Приближение ВКБ

Метод решения линейных дифференциальных уравнений

В математической физике аппроксимация ВКБ или метод ВКБ — это метод поиска приближенных решений линейных дифференциальных уравнений с пространственно меняющимися коэффициентами. Обычно он используется для полуклассических расчетов в квантовой механике , в которых волновая функция преобразуется в экспоненциальную функцию, квазиклассически расширяется, а затем считается, что либо амплитуда, либо фаза изменяются медленно.

Название является инициализмом Венцеля-Крамерса-Бриллюэна . Он также известен как метод LG или метод Лиувилля-Грина . Другие часто используемые комбинации букв включают JWKB и WKBJ , где «J» означает «Джеффрис».

Краткая история

Этот метод назван в честь физиков Грегора Венцеля , Хендрика Энтони Крамерса и Леона Бриллюэна , которые разработали его в 1926 году . ^[1] В 1923 году математик Гарольд Джеффрис разработал общий метод аппроксимации решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка: класс, включающий уравнение Шрёдингера . Само уравнение Шредингера было разработано только два года спустя, а Вентцель, Крамерс и Бриллюэн, очевидно, не знали об этой более ранней работе, поэтому заслугой Джеффриса часто пренебрегают. Ранние тексты по квантовой механике содержат любое количество комбинаций инициалов, включая WBK, BWK, WKBJ, JWKB и BWKJ. Авторитетное обсуждение и критический обзор были сделаны Робертом Б. Динглом. ^[2]

Более ранние появления по существу эквивалентных методов: Франческо Карлини в 1817 году, Джозеф Лиувилле в 1837 году, Джордж Грин в 1837 году, лорд Рэлей в 1912 году и Ричард Ганс в 1915 году. Можно сказать, что Лиувилл и Грин основали этот метод в 1837 году, и это также обычно называемый методом Лиувилля – Грина или LG. ^{[3] [4]}

Важным вкладом Джеффриса, Венцеля, Крамерса и Бриллюэна в этот метод было включение рассмотрения точек поворота , соединяющее исчезающие и колебательные решения по обе стороны от точки поворота. Например, это может произойти в уравнении Шредингера из-за холма потенциальной энергии .

Формулировка

В общем, теория ВКБ — это метод аппроксимации решения дифференциального уравнения, высшая производная которого умножается на небольшой параметр ε . Метод аппроксимации заключается в следующем.

Для дифференциального уравнения

$${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$

асимптотический ряд

$${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

δ → 0δε

Подстановка приведенного выше анзаца в дифференциальное уравнение и исключение экспоненциальных членов позволяет найти произвольное количество членов Sn ₍ x ) в разложении.

Теория WKB представляет собой частный случай многомасштабного анализа . ^{[5] [6] [7]}

Пример

Этот пример взят из текста Карла М. Бендера и Стивена Орзага . ^[7] Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

$${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$

${\displaystyle Q(x)\neq 0}$

$${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

$${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$$

В ведущем порядке (предполагая, что на данный момент ряд будет асимптотически непротиворечивым), приведенное выше можно аппроксимировать как

$${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$$

В пределе δ → 0 доминирующий баланс определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$$

Таким образом, δ пропорционально ϵ . Приравнивая их и сравнивая мощности, получаем

$${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$$

эйконала

$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

Учитывая степени первого порядка ϵ , исправляет

$${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$$

$${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

k ₁

Теперь у нас есть пара аппроксимаций системы (пара, поскольку S ₀ может принимать два знака); ВКБ-приближение первого порядка будет линейной комбинацией двух:

$${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$$

Члены более высокого порядка можно получить, рассматривая уравнения для высших степеней δ . Явно,

$${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$$

n ≥ 2

Точность асимптотического ряда

Асимптотический ряд для y ₍ x ) обычно представляет собой расходящийся ряд , общий член которого ^δnSn ( x ) начинает возрастать после определенного _{значения} n = nmax . Следовательно, наименьшая ошибка, достигаемая методом WKB, в лучшем случае имеет порядок последнего включенного члена.

