки действия могут быть локальными максимумами действия, локальными минимумами или седловыми точками . Инстантоны важны в квантовой теории поля, потому что:

• они появляются в интеграле по траектории как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы, и
• их можно использовать для изучения туннельного поведения в различных системах, таких как теория Янга–Миллса .

Относящиеся к динамике семейства инстантонов позволяют инстантонам, т.е. различным критическим точкам уравнения движения, быть связанными друг с другом. В физике инстантоны особенно важны, поскольку считается, что конденсация инстантонов (и вызванных шумом антиинстантонов) является объяснением вызванной шумом хаотической фазы, известной как самоорганизованная критичность .

Математика

Математически инстантон Янга–Миллса представляет собой самодуальную или антисамодуальную связь в главном расслоении над четырехмерным римановым многообразием , которое играет роль физического пространства-времени в неабелевой калибровочной теории . Инстантоны являются топологически нетривиальными решениями уравнений Янга–Миллса , которые абсолютно минимизируют функционал энергии в пределах своего топологического типа. ^[5] Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного до четырехмерной сферы , и оказались локализованными в пространстве-времени, что побудило их назвать псевдочастицами и инстантонами .

Инстантоны Янга–Миллса были явно построены во многих случаях с помощью теории твисторов , которая связывает их с алгебраическими векторными расслоениями на алгебраических поверхностях , и с помощью конструкции ADHM , или гиперкэлерова редукция (см. гиперкэлерово многообразие ), процедуры геометрической теории инвариантов. Новаторская работа Саймона Дональдсона , за которую он позже был награжден медалью Филдса , использовала модульное пространство инстантонов над заданным четырехмерным дифференцируемым многообразием в качестве нового инварианта многообразия, зависящего от его дифференцируемой структуры , и применила его к построению гомеоморфных , но не диффеоморфных четырехмерных многообразий. Многие методы, разработанные при изучении инстантонов, также были применены к монополям . Это связано с тем, что магнитные монополи возникают как решения размерной редукции уравнений Янга–Миллса. ^[6]

Квантовая механика

Инстантон может быть использован для вычисления вероятности перехода для квантово-механической частицы, туннелирующей через потенциальный барьер. Одним из примеров системы с эффектом инстантона является частица в двухъямном потенциале . В отличие от классической частицы, существует неисчезающая вероятность того, что она пересечет область потенциальной энергии, превышающей ее собственную энергию. ^[4]

Мотивация рассмотрения инстантонов

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухъямного потенциала. Потенциальная энергия принимает минимальное значение при , и они называются классическими минимумами, поскольку частица стремится находиться в одном из них в классической механике. В классической механике есть два самых низких энергетических состояния. ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

В квантовой механике мы решаем уравнение Шредингера

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

для идентификации энергетических собственных состояний. Если мы это сделаем, то найдем только уникальное состояние с самой низкой энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах вместо только одного из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования. ${\displaystyle x=\pm 1}$

Инстантоны являются инструментом для понимания того, почему это происходит в рамках полуклассического приближения формулировки интеграла по траектории в евклидовом времени. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое приблизительно вычисляет саму волновую функцию, а затем перейдем к введению инстантонов с использованием формулировки интеграла по траектории.

ВКБ-приближение

Один из способов расчета этой вероятности — с помощью полуклассического приближения ВКБ , которое требует, чтобы значение было малым. Уравнение Шредингера, не зависящее от времени, для частицы имеет вид ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

Если бы потенциал был постоянным, то решение представляло бы собой плоскую волну с точностью до коэффициента пропорциональности,

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

с

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

Это означает, что если энергия частицы меньше потенциальной энергии, то получается экспоненциально убывающая функция. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

где a и b — начальная и конечная точки траектории туннелирования.

