Расстояние по дуге большого круга

Кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы

Диаграмма, иллюстрирующая расстояние по большой окружности (нарисовано красным) между двумя точками на сфере, P и Q. Также показаны две противоположные точки , u и v.

Расстояние по большому кругу , ортодромическое расстояние или сферическое расстояние — это расстояние между двумя точками на сфере , измеренное вдоль дуги большого круга между ними. Эта дуга — кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы. (Для сравнения, кратчайший путь, проходящий через внутреннюю часть сферы, — это хорда между точками.)

На искривленной поверхности понятие прямых линий заменяется более общим понятием геодезических , кривых, которые локально прямые по отношению к поверхности. Геодезические на сфере — это большие окружности, окружности, центр которых совпадает с центром сферы.

Любые две различные точки на сфере, которые не являются антиподальными (диаметрально противоположными), обе лежат на единственной большой окружности, которую точки разделяют на две дуги; длина более короткой дуги является расстоянием большой окружности между точками. Эта длина дуги пропорциональна центральному углу между точками, который, если измерять в радианах, можно увеличить на радиус сферы, чтобы получить длину дуги. Две антиподальные точки обе лежат на бесконечном числе больших окружностей, каждую из которых они делят на две дуги длиной π, умноженной на радиус.

Определение расстояния по дуге большого круга является частью более общей проблемы навигации по дуге большого круга , которая также вычисляет азимуты в конечных точках и промежуточных точках маршрута. Поскольку Земля имеет почти сферическую форму , формулы расстояния по дуге большого круга, применяемые к долготе и геодезической широте точек на Земле, имеют точность около 0,5%. ^[1]

Формулы

Иллюстрация центрального угла Δσ между двумя точками P и Q. λ и φ — это продольный и широтный углы P соответственно.

Пусть и — географические долгота и широта двух точек 1 и 2, а — их абсолютные разности; тогда — центральный угол между ними — определяется сферическим законом косинусов, если один из полюсов использовать в качестве вспомогательной третьей точки на сфере: ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.}$

Проблема обычно выражается в терминах нахождения центрального угла . Учитывая этот угол в радианах, фактическую длину дуги d на сфере радиуса r можно тривиально вычислить как ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Соотношение между центральным углом и длиной хорды

Центральный угол связан с длиной хорды единичной сферы : ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}}$

Для приближения на короткие расстояния ( ), ${\displaystyle |\Delta \sigma _{\text{c}}|\ll 1}$

${\displaystyle \Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left(\Delta \sigma _{\text{c}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

Расчетные формулы

На компьютерных системах с низкой точностью с плавающей точкой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления , если расстояние мало (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла близок к 0,99999999). Для современных 64-битных чисел с плавающей точкой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. ^[3] Формула гаверсинуса численно лучше обусловлена ​​для малых расстояний с помощью соотношения хорды и длины: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}}$

Исторически использование этой формулы упростилось благодаря наличию таблиц для функции гаверсинуса : и . ${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}}$

Ниже показана эквивалентная формула, явно выражающая длину хорды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ ,\end{aligned}}}$

где . ${\displaystyle \phi _{\text{m}}={\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})}$

Хотя эта формула точна для большинства расстояний на сфере, она также страдает от ошибок округления для особого (и несколько необычного) случая антиподальных точек. Формула, которая точна для всех расстояний, это следующий частный случай формулы Винсенти для эллипсоида с равными большой и малой осями: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ — арктангенс с двумя аргументами . Использование atan2 гарантирует, что выбран правильный квадрант.

Векторная версия

Другое представление подобных формул, но использующих нормальные векторы вместо широты и долготы для описания положений, находится с помощью трехмерной векторной алгебры , используя скалярное произведение , векторное произведение или их комбинацию: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

где и являются нормалями к сфере в двух положениях 1 и 2. Подобно уравнениям выше, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на arctan, является единственным, которое хорошо обусловлено для всех углов . Выражение, основанное на arctan, требует величины векторного произведения на скалярное произведение. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

От длины хорды

Линия, проходящая через трехмерное пространство между интересующими точками на сферической Земле , является хордой большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками можно определить по длине хорды. Расстояние большого круга пропорционально центральному углу.

Длину хорды большого круга, можно вычислить следующим образом для соответствующей единичной сферы, с помощью декартового вычитания : ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Подставляя и эту формулу можно алгебраически преобразовать в форму, показанную выше в § Вычислительные формулы. ${\displaystyle \lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$

Радиус сферической Земли

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и средний радиусы Земли, определенные в пересмотренной Всемирной геодезической системе 1984 года . ( Не в масштабе .)

Форма Земли очень похожа на сплющенную сферу ( сфероид ) с экваториальным радиусом 6378,137 км; расстояние от центра сфероида до каждого полюса составляет 6356,7523142 км. При расчете длины короткой линии север-юг на экваторе окружность, которая лучше всего приближает эту линию, имеет радиус (который равен полушироте меридиана ), или 6335,439 км, в то время как сфероид на полюсах лучше всего приближается сферой радиусом , или 6399,594 км, разница составляет 1%. Пока предполагается, что Земля сферическая, любая отдельная формула для расстояния на Земле гарантирует точность только в пределах 0,5% (хотя большая точность возможна, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Использование среднего радиуса Земли ( для эллипсоида WGS84 ) означает, что в пределе небольшого сплющивания средняя квадратичная относительная ошибка в оценках расстояния минимизируется. ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$ ${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

Для расстояний менее 500 километров и за пределами полюсов евклидово приближение эллипсоидальной Земли ( формула FCC ) является и более простым, и более точным (до 0,1%). ^[8]

Смотрите также

• Воздушная навигация
• Угловое расстояние
• Кругосветное плавание
• Эллиптическая геометрия § Эллиптическое пространство (трехмерный случай)
• Планирование полета
• Геодезия
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезическая система
• Географическое расстояние
• Изоазимутальный
• Локсодромическая навигация
• Дуга меридиана
• Локсодромальная линия
• Сферическая геометрия
• Сферическая тригонометрия
• Версор

Ссылки и примечания

1. Руководство по навигации Адмиралтейства, том 1, Канцелярия, 1987, стр. 10, ISBN 9780117728806Погрешности , возникающие при допущении шарообразности Земли на основе международной морской мили, составляют не более 0,5% для широты и 0,2% для долготы.
2. Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1940). Плоская и сферическая тригонометрия. McGraw Hill Book Company, Inc. стр. 323-326 . Получено 13 июля 2018 г.
3. "Рассчитать расстояние, пеленг и другие параметры между точками широты/долготы" . Получено 10 августа 2013 г.
4. Синнотт, Роджер В. (август 1984 г.). «Достоинства гаверсина». Sky and Telescope . 68 (2): 159.
5. Винсенти, Таддеус (1975-04-01). "Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений" (PDF) . Обзор . 23 (176). Kingston Road, Tolworth, Surrey: Directorate of Overseas Surveys : 88–93. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . Получено 21 июля 2008 г. .
6. Гейд, Кеннет (2010). «Несингулярное представление горизонтальной позиции» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Cambridge University Press: 395–417. doi :10.1017/S0373463309990415.
7. Маккоу, ГТ (1932). «Длинные линии на Земле». Обзор Империи . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
8. • Агафонкин, Владимир (30 августа 2017 г.). "Быстрые геодезические аппроксимации с помощью Cheap Ruler". Mapbox .
   • "mapbox/cheap-ruler". Mapbox. 10 мая 2024 г.

Внешние ссылки

• GreatCircle в MathWorld