Навигация по дуге большого круга

Маршрут полета или плавания по кратчайшему пути между двумя точками на поверхности земного шара

Ортодромический курс, нарисованный на земном шаре

Навигация по большому кругу или ортодромическая навигация (относится к ортодромическому курсу ; от древнегреческого ορθός ( orthós )  «прямой угол» и δρόμος ( drómos )  «путь») — это практика навигации судна ( корабля или самолета ) по большому кругу . Такие маршруты обеспечивают кратчайшее расстояние между двумя точками на земном шаре. ^[1]

Курс

Рисунок 1. Путь большого круга между (φ ₁ , λ ₁ ) и (φ ₂ , λ ₂ ).

Путь большого круга может быть найден с помощью сферической тригонометрии ; это сферическая версия обратной геодезической задачи . Если навигатор начинает с P ₁  = (φ ₁ ,λ ₁ ) и планирует пройти по большому кругу до точки в точке P ₂  = (φ ₂ ,λ ₂ ) (см. рис. 1, φ — широта, положительная в направлении на север, а λ — долгота, положительная в направлении на восток), начальный и конечный курсы α ₁ и α ₂ задаются формулами для решения сферического треугольника

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

где λ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[примечание 1]} и квадранты α ₁ ,α ₂ определяются знаками числителя и знаменателя в формулах касательных (например, с использованием функции atan2 ). Центральный угол между двумя точками, σ ₁₂ , определяется как

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[примечание 2] [примечание 3]}

(Числитель этой формулы содержит величины, которые использовались для определения tan α ₁ .) Расстояние вдоль большого круга тогда будет s ₁₂  =  R σ ₁₂ , где R — предполагаемый радиус Земли, а σ ₁₂ выражается в радианах . Используя средний радиус Земли , R  =  R ₁  ≈ 6371 км (3959 миль), получаем результаты для расстояния s ₁₂ , которые находятся в пределах 1% от геодезической длины для эллипсоида WGS84 ; подробности см. в разделе Геодезические на эллипсоиде .

Отношение к геоцентрической системе координат

Угол положения точки t в точке s — это угол, под которым пересекаются зеленая и пунктирная большие окружности в точке s . Единичные направления u _E , u _N и ось вращения ω обозначены стрелками.

Подробная оценка оптимального направления возможна, если морская поверхность аппроксимируется сферической поверхностью. Стандартное вычисление помещает судно на геодезическую широту φ _s и геодезическую долготу λ _s , где φ считается положительным, если к северу от экватора, и где λ считается положительным, если к востоку от Гринвича . В геоцентрической системе координат с центром в центре сферы декартовы компоненты равны

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

и целевая позиция -

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

Северный полюс находится в

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

Минимальное расстояние d — это расстояние по большой окружности, проходящей через s и t . Оно вычисляется в плоскости, содержащей центр сферы и большую окружность ,

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

где θ — угловое расстояние между двумя точками, рассматриваемыми из центра сферы, измеренное в радианах . Косинус угла вычисляется путем скалярного произведения двух векторов

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

Если корабль направится прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

Если корабль отправляется из t и плывет прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

Вывод

Формула косинуса сферической тригонометрии ^[4] дает для угла p между большими окружностями, проходящими через s , которые указывают на север с одной стороны и на t с другой стороны

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

Формула синуса дает

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

Решая это уравнение относительно sin θ _s,t и подставляя в предыдущую формулу, получаем выражение для тангенса позиционного угла:

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

Дополнительные подробности

Поскольку краткий вывод дает угол между 0 и π , который не раскрывает знак (к западу или востоку от севера?), желателен более явный вывод, который дает отдельно синус и косинус p, так что использование правильной ветви арктангенса позволяет получить угол в полном диапазоне -π≤p≤π .