Интерпретация интеграла по траектории через инстантоны

В качестве альтернативы использование интегралов по траектории допускает интерпретацию инстантона , и с помощью этого подхода можно получить тот же результат. В формулировке интеграла по траектории амплитуда перехода может быть выражена как

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

Следуя процессу вращения Вика (аналитическое продолжение) к евклидову пространству-времени ( ), получаем ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

с евклидовым действием

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

Потенциальная энергия меняет знак при вращении Вика, и минимумы трансформируются в максимумы, тем самым демонстрируя два «холма» максимальной энергии. ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

Давайте теперь рассмотрим локальный минимум евклидова действия с двухъямным потенциалом , и мы устанавливаем просто для простоты вычислений. Поскольку мы хотим знать, как связаны два классически самых низких энергетических состояния, давайте установим и . Для и мы можем переписать евклидово действие как ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

Вышеуказанное неравенство насыщается решением с условием и . Такие решения существуют, и решение принимает простой вид, когда и . Явная формула для инстантонного решения имеет вид ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$ ${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$ ${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

Здесь — произвольная константа. Поскольку это решение мгновенно переходит из одного классического вакуума в другой классический вакуум вокруг , оно называется инстантоном. ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Явная формула для двухъямного потенциала

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом была дана Мюллером–Кирстеном ^[7] с выводом как методом возмущения (плюс граничные условия), примененным к уравнению Шредингера, так и явным выводом из интеграла по траектории (и ВКБ). Результат следующий. Определение параметров уравнения Шредингера и потенциала с помощью уравнений

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

и

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

собственные значения для оказываются следующими: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически ( ) вырождены, как и ожидалось, вследствие гармонической части потенциала. ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

Результаты

Результаты, полученные из математически четко определенного евклидова интеграла по траектории, могут быть повернуты Виком обратно и дадут те же физические результаты, которые были бы получены при соответствующей обработке (потенциально расходящегося) интеграла по траектории Минковского. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода для частицы для туннелирования через классически запрещенную область ( ) с интегралом по траектории Минковского соответствует вычислению вероятности перехода для туннелирования через классически разрешенную область (с потенциалом − V ( X )) в евклидовом интеграле по траектории (наглядно говоря — в евклидовой картине — этот переход соответствует частице, катящейся с одного холма двухъямного потенциала, стоящего на голове, на другой холм). Это классическое решение евклидовых уравнений движения часто называют «решением перегиба» и оно является примером инстантона . В этом примере два «вакуума» (т. е. основных состояния) двухъямного потенциала превращаются в холмы в евклидированной версии задачи. ${\displaystyle V(x)}$

Таким образом, решение инстантонного поля (евклидовой, т.е. с мнимым временем) (1 + 1)-мерной теории поля – первое квантованное квантово-механическое описание – позволяет интерпретировать его как туннельный эффект между двумя вакуумами (основные состояния – более высокие состояния требуют периодических инстантонов) физической (1-мерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае потенциала двойной ямы, записанного

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

инстантон, т.е. решение

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

(т.е. с энергией ), является ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

где находится евклидово время. ${\displaystyle \tau =it}$

Обратите внимание , что наивная теория возмущений вокруг одного из этих двух вакуумов (описания Минковского) никогда не покажет этот непертурбативный туннельный эффект , кардинально меняющий картину вакуумной структуры этой квантово-механической системы. Фактически, наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, и они обеспечивают непертурбативный эффект, как очевидно из приведенной выше явной формулы и аналогичных вычислений для других потенциалов, таких как косинусный потенциал (ср. функцию Матье ) или другие периодические потенциалы (ср., например, функцию Ламе и сфероидальную волновую функцию ) и независимо от того, используется ли уравнение Шредингера или интеграл по траектории . ^[8]

Поэтому пертурбативный подход может не полностью описывать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории «аксионов» , где нетривиальные вакуумные эффекты КХД (вроде инстантонов ) явно портят симметрию Печчеи–Куинна и превращают безмассовые бозоны Намбу–Голдстоуна в массивные псевдо-Намбу–Голдстоуновые .

Периодические инстантоны

В одномерной теории поля или квантовой механике определяется как «инстантон» конфигурация поля, которая является решением классического (ньютоновского) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым действием. В контексте теории солитонов соответствующее решение известно как кин . Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, а также другие, совместно известны как псевдочастицы или псевдоклассические конфигурации. Решение «инстантон» (кинк) сопровождается другим решением, известным как «анти-инстантон» (антикинк), а инстантон и анти-инстантон различаются «топологическими зарядами» +1 и −1 соответственно, но имеют одинаковое евклидово действие.

«Периодические инстантоны» являются обобщением инстантонов. ^[9] В явной форме они выражаются в терминах эллиптических функций Якоби , которые являются периодическими функциями (фактически обобщениями тригонометрических функций). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны – часто известные как «отскоки», «пузыри» и т. п. – сводятся к инстантонам.

