Радиус Земли

Расстояние от поверхности Земли до точки вблизи ее центра

Радиус Земли (обозначается как R _🜨 или ) — это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности или вблизи нее. При аппроксимации фигуры Земли земным сфероидом радиус колеблется от максимального почти 6378 км (3963 миль) ( экваториальный радиус , обозначенный a ) до минимального почти 6357 км (3950 миль) ( полярный радиус , обозначенный b ). ${\displaystyle R_{E}}$

В качестве единицы измерения в астрономии и геофизике иногда используется номинальный радиус Земли , который рекомендован Международным астрономическим союзом как экваториальное значение. ^[1]

Среднемировое значение обычно считается равным 6371 километру (3959 миль) с изменчивостью 0,3% (± 10 км) по следующим причинам. Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) предоставляет три эталонных значения: средний радиус (R ₁ ) трех радиусов, измеренных в двух точках экватора и на полюсе; аутентичный радиус , который представляет собой радиус сферы с той же площадью поверхности (R ₂ ); и объемный радиус , который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R ₃ ). ^[2] Все три значения составляют около 6371 километра (3959 миль).

Другие способы определения и измерения радиуса Земли включают радиус кривизны . Некоторые определения дают значения, выходящие за пределы диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают местную или геоидальную топографию или потому, что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

Введение

Масштабная диаграмма сжатия эталонного эллипсоида IERS 2003 года с севером вверху. Голубая область представляет собой круг. Внешний край темно-синей линии представляет собой эллипс с той же малой осью , что и у круга, и таким же эксцентриситетом , как у Земли. Красная линия представляет линию Кармана на высоте 100 км (62 мили) над уровнем моря , а желтая область обозначает диапазон высот МКС на низкой околоземной орбите .

Вращение Земли , изменения внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. ^[a] Локальная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Чтобы быть понятными, наши описания поверхности Земли должны быть проще реальности. Следовательно, мы создаем модели, аппроксимирующие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на самую простую модель, соответствующую потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает в себя некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы — единственные твердые тела, имеющие радиусы, но более широкое использование термина « радиус» распространено во многих областях, в том числе в тех, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приводится неполный список моделей поверхности Земли, упорядоченный от точных к более приблизительным:

• Реальная поверхность Земли
• Геоид , определяемый средним уровнем моря в каждой точке реальной поверхности ^[b]
• Сфероид , также называемый эллипсоидом вращения, геоцентрический для моделирования всей Земли или геодезический для региональных работ ^[c]
• Сфера _

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . ^{[d] Любой} средний радиус сферической модели также принято называть «радиусом Земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли редко упоминается «радиус», поскольку в этом обычно нет практической необходимости. Скорее, полезно возвышение над или ниже уровня моря.

Независимо от модели, любой из этих геоцентрических радиусов находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что подтверждает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету .

Физика деформации Земли

Вращение планеты заставляет ее приближаться к сплюснутому эллипсоиду /сфероиду с выпуклостью на экваторе и уплощением на северном и южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сжатия q определяется выражением

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

где ω — угловая частота , G — гравитационная постоянная , а M — масса планеты. ^[д] Для Земли1/д≈ 289 , что близко к измеренному обратному уплощению 1/ж≈ 298,257 . Кроме того, выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения океанской массы посредством течений. ^[4]

Изменение плотности и толщины земной коры приводит к изменению силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница и есть высота геоида : положительная сверху или снаружи эллипсоида, отрицательная снизу или внутри. Изменение высоты геоида на Земле составляет менее 110 м (360 футов). Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или сокращения ледяных масс (например, в Гренландии ). ^[5]

Не все деформации возникают внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может привести к изменению поверхности Земли в данной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия

Метод Аль-Бируни (973 – ок.  1050 ) для расчета радиуса Земли упростил измерение окружности по сравнению с проведением измерений из двух мест, удаленных друг от друга.

Учитывая локальные и переходные воздействия на высоту поверхности, значения, определенные ниже, основаны на модели «общего назначения», уточненной настолько глобально, насколько это возможно, в пределах 5 м (16 футов) от высоты опорного эллипсоида и с точностью до 100 м (330 футов). среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в определенной точке. Как и у тора , кривизна в точке будет наибольшей (наибольшей) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные различия в рельефе не позволяют определить единый «точный» радиус. Можно принять только идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, что давало лучший опорный эллипсоид для исследуемой территории. По мере того, как спутниковое дистанционное зондирование и особенно система глобального позиционирования приобретали все большее значение, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональных работ, но лучше всего приближают Землю в целом.

Экстремумы: экваториальный и полярный радиусы.