Вычисление начинается с построения большого круга между s и t . Он лежит в плоскости, содержащей центр сферы, s и t , и построен путем вращения s на угол θ _s,t вокруг оси ω . Ось перпендикулярна плоскости большого круга и вычисляется с помощью нормализованного векторного перекрестного произведения двух положений:

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

Правосторонняя наклонная система координат с центром в центре сферы задается следующими тремя осями: осью s , осью

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

и ось ω . Положение вдоль большого круга - это

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

Направление компаса задается путем вставки двух векторов s и s _⊥ и вычисления градиента вектора относительно θ при θ=0 .

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

Угол p задается путем разбиения этого направления вдоль двух ортогональных направлений в плоскости, касательной к сфере в точке s . Два направления задаются частными производными s по φ и по λ , нормированными на единичную длину:

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

u _N указывает на север, а u _E указывает на восток в позиции s . Угол позиции p проецирует s _⊥ в эти два направления,

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$,

где положительный знак означает, что положительные углы положения определяются как север над востоком. Значения косинуса и синуса p вычисляются путем умножения этого уравнения с обеих сторон на два единичных вектора,

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

Вместо вставки свернутого выражения s _⊥ при оценке можно использовать тот факт, что тройное произведение инвариантно относительно циклического сдвига аргументов:

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

Если для вычисления значения используется atan2 , можно сократить оба выражения делением на cos φ _t и умножением на sin θ _s,t , поскольку эти значения всегда положительны и эта операция не меняет знаков; тогда эффективно

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

Поиск путевых точек

Чтобы найти путевые точки , то есть положения выбранных точек на большом круге между P ₁ и P ₂ , мы сначала экстраполируем большой круг обратно к его узлу A , точке, в которой большой круг пересекает экватор в северном направлении: пусть долгота этой точки будет λ ₀ — см. рис. 1. Азимут в этой точке, α ₀ , определяется как

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^{[примечание 4]}

Пусть угловые расстояния вдоль большого круга от A до P ₁ и P ₂ будут σ ₀₁ и σ ₀₂ соответственно. Тогда, используя правила Непера, имеем

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Если φ ₁  = 0 и α ₁  =  1 ⁄ 2 π, используйте σ ₀₁  = 0).

Это дает σ ₀₁ , откуда σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

Долгота в узле находится из

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

Рисунок 2. Путь большого круга между узлом (пересечением экватора) и произвольной точкой (φ,λ).

Наконец, вычислим положение и азимут в произвольной точке P (см. рис. 2) с помощью сферической версии прямой геодезической задачи . ^{[примечание 5]} Правила Непера дают

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[примечание 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

Функция atan2 должна использоваться для определения σ ₀₁ , λ и α. Например, чтобы найти середину пути, подставьте σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); в качестве альтернативы, чтобы найти точку на расстоянии d от начальной точки, возьмите σ = σ ₀₁  +  d / R . Аналогично, вершина , точка на большом круге с наибольшей широтой, находится путем подстановки σ = + 1 ⁄ 2 π. Может быть удобно параметризовать маршрут в терминах долготы, используя

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[примечание 7]}

Широты с регулярными интервалами долготы могут быть найдены, а полученные положения перенесены на карту Меркатора, что позволяет аппроксимировать большой круг серией локсодромий . Путь, определенный таким образом, дает большой эллипс, соединяющий конечные точки, при условии, что координаты интерпретируются как географические координаты на эллипсоиде. ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

Эти формулы применяются к сферической модели Земли. Они также используются при решении большого круга на вспомогательной сфере , которая является устройством для нахождения кратчайшего пути, или геодезической , на эллипсоиде вращения; см. статью о геодезических на эллипсоиде .

Пример

Рассчитайте маршрут по дуге большого круга от Вальпараисо , φ ₁  = −33°, λ ₁  = −71,6°, до Шанхая , φ ₂  = 31,4°, λ ₂  = 121,8°.

Формулы для курса и расстояния дают λ ₁₂  = −166,6°, ^{[примечание 8]} α ₁  = −94,41°, α ₂  = −78,42° и σ ₁₂  = 168,56°. Принимая радиус Земли равным R  = 6371 км, расстояние равно s ₁₂  = 18743 км.