Устойчивость этих псевдоклассических конфигураций может быть исследована путем расширения лагранжиана, определяющего теорию вокруг конфигурации псевдочастицы, а затем исследования уравнения малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий квартикальных потенциалов (двойная яма, перевернутая двойная яма) и периодических (Матье) потенциалов эти уравнения оказались уравнениями Ламе, см. Функция Ламе . ^[10] Собственные значения этих уравнений известны и позволяют в случае неустойчивости вычислять скорости распада путем оценки интеграла по траектории. ^[9]

Инстантоны в теории скорости реакции

В контексте теории скорости реакции периодические инстантоны используются для расчета скорости туннелирования атомов в химических реакциях. Ход химической реакции можно описать как движение псевдочастицы на высокоразмерной потенциальной поверхности энергии (PES). Тепловая константа скорости может быть затем связана с мнимой частью свободной энергии следующим образом ^[11] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

где — каноническая статистическая сумма, которая вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении. ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

Используя вращение Вика и отождествляя евклидово время с , получаем представление интеграла по траектории для функции распределения в координатах с массовым весом: ^[12] ${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

Затем интеграл пути аппроксимируется посредством интегрирования методом наискорейшего спуска, который учитывает только вклады классических решений и квадратичные флуктуации вокруг них. Это дает для выражения константы скорости в координатах, взвешенных по массе

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

где — периодический инстантон, а — тривиальное решение псевдочастицы в состоянии покоя, представляющее конфигурацию состояния реагента. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

Формула обратной двойной ямы

Что касается потенциала двойной ямы, то можно вывести собственные значения для инвертированного потенциала двойной ямы. Однако в этом случае собственные значения являются комплексными. Определение параметров с помощью уравнений

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

собственные значения, заданные Мюллером-Кирстен, таковы: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с известным результатом Бендера и Ву. ^[13] В их обозначениях ${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Квантовая теория поля

При изучении квантовой теории поля (КТП) вакуумная структура теории может привлечь внимание к инстантонам. Как и иллюстрирует двухъямная квантово-механическая система, наивный вакуум может не быть истинным вакуумом теории поля. Более того, истинный вакуум теории поля может быть «перекрытием» нескольких топологически неэквивалентных секторов, так называемых « топологических вакуумов ».

Хорошо понятый и иллюстративный пример инстантона и его интерпретации можно найти в контексте КТП с неабелевой калибровочной группой , ^{[примечание 2]} теории Янга–Миллса . Для теории Янга–Миллса эти неэквивалентные секторы могут быть (в соответствующей калибровке) классифицированы третьей гомотопической группой SU (2) (групповое многообразие которой является 3-сферой ). Определенный топологический вакуум («сектор» истинного вакуума) помечен неизмененным преобразованием , индексом Понтрягина . Поскольку было обнаружено, что третья гомотопическая группа является множеством целых чисел , ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle (S^{3})=}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов, обозначаемых как , где - их соответствующий индекс Понтрягина. Инстантон - это конфигурация поля, удовлетворяющая классическим уравнениям движения в евклидовом пространстве-времени, которая интерпретируется как эффект туннелирования между этими различными топологическими вакуумами. Он снова помечен целым числом, его индексом Понтрягина, . Можно представить себе инстантон с индексом для количественной оценки туннелирования между топологическими вакуумами и . Если Q = 1, конфигурация называется инстантоном BPST в честь его первооткрывателей Александра Белавина , Александра Полякова , Альберта С. Шварца и Ю. С. Тюпкина. Истинный вакуум теории помечен «углом» тета и является перекрытием топологических секторов: ${\displaystyle N\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

Джерард 'т Хоофт впервые выполнил полевое теоретико-вычисление эффектов инстантона BPST в теории, связанной с фермионами в [1]. Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на фоне инстантона приводят к непертурбативному многофермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном действии.

Теория Янга-Миллса

Классическое действие Янга–Миллса на главном расслоении со структурной группой G , базой M , связностью A и кривизной (тензором поля Янга–Миллса) F имеет вид

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

где — форма объема на . Если скалярное произведение на , алгебра Ли в которой принимает значения, задается формой Киллинга на , то это можно обозначить как , поскольку ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Например, в случае калибровочной группы U(1) , F будет тензором электромагнитного поля . Из принципа стационарного действия следуют уравнения Янга–Миллса. Они имеют вид

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

Первое из них является тождеством, поскольку d F = d ² A = 0, но второе является частным дифференциальным уравнением второго порядка для связи A , и если вектор тока Минковского не равен нулю, ноль в правой части второго уравнения заменяется на . Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются звездой Ходжа . Таким образом, решение более простого уравнения первого порядка (нелинейного) ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

автоматически является также решением уравнения Янга–Миллса. Это упрощение происходит на 4 многообразиях с : так что на 2-формах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G. ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle *^{2}=+1}$

В неабелевых теориях Янга–Миллса, и где D — внешняя ковариантная производная . Кроме того, тождество Бьянки ${\displaystyle DF=0}$ ${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

удовлетворен.

В квантовой теории поля инстантон — это топологически нетривиальная конфигурация поля в четырехмерном евклидовом пространстве (рассматриваемом как вращение Вика пространства-времени Минковского ) . В частности, это относится к калибровочному полю Янга–Миллса A , которое приближается к чистой калибровке на пространственной бесконечности . Это означает, что напряженность поля

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

исчезает на бесконечности. Название инстантон происходит от того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом) времени – другими словами, в определенный момент.

Случай инстантонов в двумерном пространстве может быть проще визуализировать, поскольку он допускает простейший случай калибровочной группы , а именно U(1), которая является абелевой группой . В этом случае поле A можно визуализировать просто как векторное поле . Инстантон — это конфигурация, в которой, например, стрелки указывают в сторону от центральной точки (т. е. состояние «ежа»). В евклидовых четырех измерениях , абелевы инстантоны невозможны. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации вакуума . Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью диаграмм Фейнмана , которые включают только пертурбативные эффекты. Инстантоны принципиально непертурбативные .

Энергия Янга-Миллса определяется по формуле

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

где ∗ — дуальный Ходжа . Если мы настаиваем на том, что решения уравнений Янга–Миллса имеют конечную энергию , то кривизна решения на бесконечности (взятая в качестве предела ) должна быть равна нулю. Это означает, что инвариант Черна–Саймонса может быть определен на границе 3-пространства. Это эквивалентно, через теорему Стокса , взятию интеграла

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Это гомотопический инвариант, который сообщает нам, к какому гомотопическому классу принадлежит инстантон.

Так как интеграл неотрицательного подынтегральнго выражения всегда неотрицателен,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

для всех действительных θ. Итак, это означает

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Если эта граница насыщена, то решение является состоянием BPS . Для таких состояний либо ∗ F = F , либо ∗ F = − F в зависимости от знака гомотопического инварианта .

В Стандартной модели ожидается, что инстантоны присутствуют как в электрослабом секторе , так и в хромодинамическом секторе, однако их существование пока не подтверждено экспериментально. ^[14] Эффекты инстантона важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовой хромодинамики (КХД) и для объяснения массы так называемой «эта-первичной частицы», голдстоуновского бозона ^{[примечание 3],} который приобрел массу через аномалию аксиального тока КХД. Обратите внимание, что иногда также имеется соответствующий солитон в теории с одним дополнительным пространственным измерением. Недавние исследования инстантонов связывают их с такими темами, как D-браны и черные дыры и, конечно, с вакуумной структурой КХД. Например, в ориентированных теориях струн Dp-брана является инстантоном калибровочной теории в мировой объемной ( p  + 5)-мерной калибровочной теории U ( N ) на стеке из N D( p  + 4)-бран.

Различные числа измерений

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Вид физического возбуждения, который дает инстантон, зависит от числа измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно независим от измерений.

В 4-мерных калибровочных теориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны являются калибровочными расслоениями с нетривиальным четырехформным характеристическим классом . Если калибровочная симметрия является унитарной группой или специальной унитарной группой , то этот характеристический класс является вторым классом Черна , который исчезает в случае калибровочной группы U(1). Если калибровочная симметрия является ортогональной группой, то этот класс является первым классом Понтрягина .

В трехмерных калибровочных теориях с полями Хиггса монополи 'т Хоофта–Полякова играют роль инстантонов. В своей статье 1977 года Quark Confinement and Topology of Gauge Groups Александр Поляков продемонстрировал, что эффекты инстантонов в трехмерной КЭД, связанные со скалярным полем, приводят к появлению массы у фотона .