Следующие радиусы получены из опорного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 года ( WGS-84 ) . ^[6] Это идеализированная поверхность, и земные измерения, использованные для ее расчета, имеют погрешность ±2 м как в экваториальном, так и в полярном измерениях. ^[7] Дополнительные расхождения, вызванные топографическими различиями в конкретных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого места использование более точных значений радиусов WGS-84 может не привести к соответствующему повышению точности . ^{[ нужны разъяснения ]}

Значение экваториального радиуса определяется с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет достаточным для большинства применений. Если требуется более точное значение его полярного радиуса, обратитесь к эллипсоиду WGS-84.

• Экваториальный радиус Земли a , или большая полуось , представляет собой расстояние от ее центра до экватора и равен 6378,1370 км (3963,1906 миль). ^[8] Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планетами .

• Полярный радиус Земли b , или малая полуось , представляет собой расстояние от ее центра до Северного и Южного полюсов и равен 6356,7523 км (3949,9028 миль).

Зависящие от местоположения радиусы

Три разных радиуса в зависимости от широты Земли. R – геоцентрический радиус; М – меридиональный радиус кривизны; N — основной вертикальный радиус кривизны.

Геоцентрический радиус

Геоцентрический радиус — это расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ :

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}}$^{[ нужна цитата ]}

где a и b — соответственно экваториальный и полярный радиусы.

Экстремальные геоцентрические радиусы на эллипсоиде совпадают с экваториальным и полярным радиусами. Они являются вершинами эллипса и также совпадают с минимальным и максимальным радиусом кривизны.

Радиусы кривизны

Главные радиусы кривизны

Различают два основных радиуса кривизны : по меридиональному и нормальному вертикальным сечениям .

Меридиональный

В частности, меридиональный радиус кривизны Земли (в направлении север-юг) в точке φ составляет: ^[9]

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

где эксцентриситет Земли . Это радиус, который измерил Эратосфен при измерении дуги . ${\displaystyle e}$

Прайм вертикальный

Длина PQ, называемая простым вертикальным радиусом , равна . Длина IQ равна . . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Если одна точка появилась восточнее другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад. ^[ф]

Первичный вертикальный радиус кривизны Земли , также называемый поперечным радиусом кривизны Земли , определяется перпендикулярно ( ортогонально ) к M на геодезической широте φ ^[g] и составляет: ^[9]

${\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

N также можно интерпретировать геометрически как нормальное расстояние от поверхности эллипсоида до полярной оси. ^[10] Радиус параллели широты определяется выражением . ^{[11] [12]} ${\displaystyle p=N\cos(\varphi )}$

Полярный и экваториальный радиус кривизны

Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен полурасширенной прямой кишке меридиана :

Би ²/а =  6335,439 км

Первичный вертикальный радиус кривизны Земли на экваторе равен экваториальному радиусу N = a .

Полярный радиус кривизны Земли (меридиональный или вертикальный) равен:

2 ^_/б =  6399,594 км

Вывод

Комбинированные радиусы кривизны

Азимутальный

Азимутальный радиус кривизны Земли вдоль нормального сечения Земли по азимуту (измеренному по часовой стрелке от севера) α и широте φ , получается из формулы кривизны Эйлера следующим образом: ^{[14] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

Ненаправленного

Можно объединить указанные выше главные радиусы кривизны ненаправленным образом.

Гауссовский радиус кривизны Земли на широте φ составляет : ^[14]

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Где K – гауссова кривизна , . ${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$

Средний радиус кривизны Земли на широте φ составляет: ^[14] : ^97.

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

Глобальные радиусы

Землю можно смоделировать как сферу разными способами. В этом разделе описаны распространенные способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, отмеченные выше для Земли, полученные на основе эллипсоида WGS-84 ; ^[6] а именно,

Экваториальный радиус : a = (6 378 .1370 км )

Полярный радиус : b = (6 356,7523 км )

Поскольку сфера является грубой аппроксимацией сфероида, который сам по себе является аппроксимацией геоида, единицы измерения здесь даны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Номинальный радиус

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как , который определяется как 6378,1 км (3963,2 мили). ^{[1] : 3} Номинальный полярный радиус Земли определяется как = 6356,8 км (3949,9 миль). Эти значения соответствуют конвенции нулевого прилива Земли . Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если явно не требуется полярный радиус. ^{[1] : 4} Номинальный радиус служит единицей длины в астрономии . (Обозначения определены так, что их можно легко обобщить для других планет ; например, для номинального полярного радиуса Юпитера .) ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pE} }^{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pJ} }^{\mathrm {N} }}$