Чтобы вычислить точки вдоль маршрута, сначала найдите α ₀  = −56,74°, σ ₀₁  = −96,76°, σ ₀₂  = 71,8°, λ ₀₁  = 98,07° и λ ₀  = −169,67°. Затем, чтобы вычислить среднюю точку маршрута (например), возьмите σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12,48° и решите для φ = −6,81°, λ = −159,18° и α = −57,36°.

Если геодезическая вычисляется точно на эллипсоиде WGS84 , ^[5] результаты будут α ₁  = −94,82°, α ₂  = −78,29° и s ₁₂  = 18752 км. Средняя точка геодезической φ = −7,07°, λ = −159,31°, α = −57,45°.

Гномоническая карта

Гномоническая карта Адмиралтейства Индийского и Южного океанов, используемая для построения траекторий большого круга

Прямая линия, нарисованная на гномонической карте , является частью большого круга. При переносе на карту Меркатора она становится кривой. Положения переносятся с удобным интервалом долготы , и этот путь наносится на карту Меркатора для навигации.

Смотрите также

• Компасная роза
• Большой круг
• Расстояние по дуге большого круга
• Большой эллипс
• Геодезические на эллипсоиде
• Географическое расстояние
• Изоазимутальный
• Локсодромическая навигация
• Карта
  • Карта-портулан
• Морские песочные часы
• Локсодромия
• Сферическая тригонометрия
• Сеть «Роза ветров»

Примечания

1. В статье о расстояниях по большому кругу используются обозначения Δλ = λ ₁₂ и Δσ = σ _{12. Обозначения в этой статье необходимы для учета различий между другими точками, например, λ 01} .
2. Более простая формула:

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   Однако это числовое выражение менее точно, если σ ₁₂ мало.
3. Эти уравнения для α ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂ пригодны для реализации на современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами обычно использовались аналогии Деламбре ^{[2] :}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   Маккоу ^[3] называет эти уравнения «логарифмическими», имея в виду, что все тригонометрические члены появляются как произведения; это минимизирует количество требуемых поисков в таблице. Кроме того, избыточность в этих формулах служит проверкой в ​​ручных вычислениях. При использовании этих уравнений для определения более короткого пути на большом круге необходимо убедиться, что |λ ₁₂ | ≤ π (в противном случае будет найден более длинный путь).
4. Более простая формула:

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   Однако это менее точно α ₀  ≈ ± 1 ⁄ 2 π.
5. Прямая геодезическая задача, нахождение положения точки P ₂ по заданным P ₁ , α ₁ и s ₁₂ , также может быть решена с помощью формул для решения сферического треугольника следующим образом:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   Решение для точек маршрута, приведенное в основном тексте, является более общим, чем это решение, поскольку оно позволяет находить точки маршрута на указанных долготах. Кроме того, решение для σ (т. е. положение узла) необходимо при нахождении геодезических на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.
6. Более простая формула:

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   Однако это менее точно, когда φ ≈ ± 1 ⁄ 2 π
7. Используется следующее: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ ₁₂ уменьшается до диапазона [−180°, 180°] путем прибавления или вычитания 360° по мере необходимости

Ссылки

1. Адам Вайнтрит; Томаш Нойман (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы в навигации: морская навигация и безопасность морских перевозок. CRC Press . стр. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
2. Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). MacMillan. стр. 26.
3. Маккоу, ГТ (1932). «Длинные линии на Земле». Обзор Империи . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
4. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4.3.149". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Karney, CFF (2013). «Алгоритмы для геодезических задач». Journal of Geodesy . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .

Внешние ссылки

• Большой круг – из MathWorld Большой круг описание, рисунки и уравнения. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Карта большого круга Интерактивный инструмент для построения маршрутов большого круга на сфере.
• Great Circle Mapper Интерактивный инструмент для построения маршрутов по дуге большого круга.
• Калькулятор большого круга, вычисляющий (начальный) курс и расстояние между двумя точками.
• Расстояние по большому кругу Графический инструмент для рисования больших кругов на картах. Также показывает расстояние и азимут в таблице.
• Программа помощи Google для ортодромической навигации