В двумерных абелевых калибровочных теориях инстантоны мирового листа являются магнитными вихрями . Они отвечают за многие непертурбативные эффекты в теории струн, играя центральную роль в зеркальной симметрии .

В одномерной квантовой механике инстантоны описывают туннелирование , которое невидимо в теории возмущений.

4d суперсимметричные калибровочные теории

Суперсимметричные калибровочные теории часто подчиняются теоремам неперенормировки , которые ограничивают виды разрешенных квантовых поправок. Многие из этих теорем применимы только к поправкам, вычисляемым в теории возмущений , и поэтому инстантоны, которые не рассматриваются в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы для инстантонных вычислений в суперсимметричных теориях были широко изучены в 1980-х годах многими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует отмену фермионных и бозонных ненулевых мод на фоне инстантона, вовлеченное вычисление 'т Хоофта седловой точки инстантона сводится к интегрированию по нулевым модам.

В суперсимметричных калибровочных теориях N  = 1 инстантоны могут изменять суперпотенциал , иногда поднимая все вакуумы. В 1984 году Ян Аффлек , Майкл Дайн и Натан Зайберг вычислили поправки инстантона к суперпотенциалу в своей статье «Нарушение динамической суперсимметрии в суперсимметричной КХД». Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержала на один аромат киральной материи меньше , чем число цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов ненарушенная неабелева калибровочная симметрия приводит к инфракрасной расходимости, а в случае большего количества ароматов вклад равен нулю. Для этого специального выбора киральной материи значения вакуумных ожиданий скалярных полей материи могут быть выбраны так, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет провести надежный полуклассический расчет седловой точки. Затем, рассмотрев возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствии произвольного числа цветов и ароматов, справедливый даже тогда, когда теория больше не является слабо связанной.

В N  = 2 суперсимметричных калибровочных теориях суперпотенциал не получает квантовых поправок. Однако поправка к метрике пространства модулей вакуума от инстантонов была вычислена в серии статей. Сначала поправка на один инстантон была вычислена Натаном Зайбергом в Supersymmetry and Nonperturbative beta Functions. Полный набор поправок для SU(2) теории Янга–Миллса был вычислен Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном в «Электро-магнитной дуальности, монопольной конденсации и конфайнменте в N = 2 суперсимметричной теории Янга–Миллса», в процессе создания предмета, который сегодня известен как теория Зайберга–Виттена . Они распространили свои вычисления на SU(2) калибровочные теории с фундаментальной материей в монополях, дуальностью и нарушением киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД. Эти результаты были позднее расширены для различных калибровочных групп и содержания материи, и прямой вывод калибровочной теории также был получен в большинстве случаев. Для калибровочных теорий с калибровочной группой U(N) геометрия Зайберга–Виттена была выведена из калибровочной теории с использованием статистических сумм Некрасова в 2003 году Никитой Некрасовым и Андреем Окуньковым и независимо Хираку Накаджимой и Котой Ёсиокой.

В N  = 4 суперсимметричных калибровочных теориях инстантоны не приводят к квантовым поправкам для метрики на пространстве модулей вакуума.

Явные решения на R4

Анзац , предоставленный Корриганом и Фэрли, дает решение антисамодуальных уравнений Янга–Миллса с калибровочной группой SU(2) из ​​любой гармонической функции на . ^{[15] [16]} Анзац дает явные выражения для калибровочного поля и может использоваться для построения решений с произвольно большим числом инстантонов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Определение антисимметричных -значных объектов как где греческие индексы пробегают от 1 до 4, латинские индексы пробегают от 1 до 3, и является основой для удовлетворения . Тогда является решением, пока является гармоничным. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$ $${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

В четырех измерениях фундаментальное решение уравнения Лапласа для любого фиксированного . Суперпозиция этих решений дает -солитонные решения вида Все решения инстантона номер 1 или 2 имеют этот вид, но для большего номера инстантона существуют решения не этого вида. ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Инстантонная жидкость  – непертурбативное приближение интеграла по траектории
• Калорон  – инстантон конечной температуры
• Сидни Коулман  — американский физик (1937–2007)
• Метод Хольстейна–Херринга  – эффективный способ получения обменных энергетических расщеплений асимптотически вырожденных энергетических состояний в молекулярных системахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гравитационный инстантон  – Четырехмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна
• Полуклассическая теория переходного состояния  – Теория скорости химической реакции
• Уравнения Янга–Миллса  – уравнения в частных производных, решениями которых являются инстантоны
• Калибровочная теория (математика)  – изучение векторных расслоений, главных расслоений и расслоений волокон

Ссылки и примечания

Примечания

1. Поскольку эта проекция конформна , кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, пересекающие <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).
2. См. также: Неабелева калибровочная теория
3. См. также: Псевдо-голдстоуновский бозон

Цитаты

1. Инстантоны в калибровочных теориях. Под редакцией Михаила А. Шифмана. World Scientific, 1994.
2. Взаимодействие заряженных частиц в магнитном поле. Грачья Нерсисян, Кристиан Тёпффер, Гюнтер Цвикнагель. Springer, 19 апреля 2007 г., стр. 23
3. Поведение теории возмущений в больших порядках. Под редакцией JC Le Guillou, J. Zinn-Justin. Elsevier, 2 декабря 2012 г. Стр. 170.
4. Вайнштейн, А.И.; Захаров Валентин Иванович; Новиков Виктор А.; Шифман, Михаил А. (30 апреля 1982 г.). «Азбука инстантонов». Успехи советской физики . 25 (4): 195. doi :10.1070/PU1982v025n04ABEH004533. ISSN  0038-5670.
5. "Инстантон Янга-Миллса в nLab" . ncatlab.org . Проверено 11 апреля 2023 г.
6. См., например, статью Найджела Хитчина «Уравнения самодуальности на римановой поверхности».
7. HJW Müller-Kirsten, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. (World Scientific, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5 ; формула (18.175b), стр. 525. 
8. HJW Müller-Kirsten, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 . 
9. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012).
10. Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, HJW; Чракян, DH (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны на окружности». Physics Letters B. 282 ( 1–2). Elsevier BV: 105–110. Bibcode : 1992PhLB..282..105L. doi : 10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
11. Заверкин, Виктор; Кестнер, Йоханнес (2020). «Теория инстантонов для расчета скоростей туннелирования и туннельных расщеплений». Туннелирование в молекулах: ядерные квантовые эффекты от биологии до физической химии. Лондон: Королевское химическое общество. стр. 245-260. ISBN 978-1-83916-037-0.
12. Кестнер, Йоханнес (2014). «Теория и моделирование туннелирования атомов в химических реакциях». WIREs Comput. Mol. Sci . 4 : 158. doi :10.1002/wcms.1165.
13. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (1973-03-15). «Ангармонический осциллятор. II. Исследование теории возмущений в большом порядке». Physical Review D. 7 ( 6). Американское физическое общество (APS): 1620–1636. Bibcode : 1973PhRvD...7.1620B. doi : 10.1103/physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.
14. Аморозо, Симоне; Кар, Дипак; Шотт, Маттиас (2021). «Как обнаружить инстантоны КХД на LHC». The European Physical Journal C. 81 ( 7): 624. arXiv : 2012.09120 . Bibcode : 2021EPJC...81..624A. doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09412-1. S2CID  229220708.
15. Corrigan, E.; Fairlie, DB (март 1977). «Скалярная теория поля и точные решения классической калибровочной теории SU (2)». Physics Letters B . 67 (1): 69–71. doi :10.1016/0370-2693(77)90808-5.
16. Дунайски, Мачей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 123. ISBN 9780198570639.

Общий

• Инстантоны в калибровочных теориях , сборник статей по инстантонам, под редакцией Михаила А. Шифмана , doi :10.1142/2281
• Солитоны и инстантоны , Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN 0-444-87047-4 
• The Uses of Instantons , Сидни Коулман в Proc. Int. School of Subnuclear Physics , (Эрис, 1977); и в Aspects of Symmetry, стр. 265, Сидни Коулман, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0 ; и в Instantons in Gauge Theories 
• Солитоны, инстантоны и твисторы . М. Дунайски, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9 . 
• Геометрия четырехмерных многообразий , С. К. Дональдсон, П. Б. Кронхаймер, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8 . 

Внешние ссылки

• Словарное определение термина инстантон в Викисловаре