Среднеарифметический радиус

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и средний арифметический радиусы Земли, определенные в редакции Всемирной геодезической системы 1984 года (не в масштабе)

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний арифметический радиус Земли (обозначается R ₁ ) как ^[2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

Коэффициент два объясняет двухосную симметрию земного сфероида, разновидности трехосного эллипсоида. Для Земли средний арифметический радиус составляет 6 371,0088 км (3 958,7613 миль). ^[15]

Аутентичный радиус

Аутентичный радиус Земли (что означает «равная площадь» ) — это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей ту же площадь поверхности, что и опорный эллипсоид . IUGG обозначает аутентичный радиус как R ₂ . ^[2] Для сфероида существует решение в замкнутой форме: ^[16]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\left({\frac {1+e}{b/a}}\right)}}{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

где е ² =а ² - б ²/2 ^_А — площадь поверхности сфероида.

Для Земли аутентичный радиус составляет 6371,0072 км (3958,7603 мили). ^[15]

Аутальный радиус также соответствует радиусу (глобальной) средней кривизны , полученной путем усреднения гауссовой кривизны , по поверхности эллипсоида. Используя теорему Гаусса – Бонне , это дает ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {\int K\,dA}{A}}={\frac {4\pi }{A}}={\frac {1}{R_{2}^{2}}}.}$

Объемный радиус

Другая сферическая модель определяется объёмным радиусом Земли , который представляет собой радиус сферы объёма, равного эллипсоиду. IUGG обозначает объемный радиус как R ₃ . ^[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

Для Земли объемный радиус равен 6371,0008 км (3958,7564 мили). ^[15]

Выпрямляющий радиус

Другой глобальный радиус — это выпрямляющий радиус Земли , дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемого любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого необходимо найти эллиптический интеграл , учитывая полярный и экваториальный радиусы:

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M : ^[16]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

Для пределов интегрирования [0,π/2], интегралы для выпрямления радиуса и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

^{Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется полукубическим средним значением} двух осей ^.

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$

^{что отличается от} точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10–5  дюймов); среднее значение двух осей,

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

Также можно использовать около 6 367,445 км (3 956,547 миль).

Топографические радиусы

Приведенные выше математические выражения применимы к поверхности эллипсоида. В приведенных ниже случаях рассматривается топография Земли выше или ниже эталонного эллипсоида . По сути, это топографические геоцентрические расстояния R _t , которые зависят не только от широты.

Топографические крайности

• Максимальный R _t : вершина Чимборасо находится на расстоянии 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
• Минимальный R _t : дно Северного Ледовитого океана находится на расстоянии 6352,8 км (3947,4 миль) от центра Земли. ^[17]

Топографическое глобальное среднее значение

Топографическое среднее геоцентрическое расстояние усредняет высоту повсюду, что приводит к значениюНа 230 м больше, чем средний радиус IUGG, аутентичный радиус или объемный радиус. Это топографическое среднее значение составляет 6 371,230 км (3 958,899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута). ^[18]

Производные величины: диаметр, окружность, длина дуги, площадь, объем.

Диаметр Земли просто в два раза больше радиуса Земли; например, экваториальный диаметр (2a ) и полярный диаметр (2b ) . Для эллипсоида WGS84 это соответственно:

• 2 а = 12 756,2740 км (7 926,3812 миль) ,
• 2 b = 12 713,5046 км (7 899,8055 миль) .

Окружность Земли равна длине периметра . Экваториальная окружность — это просто периметр круга : C _e =2 πa , выраженный в экваториальном радиусе a . Полярная окружность равна C _p =4 m _p , что в четыре раза больше четверти меридиана m _p = aE ( e ), куда полярный радиус b входит через эксцентриситет, e = (1− b ² / a ² ) ^0,5 ;см. в разделе «Эллипс#Окружность» .

Длина дуги более общих кривых поверхности , таких как дуги меридианов и геодезические , также может быть получена из экваториальных и полярных радиусов Земли.

Аналогично и для площади поверхности , либо на основе картографической проекции , либо на основе геодезического многоугольника .

Объем Земли или объем опорного эллипсоида равен V =4/3π а ² б . Используя параметрыэллипсоида вращения WGS84 , a = 6378,137 км и b =6 356 ,752 3142  км , V = 1,08321 × 10 ¹²  км ³ (2,5988 × 10 ¹¹  куб. миль) . ^[19]

Опубликованные значения

В этой таблице суммированы принятые значения радиуса Земли.

