Проекция (математика)

В математике проекция — это идемпотентное отображение множества (или другой математической структуры ) в подмножество (или подструктуру). В этом случае идемпотентность означает, что проецирование дважды равнозначно проецированию один раз. Ограничение на подпространство проекции также называется проекцией , даже если свойство идемпотентности теряется. Повседневным примером проекции является отбрасывание тени на плоскость (лист бумаги): проекция точки — это ее тень на листе бумаги, а проекция (тень) точки на листе бумаги — это сама эта точка (идемпотентность). Тень трехмерной сферы — это замкнутый диск. Первоначально понятие проекции было введено в евклидовой геометрии для обозначения проекции трехмерного евклидова пространства на плоскость в нем, как в примере с тенью. Две основные проекции такого рода:

Проекция из точки на плоскость или центральная проекция : Если $C$ — точка, называемая центром проекции , то проекция точки $P,$ отличной от $C,$ на плоскость, не содержащую $C,$ является пересечением прямой CP $с$ плоскостью. Точки $P,$ такие, что прямая $CP$ параллельна плоскости , не имеют никакого изображения при проекции, но часто говорят, что они проецируются в точку, находящуюся в бесконечности плоскости (формализацию этой терминологии см. в Проективной геометрии ). Проекция самой точки $C$ не определена.
Проекция , параллельная направлению $D$ , на плоскость или параллельная проекция : Изображение точки $P$ является пересечением плоскости с прямой, параллельной $D$ , проходящей через $P.$ См. Аффинное пространство § Проекция для точного определения, обобщенного на любое измерение. ^{[ необходима ссылка ]}

Концепция проекции в математике очень старая и, скорее всего, берет свое начало в явлении теней, отбрасываемых реальными объектами на землю. Эта элементарная идея была уточнена и абстрагирована, сначала в геометрическом контексте, а затем в других разделах математики. Со временем развивались различные версии этой концепции, но сегодня, в достаточно абстрактной обстановке, мы можем объединить эти вариации. ^{[ необходима цитата ]}

В картографии проекция карты — это отображение части поверхности Земли на плоскость, которая в некоторых случаях, но не всегда, является ограничением проекции в указанном выше значении. 3D-проекции также лежат в основе теории перспективы . ^{[ требуется цитата ]}

Необходимость объединения двух видов проекций и определения изображения центральной проекцией любой точки, отличной от центра проекции, лежит в основе проективной геометрии . Однако проективное преобразование является биекцией проективного пространства , что не является общим свойством проекций этой статьи. ^{[ необходима цитата ]}

Определение

Коммутативность этой диаграммы заключается в универсальности проекции $π$ для любого отображения $f$ и множества $X.$

В общем случае отображение, в котором область и область значений являются одним и тем же множеством (или математической структурой ), является проекцией, если отображение идемпотентно , что означает, что проекция равна своей композиции с собой. Проекция может также относиться к отображению, которое имеет правое обратное . Оба понятия тесно связаны следующим образом. Пусть $p$ — идемпотентное отображение из множества $A$ в себя (таким образом, $p \circ p = p$ ), а $B = p (A)$ — образ $p$ . Если мы обозначим через $π$ отображение $p,$ рассматриваемое как отображение из $A$ на $B$ , а через $i —$ инъекцию B в A $($ так что $p$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ ), то мы имеем $π$ $\circ$ $i$ $= Id$ $B$ (так что $π имеет$ $правое$ обратное). Наоборот, если $π$ имеет правый обратный $i$ , то $π$ $\circ$ $i$ $= Id$ $B$ подразумевает, что $i$ $\circ$ $π$ $\circ$ $i$ $\circ$ $π$ $=$ $i$ $\circ Id$ $B$ $\circ$ $π$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ ; то есть $p$ $=$ $i$ $\circ$ $π$ является идемпотентом. ^[^{необходима цитата}^]

Приложения

Первоначальное понятие проекции было расширено или обобщено на различные математические ситуации, часто, но не всегда, связанные с геометрией, например:

В теории множеств :
- Операция, характеризуемая $j$ - ^й проекцией , обозначаемая $proj j$ , которая переводит элемент $x = (x 1, ..., x j, ..., x n)$ декартова произведения $X 1 \times \dots \times X j \times \dots \times X n$ в значение $proj j (x) = x j .$ ^[1] Это отображение всегда сюръективно , и когда каждое пространство $X k$ имеет топологию , это отображение также непрерывно и открыто . ^[2]
- Отображение, которое переводит элемент в его класс эквивалентности при заданном отношении эквивалентности, называется канонической проекцией . ^[3]
- Карта оценки отправляет функцию $f$ к значению $f (x)$ для фиксированного $x$ . Пространство функций $Y X$ можно отождествить с декартовым произведением , а карта оценки является проекционной картой из декартового произведения. ^[^{необходима цитата}^] ${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$
Для реляционных баз данных и языков запросов проекция представляет собой унарную операцию, записанную как , где — набор имен атрибутов. Результат такой проекции определяется как набор , который получается, когда все кортежи в $R$ ограничиваются набором . ^[4]^[5]^[6]^[^{требуется проверка}^] $R$ — это отношение базы данных . ^[^{требуется цитата}^] $\Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$
В сферической геометрии проекция сферы на плоскость использовалась Птолемеем (~150) в его Planisphaerium . ^[7] Метод называется стереографической проекцией и использует плоскость, касательную к сфере, и полюс C, диаметрально противоположный точке касания. Любая точка $P$ на сфере, кроме $C,$ определяет прямую $CP$ , пересекающую плоскость в проецируемой точке для $P.$ ^[8] Соответствие делает сферу одноточечной компактификацией для плоскости, когда включена точка на бесконечности, соответствующая $C$ , которая в противном случае не имеет проекции на плоскость. Обычным примером является комплексная плоскость , где компактификация соответствует сфере Римана . В качестве альтернативы, полусфера часто проецируется на плоскость с использованием гномонической проекции . ^{[ требуется ссылка ]}
В линейной алгебре — линейное преобразование , которое остается неизменным, если применяется дважды: $p (u) = p (p (u))$ . Другими словами, идемпотентный оператор. Например, отображение, которое переводит точку $(x, y, z)$ в трех измерениях в точку $(x, y, 0),$ является проекцией. Этот тип проекции естественным образом обобщается на любое число измерений $n$ для области и $k \leq n$ для области значений отображения. См. Ортогональная проекция , Проекция (линейная алгебра) . В случае ортогональных проекций пространство допускает разложение в виде произведения, и оператор проекции также является проекцией в этом смысле. ^[9]^[10]^{[ требуется проверка ]}
В дифференциальной топологии любое расслоение волокон включает проекционную карту как часть своего определения. Локально, по крайней мере, эта карта выглядит как проекционная карта в смысле топологии продукта и, следовательно, открыта и сюръективна. ^{[ необходима цитата ]}
В топологии ретракция — это непрерывное отображение $r$ $:$ $X$ $\to$ $X$ , которое ограничивается тождественным отображением на своем образе. ^[11] Это удовлетворяет аналогичному условию идемпотентности $r$ $2$ $=$ $r$ и может считаться обобщением проекционного отображения. Изображение ретракции называется ретрактом исходного пространства. Ретракция, гомотопная тождеству , известна как деформационная ретракция . Этот термин также используется в теории категорий для обозначения любого расщепленного эпиморфизма. ^[^{необходима цитата}^]
Скалярная проекция (или резольвента) одного вектора на другой. ^{[ необходима ссылка ]}
В теории категорий указанное выше понятие декартова произведения множеств может быть обобщено на произвольные категории . Произведение некоторых объектов имеет канонический морфизм проекции на каждый фактор. Эта проекция будет принимать множество форм в различных категориях. Проекция из декартова произведения множеств , топологии произведения топологических пространств (которая всегда сюръективна и открыта ) или из прямого произведения групп и т. д. Хотя эти морфизмы часто являются эпиморфизмами и даже сюръективны, они не обязаны быть таковыми. ^[12]^{[ требуется проверка ]}

Ссылки

^ "Прямой продукт - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-11 .
^ Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия. Graduate Texts in Mathematics. Том 218 (Второе изд.). С. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Упражнение A.32. Предположим, что — топологические пространства. Покажите, что каждая проекция — открытое отображение. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$
^ Браун, Арлен; Пирси, Карл (1994-12-16). Введение в анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94369-5.
^ Alagic, Suad (2012-12-06). Технология реляционных баз данных. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4922-1.
^ Дата, CJ (2006-08-28). Словарь реляционных баз данных: полный глоссарий реляционных терминов и концепций с иллюстративными примерами. "O'Reilly Media, Inc.". ISBN 978-1-4493-9115-7.
^ "Relational Algebra". www.cs.rochester.edu . Архивировано из оригинала 30 января 2004 года . Получено 29 августа 2021 года .
^ Сидоли, Натан; Берггрен, Дж. Л. (2007). «Арабская версия Птолемеевской планисферы или уплощение поверхности сферы: текст, перевод, комментарий» (PDF) . Sciamvs . 8 . Получено 11 августа 2021 г. .
^ "Стереографическая проекция - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-11 .
^ "Проекция - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-11 .
^ Роман, Стивен (2007-09-20). Продвинутая линейная алгебра. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72831-5.
^ "Retraction - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-11 .
^ "Произведение семейства объектов в категории - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2021-08-11 .

Дальнейшее чтение

Томас Крейг (1882) «Трактат о проекциях» из исторической математической коллекции Мичиганского университета .