Гномоническая проекция , также известная как центральная проекция или прямолинейная проекция , является перспективной проекцией сферы с центром проекции в центре сферы на любую плоскость , не проходящую через центр, чаще всего касательную плоскость. При гномонической проекции каждый большой круг на сфере проецируется на прямую линию на плоскости (большой круг — это геодезическая линия на сфере, кратчайший путь между любыми двумя точками, аналогичный прямой линии на плоскости). [1] В более общем смысле, гномоническая проекция может быть выполнена для любой n -мерной гиперсферы на гиперплоскость .
Проекция представляет собой n -мерное обобщение тригонометрической касательной , которая отображает окружность в прямую линию, и, как и в случае с касательной, каждая пара противоположных точек на сфере проецируется в одну точку на плоскости, в то время как точки на плоскости, проходящей через центр сферы и параллельной плоскости изображения, проецируются в точки на бесконечности ; часто проекцию рассматривают как взаимно-однозначное соответствие между точками в полусфере и точками на плоскости, и в этом случае любая конечная часть плоскости изображения представляет часть полусферы. [2]
Гномоническая проекция азимутальная (радиально-симметричная). В центре проецируемого изображения искажение формы не происходит, но искажение быстро увеличивается по мере удаления от него.
Гномоническая проекция возникла в астрономии для построения солнечных часов и построения карты небесной сферы . Она обычно используется в качестве географической картографической проекции и может быть удобна в навигации , поскольку курсы большого круга отображаются в виде прямых линий. Прямолинейные фотографические линзы создают перспективную проекцию мира на плоскость изображения; это можно рассматривать как гномоническую проекцию сферы изображения (абстрактная сфера, указывающая направление каждого луча, проходящего через камеру, смоделированную как отверстие ). Гномоническая проекция используется в кристаллографии для анализа ориентации линий и плоскостей кристаллических структур. Она используется в структурной геологии для анализа ориентации плоскостей разломов. В компьютерной графике и компьютерном представлении сферических данных кубическое отображение является гномонической проекцией сферы изображения на шесть граней куба .
В математике пространство ориентаций ненаправленных прямых в 3-мерном пространстве называется реальной проективной плоскостью и обычно изображается либо «проективной сферой», либо ее гномонической проекцией. Когда угол между прямыми налагается как мера расстояния , это пространство называется эллиптической плоскостью . Гномоническая проекция 3-сферы единичных кватернионов , точки которых представляют 3-мерные вращения, приводит к векторам Родригеса . Гномоническая проекция гиперболоида из двух листов , рассматриваемая как модель для гиперболической плоскости , называется моделью Бельтрами–Клейна .
Гномоническая проекция считается старейшей картографической проекцией, предположительно приписываемой Фалесу , который, возможно, использовал ее для звездных карт в VI веке до н. э. [2] Путь теневого кончика или светового пятна в солнечных часах с нодусом вычерчивает те же гиперболы, образованные параллелями на гномонической карте.
Гномоническая проекция — из центра сферы на плоскость, касательную к сфере (рис. 1 ниже). Сфера и плоскость соприкасаются в точке касания. Большие окружности преобразуются в прямые линии посредством гномонической проекции. Поскольку меридианы (линии долготы) и экватор являются большими окружностями, они всегда отображаются как прямые линии на гномонической карте. Поскольку проекция осуществляется из центра сферы, гномоническая карта может отображать менее половины площади сферы. Искажение масштаба карты увеличивается от центра (точки касания) к периферии. [2]
Как и во всех азимутальных проекциях, углы от точки касания сохраняются. Расстояние карты от этой точки является функцией r ( d ) истинного расстояния d , заданного как
где R — радиус Земли. Радиальный масштаб равен
и поперечный масштаб
поэтому поперечный масштаб увеличивается наружу, а радиальный масштаб еще больше.
Гномонические проекции используются в сейсмических работах, поскольку сейсмические волны, как правило, распространяются по большим окружностям. Они также используются военно-морскими силами для построения пеленгов , поскольку радиосигналы распространяются по большим окружностям. Метеоры также движутся по большим окружностям, а Гномонический атлас Брно 2000.0 является рекомендуемым ИМО набором звездных карт для визуальных наблюдений за метеорами. Штурманы самолетов и кораблей используют проекцию для поиска кратчайшего пути между отправной точкой и пунктом назначения. Сначала путь рисуется на гномонической карте, а затем переносится на карту Меркатора для навигации.
Гномоническая проекция широко используется в фотографии , где она называется прямолинейной проекцией , поскольку она естественным образом возникает из модели камеры-обскуры , где экраном является плоскость. [3] Поскольку они эквивалентны, то же самое средство просмотра, которое используется для фотографических панорам, может использоваться для визуализации гномонических карт ( просмотр в виде интерактивной панорамы на 360° ) .
Гномоническая проекция используется в астрономии, где точка касания центрирована на интересующем объекте. Проецируемая сфера в этом случае — это небесная сфера, R = 1, а не поверхность Земли.
В астрономии гномические проекционные звездные карты небесной сферы могут использоваться наблюдателями для точного построения прямолинейного пути метеорного следа . [4]