История

Первое опубликованное упоминание о размерах Земли появилось около 350  г. до н.э. , когда Аристотель сообщил в своей книге «О небесах» ^[21] , что математики предположили, что окружность Земли равна 400 000 стадий . Ученые интерпретировали цифру Аристотеля как очень точную ^[22] до почти удвоенной истинной ценности. ^[23] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 году до нашей эры. Оценки точности измерений Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. ^[24] И для Аристотеля, и для Эратосфена неуверенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью, какую длину стадиона они имели в виду.

Около 100 г. до н. э. Посидоний Апамейский пересчитал радиус Земли и обнаружил, что он близок к радиусу Эратосфена ^[25] , но позже Страбон ошибочно приписал ему значение примерно 3/4 от фактического размера. ^[26] Клавдий Птолемей около 150  г. н.э. предоставил эмпирические доказательства, подтверждающие сферическую форму Земли , ^[27] но он принял меньшее значение, приписываемое Посидонию. Его весьма влиятельная работа « Альмагест » ^[28] не оставила у средневековых ученых сомнений в том, что Земля имеет сферическую форму, но они ошибались относительно ее размеров.

К 1490 году Христофор Колумб считал, что путешествие на 3000 миль на запад от западного побережья Пиренейского полуострова позволит ему достичь восточных побережий Азии . ^[29] Однако в 1492 году это путешествие привело его флот в Америку . Экспедиция Магеллана (1519–1522), которая была первым кругосветным плаванием , убедительно продемонстрировала сферичность Земли ^[30] и подтвердила первоначальные измерения Эратосфена в 40 000 км (25 000 миль).

Около 1690 года Исаак Ньютон и Христиан Гюйгенс утверждали, что Земля ближе к сплюснутому сфероиду , чем к сфере. Однако около 1730 года Жак Кассини выступил за вытянутый сфероид вместо этого из-за различных интерпретаций ньютоновской механики . ^[31] Чтобы решить этот вопрос, Французская геодезическая миссия (1735–1739) измерила один градус широты в двух местах: одном возле Полярного круга , а другом около экватора . Экспедиция обнаружила, что гипотеза Ньютона верна: ^[32] Земля сплющивается у полюсов из-за центробежной силы вращения .

Смотрите также

• Окружность Земли
• Масса Земли
• Эффективный радиус Земли
• Геодезия
• Географическое расстояние
• Соприкасающаяся сфера
• История геодезии
• Планетарный радиус

Примечания

1. Подробности см. на рисунке Земли , геоида и земного прилива .
2. У геоида нет единого центра; оно варьируется в зависимости от местных геодезических условий.
3. В геоцентрическом эллипсоиде центр эллипсоида совпадает с некоторым вычисленным центром Земли и лучше всего моделирует Землю в целом. Геодезические эллипсоиды лучше соответствуют региональным особенностям геоида. Частичная поверхность эллипсоида подгоняется к области, и в этом случае центр и ориентация эллипсоида обычно не совпадают с центром масс или осью вращения Земли.
4. Значение радиуса полностью зависит от широты в случае модели эллипсоида и почти так же от геоида.
5. Это следует из правила определения Международного астрономического союза (2): планета принимает форму благодаря гидростатическому равновесию , когда гравитация и центробежные силы почти уравновешены. ^[3]
6. Направления восток-запад могут вводить в заблуждение. Точка B, которая кажется восточнее точки A, будет ближе к экватору, чем точка A. Таким образом, кривизна, найденная таким образом, меньше кривизны круга постоянной широты, за исключением экватора. В этой дискуссии Запад можно заменить на Восток.
7. N определяется как радиус кривизны в плоскости, которая нормальна как к поверхности эллипсоида, так и к меридиану, проходящему через конкретную интересующую точку.