Для уравнения

$${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$

Q ( x ) <0^[8] ${\displaystyle n_{\max }}$

$${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$

$${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$$

${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{\ast }}$ ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

Число n _max можно интерпретировать как количество колебаний между и ближайшей точкой поворота. ${\displaystyle x_{0}}$

Если – медленно меняющаяся функция, ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$

$${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

n _max

Применение в нерелятивистской квантовой механике

Приближение ВКБ к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают поворотные моменты

Плотность вероятности приближенной волновой функции. Вертикальные линии показывают поворотные моменты

Приведенный выше пример может быть применен конкретно к одномерному, независимому от времени уравнению Шредингера :

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

Аппроксимация вдали от точек поворота

Волновую функцию можно переписать как экспоненту другой функции S (тесно связанной с действием ), которая может быть комплексной,

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

Далее используется квазиклассическое приближение. Это означает, что каждая функция разлагается в степенной ряд по ħ .

$${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$

ℏ

$${\displaystyle (\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$

$${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

Таким образом, результирующая волновая функция в первом приближении ВКБ представляется как ^{[9] [10]}

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\mid E-V(x)\mid }}}}$

В классически разрешенной области, а именно в области, где подынтегральное выражение в показателе степени является мнимым, а приближенная волновая функция является колебательной. В классически запрещенной области решения растут или затухают. В знаменателе видно, что оба этих приближенных решения становятся сингулярными вблизи классических точек поворота , где E = V ( x ) , и не могут быть действительными. (Точки поворота — это точки, в которых классическая частица меняет направление.) ${\displaystyle V(x)<E}$ ${\displaystyle V(x)>E}$

Следовательно, когда волновую функцию можно выбрать так, чтобы она выражалась как: ${\displaystyle E>V(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

${\displaystyle V(x)>E}$

$${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

Действительность решений WKB

Из условия:

$${\displaystyle (S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0}$$

Следует, что: ${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

Для которого следующие два неравенства эквивалентны, поскольку члены в обеих частях эквивалентны, как это используется в приближении ВКБ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}}$$

Первое неравенство можно использовать, чтобы показать следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

где используется и является локальной длиной волны де Бройля волновой функции. Из неравенства следует, что изменение потенциала предполагается медленно меняющимся. ^{[10] [11]} ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ ${\textstyle \lambda (x)}$

Аналогичным образом можно показать, что оно также имеет ограничения, основанные на основных предположениях для приближения ВКБ, которые: ${\textstyle \lambda (x)}$

$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

длина волны де Бройля^[11]

Поведение вблизи поворотных точек

Рассмотрим теперь поведение волновой функции вблизи точек поворота. Для этого нам нужен другой метод. Вблизи первых поворотных точек x ₁ этот член можно разложить в степенной ряд: ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$

$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

Для первого заказа можно найти

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$

уравнение Эйрифункций Эйри^[12]

$${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).}$$

Хотя для любого фиксированного значения волновая функция ограничена вблизи точек поворота, волновая функция будет иметь там максимум, как видно на изображениях выше. По мере уменьшения высота волновой функции в точках поворота растет. Из этого приближения также следует, что: ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}$$

Условия подключения

Теперь осталось построить глобальное (приближенное) решение уравнения Шрёдингера. Чтобы волновая функция была интегрируемой с квадратом, мы должны взять только экспоненциально затухающее решение в двух классически запрещенных областях. Затем они должны должным образом «соединиться» через поворотные точки с классически разрешенной областью. Для большинства значений E эта процедура сопоставления не будет работать: функция, полученная путем соединения решения вблизи классически разрешенной области, не будет согласовываться с функцией, полученной путем соединения решения вблизи классически разрешенной области. Требование согласования двух функций накладывает условие на энергию E , которое даст приближение к точным уровням квантовой энергии. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Приближение ВКБ к указанному потенциалу. Вертикальные линии показывают уровень энергии, а его пересечение с потенциалом показывает точки поворота пунктирными линиями. Задача имеет две классические поворотные точки: at и at . ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Коэффициенты волновой функции можно рассчитать для простой задачи, показанной на рисунке. Пусть первая точка поворота, когда потенциал уменьшается по x, возникает в, а вторая точка поворота, когда потенциал увеличивается по x, возникает в . Учитывая, что мы ожидаем, что волновые функции будут иметь следующую форму, мы можем вычислить их коэффициенты, соединив различные области с помощью функций Эйри и Бэйри. ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}}$$

Первый классический поворотный момент

Для т.е. условие убывающего потенциала или в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы показательная функция затухала при отрицательных значениях x, чтобы волновая функция для нее обращалась в ноль. Считая функции Бэйри искомой формулой связи, получаем: ^[13] ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}}$$

Мы не можем использовать функцию Эйри, поскольку она дает возрастающее экспоненциальное поведение при отрицательном x. По сравнению с решениями WKB и сопоставлением их поведения в , мы делаем вывод: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle B=-D=N}$, и . ${\displaystyle A=C=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Таким образом, если принять некоторую нормировочную константу равной , волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как: ^[10] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$

Второй классический поворотный момент

Для т.е. условие возрастающего потенциала или в данном примере, показанном на рисунке, мы требуем, чтобы показательная функция затухала при положительных значениях x, чтобы волновая функция для нее обращалась в ноль. Считая функции Эйри искомой формулой связи, получаем: ^[13] ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

Мы не можем использовать функцию Бэйри, поскольку она дает возрастающее экспоненциальное поведение при положительном x. По сравнению с решениями WKB и сопоставлением их поведения в , мы делаем вывод: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2A=C=N'}$, и . ${\displaystyle D=B=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Таким образом, если принять некоторую нормировочную константу равной , волновая функция для возрастающего потенциала (с x) задается как: ^[10] ${\displaystyle N'}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$

Общая колебательная волновая функция

Сопоставляя два решения для области , необходимо, чтобы разница между углами в этих функциях была там, где разность фаз учитывает изменение косинуса на синус для волновой функции и разницы, поскольку отрицание функции может произойти, если позволить . Таким образом: ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$$

n

Площадь, ограниченная классической энергетической кривой, равна . ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

В любом случае, условие на энергию является версией условия квантования Бора-Зоммерфельда с « поправкой Маслова », равной 1/2. ^[14]

Можно показать, что после объединения аппроксимаций в различных областях можно получить хорошее приближение к реальной собственной функции. В частности, энергии Бора – Зоммерфельда с поправкой Маслова являются хорошим приближением к действительным собственным значениям оператора Шредингера. ^[15] В частности, ошибка в энергиях мала по сравнению с типичным расстоянием между квантовыми уровнями энергии. Таким образом, хотя «старая квантовая теория» Бора и Зоммерфельда в конечном итоге была заменена уравнением Шредингера, некоторый рудимент этой теории остается в виде приближения к собственным значениям соответствующего оператора Шредингера.

Общие условия подключения

Таким образом, из двух случаев получается формула связи в классической точке поворота : ^[11] ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

и:

${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

Волновая функция ВКБ в классической точке поворота от нее аппроксимируется колебательной функцией синуса или косинуса в классически разрешенной области, представленной слева, и растущей или затухающей экспонентой в запрещенной области, представленной справа. Импликация следует из-за доминирования растущей экспоненты по сравнению с убывающей экспонентой. Таким образом, решения осциллирующей или экспоненциальной части волновой функции могут подразумевать форму волновой функции в другой области потенциала, а также в соответствующей точке поворота.

Плотность вероятности

Затем можно вычислить плотность вероятности, связанную с приближенной волновой функцией. Вероятность того, что квантовая частица окажется в классически запрещенной области, мала. Между тем, в классически разрешенной области вероятность того, что квантовая частица будет обнаружена в данном интервале, примерно равна доле времени, которую классическая частица проводит в этом интервале за один период движения. ^[16] Поскольку скорость классической частицы стремится к нулю в точках поворота, она проводит больше времени вблизи точек поворота, чем в других классически разрешенных областях. Это наблюдение объясняет пик волновой функции (и ее плотности вероятности) вблизи точек поворота.

Приложения метода ВКБ к уравнениям Шредингера с большим разнообразием потенциалов и сравнение с методами возмущений и интегралами по траекториям рассматриваются в работе Мюллера-Кирстена. ^[17]

Примеры из квантовой механики

Хотя потенциал ВКБ применим только к плавно меняющимся потенциалам, ^[11] в примерах, где жесткие стенки создают бесконечность для потенциала, приближение ВКБ все же можно использовать для аппроксимации волновых функций в областях плавно меняющихся потенциалов. Поскольку твердые стенки имеют сильно разрывный потенциал, в этих точках нельзя использовать условие связи, и полученные результаты также могут отличаться от результатов, полученных в приведенном выше рассмотрении. ^[10]

Связанные состояния для 1 жесткой стенки

Потенциал таких систем можно представить в виде:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Нахождение волновой функции в связанной области, т.е. в классических точках поворота и , рассматривая приближения, далекие от и соответственно, имеем два решения: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}}$

Поскольку волновая функция должна исчезать вблизи , заключаем . Для Эйри-функций вблизи потребуем . Мы требуем, чтобы углы внутри этих функций имели разность фаз, при этом разность фаз учитывает изменение синуса на косинус и позволяет . ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle \alpha =0}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$

n^[10] ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

Таким образом, мы приходим к выводу, что для ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

^[18]

Связанные состояния внутри двух жестких стенок

Потенциал таких систем можно представить в виде:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Для между и которые, таким образом, являются классическими поворотными точками, рассматривая приближения, далекие от и, соответственно, мы получаем два решения: ${\textstyle E\geq V(x)}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}}$

Поскольку волновые функции должны исчезать при и . Здесь необходимо учитывать только разность фаз, что позволяет . Следовательно, условие становится: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$

^[10] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

Квантовый прыгающий мяч

Рассмотрим следующие возможности, которым подвергается прыгающий мяч:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Вышеупомянутые волновые функции могут быть решены методом ВКБ, рассматривая только решения нечетной четности альтернативного потенциала . Классические переломные моменты обозначены и . Таким образом, применяя условие квантования, полученное в WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Полагая где , решая для с заданным , мы получаем квантово-механическую энергию прыгающего мяча: ^[19] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Этот результат также согласуется с использованием уравнения связанного состояния одной твердой стенки без необходимости рассмотрения альтернативного потенциала.

Квантовое туннелирование

Потенциал таких систем можно представить в виде:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

где . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Даны решения для падающей волны:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

Волновая функция в классически запрещенной области представляет собой приближение ВКБ, но без учета растущей экспоненты, что является справедливым предположением для широких потенциальных барьеров, через которые не ожидается роста волновой функции до высоких величин.

По требованию непрерывности волновой функции и ее производных можно показать следующее соотношение:

$${\displaystyle {\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

где и . ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

Используя выразим значения без знаков как: ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

Таким образом, коэффициент передачи равен:

$${\displaystyle T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

где и . _ Результат можно указать как где . ^[10] ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$ ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Функция Эйри
• Метод Эйнштейна–Бриллюэна–Келлера.
• Полевая электронная эмиссия
• Немедленное включение
• Поправка Лангера
• Индекс Маслова
• Метод согласованных асимптотических разложений
• Метод наискорейшего спуска
• Старая квантовая теория
• Методы возмущения
• Квантовое туннелирование
• Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей
• Суперсимметричное приближение ВКБ

Рекомендации

1. Зал 2013 г., раздел 15.1.
2. Дингл, Роберт Балсон (1973). Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация . Академическая пресса. ISBN 0-12-216550-0.
3. Адриан Э. Гилл (1982). Динамика атмосферы и океана . Академическая пресса. п. 297. ИСБН 978-0-12-283522-3. Лиувилл-Грин WKBJ WKB.
4. Ренато Шпиглер и Марко Вианелло (1998). «Обзор приближения Лиувилля – Грина (WKB) для линейных разностных уравнений второго порядка». В Сабер Элайди; И. Дьёри и Г. Э. Ладас (ред.). Достижения в области разностных уравнений: материалы Второй Международной конференции по разностным уравнениям: Веспрем, Венгрия, 7–11 августа 1995 г. ЦРК Пресс. п. 567. ИСБН 978-90-5699-521-8.
5. Филиппи, Пол (1999). Акустика: основы физики, теория и методы. Академическая пресса. п. 171. ИСБН 978-0-12-256190-0.
6. Кеворкян, Дж.; Коул, доктор юридических наук (1996). Многомасштабные и сингулярные методы возмущений . Спрингер. ISBN 0-387-94202-5.
7. Бендер, Карл М .; Орзаг, Стивен А. (1999). Передовые математические методы для ученых и инженеров . Спрингер. стр. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.
8. Виницкий, С. (2005). «Производство космологических частиц и точность приближения ВКБ». Физ. Преподобный Д. 72 (10): 104011, 14 стр. arXiv : gr-qc/0510001 . Бибкод : 2005PhRvD..72j4011W. doi : 10.1103/PhysRevD.72.104011. S2CID  119152049.
9. Зал 2013 г., раздел 15.4.
10. Зеттили, Нуредин (2009). Квантовая механика: концепции и приложения (2-е изд.). Чичестер: Уайли. ISBN 978-0-470-02679-3.
11. Цвибах, Бартон. «Квазиклассическое приближение» (PDF) .
12. Зал 2013 г., раздел 15.5.
13. Рамкартик, MS; Перейра, Элизабет Луи (01 июня 2021 г.). «Демистифицированные функции Эйри - II». Резонанс . 26 (6): 757–789. doi : 10.1007/s12045-021-1179-z. ISSN  0973-712X.
14. Зал 2013 г., раздел 15.2.
15. Холл, 2013. Теорема 15.8.
16. Зал 2013 г., вывод 15.5.
17. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд. (Всемирный научный журнал, 2012).
18. Вайнберг, Стивен (10 сентября 2015 г.). Лекции по квантовой механике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 204. ИСБН 978-1-107-11166-0.
19. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-47322-4.

Современные ссылки

• Бендер, Карл ; Орзаг, Стивен (1978). Передовые математические методы для ученых и инженеров . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-004452-Х.
• Чайлд, MS (1991). Квазиклассическая механика с молекулярными приложениями . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-855654-3.
• Фреман, Н.; Фреман, П.-О. (1965). Приближение JWKB: вклад в теорию . Амстердам: Северная Голландия.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
• Либофф, Ричард Л. (2003). Вводная квантовая механика (4-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1974). Асимптотика и специальные функции . Академическая пресса. ISBN 0-12-525850-Х.
• Разави, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . Всемирная научная. ISBN 981-238-019-1.
• Сакураи, Джей-Джей (1993). Современная квантовая механика . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-53929-2.

Исторические справки

• Карлини, Франческо (1817). Ричерш сулла конвергенция серии, которая служит решению проблемы Кеплеро . Милан.
• Лиувилл, Жозеф (1837). «О развитии функций и серий». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 :16–35.
• Грин, Джордж (1837). «О движении волн в переменном канале малой глубины и ширины». Труды Кембриджского философского общества . 6 : 457–462.
• Рэлей, Лорд (Джон Уильям Стратт) (1912). «О распространении волн через стратифицированную среду с особым акцентом на вопрос об отражении». Труды Королевского общества А. 86 (586): 207–226. Бибкод : 1912RSPSA..86..207R. дои : 10.1098/rspa.1912.0014 .
• Ганс, Ричард (1915). «Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium». Аннален дер Физик . 47 (14): 709–736. Бибкод : 1915АнП...352..709Г. дои : 10.1002/andp.19153521402.
• Джеффрис, Гарольд (1924). «О некоторых приближенных решениях линейных дифференциальных уравнений второго порядка». Труды Лондонского математического общества . 23 : 428–436. дои : 10.1112/plms/s2-23.1.428.
• Бриллюэн, Леон (1926). «La mécanique ondulatoire Шрёдингера: общий метод разрешения последовательных приближений». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24–26.
• Крамерс, Хендрик А. (1926). «Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung». Zeitschrift für Physik . 39 (10–11): 828–840. Бибкод : 1926ZPhy...39..828K. дои : 10.1007/BF01451751. S2CID  122955156.
• Вентцель, Грегор (1926). «Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik». Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Бибкод : 1926ZPhy...38..518W. дои : 10.1007/BF01397171. S2CID  120096571.

Внешние ссылки

• Фитцпатрик, Ричард (2002). «Приближение ВКБ».(Применение приближения ВКБ к рассеянию радиоволн в ионосфере.)