В математической области топологии сечение (или поперечное сечение ) [ 1 ] расслоения является непрерывной правой обратной функцией проекции . Другими словами, если — расслоение над базовым пространством , :
тогда часть этого расслоения является непрерывным отображением ,
такой, что
Раздел — это абстрактная характеристика того, что значит быть графом . График функции можно отождествить с функцией, принимающей свои значения в декартовом произведении , и :
Пусть – проекция на первый множитель: . Тогда графиком является любая функция, для которой .
Язык расслоений позволяет обобщить понятие сечения на случай, когда оно не обязательно является декартовым произведением. Если — расслоение, то сечение — это выбор точки в каждом из волокон. Условие просто означает, что сечение в точке должно лежать над . (См. изображение.)
Например, когда векторное расслоение является элементом векторного пространства , лежащим над каждой точкой . В частности , векторное поле на гладком многообразии представляет собой выбор касательного вектора в каждой точке : это сечение касательного расслоения . Аналогично, 1-форма на является сечением кокасательного расслоения .
Сечения, особенно главных расслоений и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами дифференциальной геометрии . В этом случае базовое пространство представляет собой гладкое многообразие и считается гладким расслоением над ним (т. е. является гладким многообразием и гладким отображением ). В этом случае рассматривается пространство гладких сечений над открытым множеством , обозначаемое . В геометрическом анализе полезно также рассматривать пространства сечений с промежуточной регулярностью (например, сечения или сечения с регулярностью в смысле условий Гёльдера или пространств Соболева ).
Расслоения вообще не имеют таких глобальных сечений (рассмотрим, например, расслоение со слоем, полученным путем взятия расслоения Мёбиуса и удаления нулевого сечения), поэтому также полезно определять сечения только локально. Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение, где — открытое множество в и для всех в . Если – локальная тривиализация , где – гомеоморфизм из в (где – слой ), то локальные сечения всегда существуют над в биективном соответствии с непрерывными отображениями из в . (Локальные) секции образуют пучок , называемый пучком секций .
Пространство непрерывных сечений расслоения над иногда обозначают , а пространство глобальных сечений часто обозначают или .
Сечения изучаются в теории гомотопий и алгебраической топологии , где одной из основных целей является объяснение существования или отсутствия глобальных сечений . Препятствие отрицает существование глобальных разделов, поскольку пространство слишком «перекручено» . Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локального раздела до глобального из-за «искривленности» пространства. Препятствия обозначаются особыми характеристическими классами , которые являются когомологическими классами. Например, основной пакет имеет глобальную секцию тогда и только тогда, когда он тривиален . С другой стороны, векторное расслоение всегда имеет глобальное сечение, а именно нулевое сечение . Однако он допускает никуда не исчезающее сечение только в том случае, если его класс Эйлера равен нулю.
Препятствия к расширению локальных сечений можно обобщить следующим образом: возьмем топологическое пространство и сформируем категорию , объектами которой являются открытые подмножества, а морфизмы - включения. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локального сечения» с помощью пучков абелевых групп , которые присваивают каждому объекту абелеву группу (аналог локальных сечений).
Здесь есть важное различие: интуитивно локальные сечения подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке назначается элемент фиксированного векторного пространства. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).
Весь этот процесс на самом деле представляет собой функтор глобального сечения , который присваивает каждому пучку его глобальный раздел. Тогда пучковые когомологии позволяют нам рассмотреть аналогичную задачу расширения при «непрерывном изменении» абелевой группы. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий нашим расширениям.