Рекомендации

1. Мамаек, Э. Э; Прса, А; Торрес, Дж; и другие. (2015). «Резолюция B3 МАС 2015 г. о рекомендуемых номинальных константах преобразования для выбранных солнечных и планетарных свойств». arXiv : 1510.07674 [astro-ph.SR].
2. Мориц, Х. (1980). Геодезическая справочная система 1980 г., по решению XVII Генеральной ассамблеи IUGG в Канберре.
3. Генеральная ассамблея IAU 2006: Результат голосования по резолюции IAU. Архивировано 7 ноября 2006 г. в Wayback Machine.
4. Спутники раскрывают тайну больших изменений в гравитационном поле Земли, 1 августа 2002 г., Центр космических полетов Годдарда .
5. Благодать НАСА обнаружила, что Гренландия тает быстрее, «видит» землетрясение на Суматре, 20 декабря 2005 г., Центр космических полетов Годдарда .
6. "WGS84RPT.tif:Corel PHOTO-PAINT" (PDF) . Проверено 17 октября 2018 г.
7. «Информация» (PDF) . земля-info.nga.mil . Архивировано из оригинала (PDF) 4 августа 2020 г. Проверено 31 декабря 2008 г.
8. «Экваториальный радиус Земли». Численные стандарты фундаментальной астрономии: астрономические константы: текущие лучшие оценки (CBE) . Рабочая группа Отдела I IAU. 2012. Архивировано из оригинала 26 августа 2016 г. Проверено 10 августа 2016 г.
9. Кристофер Джекели (2016). Геометрические системы отсчета в геодезии (PDF) . Университет штата Огайо, Колумбус, Огайо . Проверено 13 мая 2023 г.
10. Боуринг, BR (октябрь 1987 г.). «Заметки о кривизне в главном вертикальном сечении». Обзор опроса . 29 (226): 195–196. дои : 10.1179/sre.1987.29.226.195.
11. Бомфорд, Г. (1952). Геодезия . Издательство Оксфордского университета.
12. Кристофер Джекели (2016). Геометрические системы отсчета в геодезии (PDF) . Университет штата Огайо, Колумбус, Огайо . Проверено 13 мая 2023 г.
13. Ласс, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ . McGraw Hill Book Company, Inc., стр. 71–77. ISBN 9780070365209.
14. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия. ISBN 9783110170726.
15. Мориц, Х. (март 2000 г.). «Геодезическая справочная система 1980». Журнал геодезии . 74 (1): 128–133. Бибкод : 2000JGeod..74..128.. doi : 10.1007/s001900050278. S2CID  195290884.
16. Снайдер, JP (1987). Картографические проекции – Рабочее руководство (Профессиональный документ Геологической службы США 1395), стр. 16–17. Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США.
17. «Discover-TheWorld.com – Гуам – ДОСТОПРИМЕЧАТЕЛЬНОСТИ – Не пропустите – Марианская впадина» . Гуам.discover-theworld.com. 23 января 1960 г. Архивировано из оригинала 10 сентября 2012 г. Проверено 16 сентября 2013 г.
18. Фредерик Шамба; Бернар Валетт (2001). «Средний радиус, масса и инерция для эталонных моделей Земли» (PDF) . Физика Земли и недр планет . 124 (3–4): 234–253. Бибкод : 2001PEPI..124..237C. doi : 10.1016/S0031-9201(01)00200-X. Архивировано из оригинала (PDF) 30 июля 2020 года . Проверено 18 ноября 2017 г.
19. Уильямс, Дэвид Р. (1 сентября 2004 г.), Информационный бюллетень о Земле, НАСА , получено 17 марта 2007 г.
20. Филлипс, Уоррен (2004). Механика полета . John Wiley & Sons, Inc. с. 923. ИСБН 0471334588.
21. Аристотель . На Небесах. Том. Книга II 298 Б. Проверено 5 ноября 2017 г.
22. Драммонд, Уильям (1817). «О науке египтян и халдеев, часть I». Классический журнал . 16 : 159.
23. Кларк, Александр Росс ; Гельмерт, Фридрих Роберт (1911). «Земля, Фигура»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 8 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 801–813.
24. «Эратосфен, греческий ученый». Britannica.com . 2016.
25. Посидоний, фрагмент 202.
26. Клеомед (во фрагменте 202) заявил, что если расстояние измеряется каким-то другим числом, результат будет другим, и использование 3750 вместо 5000 дает следующую оценку: 3750 x 48 = 180 000; см. Фишер И., (1975), Другой взгляд на определения Эратосфеном и Посидонием окружности Земли , Ql. Дж. из Королевского Астрона. Соц., Том. 16, с. 152.
27. Терстон, Хью (1994). Ранняя астрономия . Нью-Йорк: Springer-Verlag Нью-Йорк. п. 138. ИСБН 0-387-94107-Х.
28. "Альмагест - Птолемей (Елизавета)" . project.iq.harvard.edu . Проверено 5 ноября 2022 г.
29. Джон Фрили , До Галилея: рождение современной науки в средневековой Европе (2013), ISBN 978-1468308501 
30. Нэнси Смайлер Левинсон (2001). Магеллан и первое кругосветное путешествие. Хоутон Миффлин Харкорт. ISBN 978-0-395-98773-5. Проверено 31 июля 2010 г.
31. Кассини, Жак (1738). Méthode de déterminer si la terre est sphérique ou non (на французском языке).
32. Леваллуа, Жан-Жак (1986). «Жизнь наук». Галлика . стр. 277–284, 288 . Проверено 22 мая 2019 г.

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). « R ⊕ {\displaystyle R_{\oplus }} Радиус Земли (и экзопланет)». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .